高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
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高中数学第1章导数及其应用132函数的极值与导数课件新人教A版选修20
课堂互动探究
归纳透析 触类旁通
题型一 求函数的极值 求下列函数的极值．
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋3； (2)f(x)＝ln x－6x2＋4x. 【思路探索】 利用求极值的解题步骤求解．
【解】 (1)函数 f(x)的定义域为 R，
又 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
3．(2019·平顶山期末调研)函数 f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d 的图象 如图所示，则 x21＋x22等于( )
2 A.3
B．43
8 C.3
16 D. 3
解析：由图象可得 f(x)＝0 的根为 0,1,2，故 d＝0，f(x)＝x(x2 ＋bx＋c)，则 1,2 为 x2＋bx＋c＝0 的根，由根与系数的关系得 b ＝－3，c＝2，故 f(x)＝x3－3x2＋2x，则 f′(x)＝3x2－6x＋2，由题 图可得 x1，x2 为 3x2－6x＋2＝0 的根，则 x1＋x2＝2，x1x2＝23， 故 x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.故选 C.
x，f′(x)，f(x)取值情况如下表：
x 0，12
1 2
12，＋∞
f′(x) ＋
0
－
f(x)
极大值
∴f(x)极大值＝f12＝ln 12－6×122＋4×12＝12－ln 2.
[名 师 点 拨] 求函数的极值，一定要注意函数的定义域，另外利用表格 可使极值点两边的增减性一目了然，便于求极值.
休息时间到啦
3]ex，若 f(x)在 x＝2 处取得极小值，求实数 a 的取值范围． 【思路探索】 首先对 f(x)求导，再利用 f(x)在 x＝2 处取得
极值，讨论两根的大小，以及在 x＝2 两侧的符号，进一步确定 a 的取值范围．
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2-2
复习课件
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选 修2-2
1.3.2 函数的极值与导数
目标定位
重点难点
1.了解函数在某点取得极值的必要条 重点：求函数极值的
件和充分条件 方法和步骤
2.理解极大值和极小值的概念 难点：函数极值的概
3.掌握求可导函数极大值和极小值的 念的理解
设f(x)在x0处连续且f′(x0)＝0，判别f(x0)是极大(小)值的方 法：
(1)若在x0两侧f′(x)符号相同，则x0不是f(x)的极值点； (2)若在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极 大值；
(3)若在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极 小值．
解得ab＝＝4－，11 或ab＝＝3－. 3， 故a＋b＝－7或a＋b＝0.
【错因分析】可导函数在一点的导数值为0是函数在这 一点取得极值的必要条件，而非充分条件，本题忽略了对所得 两组解进行检验，从而出现了错误．
【正解】(接错解)当a＝4，b＝－11时， f(x)＝x3＋4x2－11x＋16， 得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)． 当x∈－131，1时，f′(x)＜0； 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.
(3) 如 果 f′(x) 在 点 x0 的 左 右 两 侧 符 号 不 变 ， 则 f(x0) _不__是__极__值___．
1．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则( )
A．0<b<1
B．b<0
C．b>0 【答案】A
D．b<12
2．已知函数y＝x3－3x＋2，则( ) A．y无极小值，也无极大值 B．y有极小值0，但无极大值 C．y有极小值0，极大值4 D．y有极大值4，但无极小值 【答案】C
高中数学 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修2
对于可导函数，极值点的导数必为0.
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
因此对于可导函数，导数为0是点为极值点的必 要而不充分条件．
(2)函数的导数不存在的点也可能是极值点． 如函数f(x)＝|x|，在x＝0处，左侧(x＜0时)f′(x)＝ －1＜0，右侧(x＞0时)f′(x)＝1＞0，当x＝0时f(x) ＝0是f(x)的极小值点，但f′(0)不存在．
．
• 极小值点、极大值点统称为极值点，> 极大值和极小值统
称为极值．极值反映了函数在某一点附近的大小情况，
刻画的是函数的局部性质．
<
减
• 2．求可导函数y＝f(x)的极值的方法是：
• 解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时： • (1)如果在x0附近的左侧
，那么f(x0)是极大值； • (2)f′如(x)果＜在0 x0附近的左侧
，那么f(x0)是极小值．
，右侧 f′(x)＞0
，右侧 f′(x)＜0
f′(x)＞0
• [例1] 判断函数y＝x3在x＝0处能否取得极值． • [分析] 可由极值的定义来判断，也可由导数来判断． • [解析] 解法1：当x＝0时，f(x)＝0，在x＝0的附近区域
内，f(x)有正有负，不存在f(0)>f(x)(或f(0)<f(x))，因此y＝ x3在x＝0处取不到极值． • 解法2：y′＝3x2，当x≠0时，y′>0， • 当y＝0时，f(x)＝0，因此y＝x3在(－∞，＋∞)上是增函数， 因为单调函数没有极值，所以y＝x3在x＝0处取不到极 值．
• 设函数y＝f(x)在点x0及其附近可导，且f′(x0)＝0. • (1)如果f′(x)的符号在点x0的左右由正变负，则f(x0)
为函数f(x)的极大值．
• (2)如果f′(x)的符号在点x0的左右由负变正，则f(x0) 为函数f(x)的极小值．
(新课标)高中数学《3.3.2-函数的极值与导数》课件-新人教A版选修1-1
第17页，共29页。
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
第8页，共29页。
2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
规律方法 已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式， 进而研究函数性质时注意两点： (1)常根据极值点处导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待 定系数法求解． (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用 待定系数法求解后必须验证根的合理性．
第18页，共29页。
第22页，共29页。
如图(1)，此时曲线 f(x)与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰 好有两个实数根，所以 a＋2＝0，a＝－2.(10 分) 如图(2)，当极小值等于 0 时，有极大值大于 0，此时曲线 f(x) 与 x 轴恰有两个交点，即方程 f(x)＝0 恰好有两个实数根，所以 a－2＝0，a＝2.综上，当 a＝2，或 a＝－2 时方程恰有两个实数 根．(12 分)
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2．极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不 一定是函数的极值点． (2)导数为 0 的点可能是函数的极值点，如 y＝x2，y′(0)＝0，x ＝0 是极小值．导数为 0 的点也可能不是函数的极值点，如 y ＝x3，y′(0)＝0，x＝0 不是极值点．
