分部积分公式

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2009-12-28
定积分的分布积分法(16)
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思考题解答
1 1 ∫0 xf ′′( 2 x )dx = 2 ∫0 xdf ′( 2 x )
1
1 1 1 1 = [ xf ′( 2 x )]0 − ∫ f ′( 2 x )dx 2 2 0
1 1 ′( 2) − [ f ( 2 x )]1 = f 0 2 4 5 1 = − [ f ( 2) − f (0)] = 2. 2 4
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二、小结
定积分的分部积分公式
∫ udv = [uv ] − ∫
b a a
b
b
a
vdu.
（注意与不定积分分部积分法的区别）
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定积分的分布积分法(16)
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思考题
设 f ′′( x ) 在 [0,2] 上 连 续 ， 且 f ( 0) = 1 ，
f ( 2) = 3， f ′( 2) = 5 ，求 ∫0 xf ′′( 2 x )dx .
I 2 m +1
π I 0 = ∫ dx = , 0 2
I1 = ∫ sin xdx = 1,
0
于是 I 2 m = 2m − 1 ⋅ 2m − 3
I 2 m +1
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3 1 π ( 2m − 1)!! π ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ , 2m 2m − 2 4 2 2 ( 2m )!! 2 2m 2m − 2 6 4 2 ( 2m )!! = ⋅ . ⋅⋅ ⋅ ⋅ = 2m + 1 2m − 1 7 5 3 ( 2m + 1)!!
1 2
∫0 arcsin xdx = [ x arcsin x ] 0 − ∫0
1 1 π 1 1 2 = ⋅ + ∫ d (1 − x 2 ) 2 6 2 0 1 − x2 1 π 3 π 2 2 = − 1. + 1− x 0 = + 12 12 2
1 2
xdx 2 1− x
[
]
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一、分部积分公式
设函数 u( x )、 ( x ) 在区间[a, b ]上具有连续 v 导数，则有 ∫a udv = [uv ] − ∫a vdu .
b b a b
推导
定积分的分部积分公式 b b ′ (uv ) = u′v + uv′, ∫a ( uv )′dx = [uv ] ,
a
[uv ]
∴
1 ln 2 1 1 1 1 +∫ ⋅ dx − =− 0 2+ x 1+ x 3 1+ x 2+ x ln 2 5 1 =− + [ln(1 + x ) − ln( 2 + x )]0 = ln 2 − ln 3. 3 3
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例4 设 f ( x = ∫1 解
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xdx . 例2 计算 ∫0 1 + cos 2 x
π 4
∵ 1 + cos 2 x = 2 cos 2 x , 解
π π xdx xdx 4 4 x ∴∫ =∫ = ∫ d (tan x ) 0 1 + cos 2 x 0 2 cos 2 x 0 2 π 1 π 1 4 4 = [ x tan x ] 0 − ∫ tan xdx 2 0 2 π π ln 2 π 1 4 = − [ln sec x ] 0 = − . 8 2 8 4
1
[
]
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∵ f ( x ) = ∫1
x2
sin t dt , t
sin t f (1) = ∫1 dt = 0, t
1
sin x 2 2 sin x 2 f ′( x ) = ⋅ 2x = , 2 x x
1 1 2 1 ∴ ∫0 xf ( x )dx = f (1) − ∫0 x f ′( x )dx 2 2 1 1 1 1 2 2 2 = − ∫0 2 x sin x dx = − ∫0 sin x dx 2 2 1 1 2 1 = [cos x ]0 = (cos 1 − 1). 2 2
x2
1 sin t dt , 求 ∫ xf ( x )dx . 0 t
sin t 因为 没有初等形式的原函数， t 无法直接求出 f ( x ) ，所以采用分部积分法
1 1 xf ( x )dx = ∫ f ( x )d ( x 2 ) ∫0 2 0 1 1 1 2 1 2 = x f ( x) 0 − ∫0 x df ( x ) 2 2 1 1 1 2 = f (1) − ∫ x f ′( x )dx 2 2 0
x cos x ]0 + ( n − 1)∫0 sin
π 2 π 2
n− 2
x cos xdx
2
0
1 − sin x
2
I n = ( n − 1)∫0 sin
2
π
n− 2
xdx − ( n − 1)∫0 sin xdx
2
π
n
= ( n − 1) I n− 2 − ( n − 1) I n
n−1 In = I n− 2 积分I n关于下标的递推公式 n n−3 , 直到下标减到0或1为止 I n− 2 = I n− 4 n−2
1
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例5 证明定积分公式
I n = ∫0 sin n xdx = ∫0 cos n xdx
π 2
π 2
⎧n − 1 n − 3 ⎪ n ⋅ n − 2 ⋅⋅ =⎨ ⎪n − 1 ⋅ n − 3 ⋅ ⋅ ⎩ n n−2
证 设 u = sin n−1 x ,
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I2m
2m − 1 2m − 3 = ⋅ ⋅⋅ 2m 2m − 2 2m 2m − 2 = ⋅ ⋅⋅ 2m + 1 2m − 1
π 2
π 2
5 3 1 ⋅ ⋅ I0 , 6 4 2 6 4 2 ⋅ ⋅ I1 , 7 5 3
( m = 1,2, )
3 1 π ⋅ ⋅ , n为正偶数 4 2 2 4 2 ⋅ , n为大于1的正奇数 5 3
dv = sin xdx ,
du = ( n − 1) sin n− 2 x cos xdx , v = − cos x ,
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I n = [− sin
n −1
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b a
b
= ∫a u′vdx + ∫a uv ′dx ,
b b
b a b a
∫ udv = [uv ] − ∫
a
vdu.
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定积分的分布积分法(16)
例1 计算 ∫0 arcsin xdx . 解 令 u = arcsin x ,
1 2
dv = dx ,
v = x,
1 2
dx 则 du = , 2 1− x
π 4
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例3 计算 解
∫
1
0
ln(1 + x ) dx . 2 (2 + x )
∫0
1
1 ln(1 + x ) 1 dx = − ∫0 ln(1 + x )d 2 (2 + x ) 2+ x
1
1 1 ⎡ ln(1 + x ) ⎤ = −⎢ + ∫0 d ln(1 + x ) 2+ x ⎣ 2 + x ⎥0 ⎦