第23页，共29页。
【题后反思】 用求导的方法确定方程根的个数是一种很有效的 方法，它是通过函数的变化情况，运用数形结合的思想来确定 函数的图象与 x 轴的交点个数．
第24页，共29页。
【变式 3】 设函数 f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)若关于 x 的方程 f(x)＝a 有三个不同的实数根，求实数 a 的取 值范围． 解 (1)f′(x)＝3x2－6，令 f′(x)＝0， 解得 x＝－ 2或 x＝ 2. 因为当 x＞ 2或 x＜－ 2时，f′(x)＞0； 当－ 2＜x＜ 2时，f′(x)＜0， 所以 f(x)的单调递增区间为(－∞，－ 2)，( 2，＋∞)； 单调递减区间为(－ 2， 2)．
人教a版数学【选修2-2】1.3.2《函数的极值与导数》ppt课件
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
导数及其应用
第一章
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
1
自主预习学案
2
Hale Waihona Puke 典例探究学案3巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
1.掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件． 2．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值 ，及其他简单函数的极值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含 x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函 f(x)<f(xf0()x)的一个 数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数 __________；如果都有 __________，则称函数f(x)在点x0处取 极大值 得________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值 f(，极大值点与极小值点统称为 x)>f(x0) 极大值点 与极小值统称为______ 极小值 极小值点 ________． 极值 极值点
重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数的单调性与极值的综合应用．
函数的极值与导数的关系 思维导航 在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同，有 的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些 情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近 的左侧f(x)单调 ．．
极大值 极小值 － 0 4e 2 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e2.
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第一章
导数及其应用
第一章
1.3 导数在研究函数中的应用
1.3.2 函数的极值与导数
1
自主预习学案
2
Hale Waihona Puke 典例探究学案3巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
1.掌握极值的概念，了解函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件． 2．会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值 ，及其他简单函数的极值．
2．一般地，已知函数y＝f(x)及其定义域内一点x0，对于包含 x0在内的开区间内的所有点x，如果都有__________，则称函 f(x)<f(xf0()x)的一个 数f(x)在点x0处取得__________，并把x0称为函数 __________；如果都有 __________，则称函数f(x)在点x0处取 极大值 得________，并把x0称为函数f(x)的一个__________．极大值 f(，极大值点与极小值点统称为 x)>f(x0) 极大值点 与极小值统称为______ 极小值 极小值点 ________． 极值 极值点
重点：函数极值的概念与求法． 难点：函数的单调性与极值的综合应用．
函数的极值与导数的关系 思维导航 在函数的图象上，有的点左、右两侧函数的单调性相同，有 的点左、右两侧的单调性相反，有些情形下左增右减，在些 情况下左减右增，这些点对研究函数有何特殊意义？
新知导学
1．如图是函数y＝f(x)的图象，在x＝a邻近 的左侧f(x)单调 ．．
极大值 极小值 － 0 4e 2 由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 4 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e2.
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
解 由(1)知f(x)＝x3－3x2且f′(x)＝3x(x－2)，
由f′(x)<0得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0,2).
解析答案
1 3 1 2 (3)已知函数 f(x)＝3x ＋2(a－1)x ＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极 小值，求实数 a 的取值范围.
)
解析答案
类型二 例2
已知函数极值求参数
(1) 已知函数 f(x) ＝ x3 ＋ 3ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x ＝－ 1 处有极值 0 ，则 a ＝
________，b＝________.
解析答案
1 －∞，1) (2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为( ________. 3
数的单调性. 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是 极小值 .
答案
返回
题型探究
类型一 求函数的极值点和极值
C.a<－1或a>2
解析
D.a<－3或a>6
f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
解析答案
1
2
3
4
3.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围 (－∞，－1) 为____________.
由f′(x)<0得3x(x－2)<0，∴0<x<2， ∴函数f(x)的递减区间是(0,2).
解析答案
1 3 1 2 (3)已知函数 f(x)＝3x ＋2(a－1)x ＋ax(a∈R)在区间(0,1)内有极大值和极 小值，求实数 a 的取值范围.
)
解析答案
类型二 例2
已知函数极值求参数
(1) 已知函数 f(x) ＝ x3 ＋ 3ax2 ＋ bx ＋ a2 在 x ＝－ 1 处有极值 0 ，则 a ＝
________，b＝________.
解析答案
1 －∞，1) (2)若函数f(x)＝ x3－x2＋ax－1有极值点，则a的取值范围为( ________. 3
数的单调性. 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧 f′(x)>0 ，右侧 f′(x)<0 ，那么f(x0)是 极大值 . (2)如果在x0附近的左侧 f′(x)<0 ，右侧 f′(x)>0 ，那么f(x0)是 极小值 .
答案
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题型探究
类型一 求函数的极值点和极值
C.a<－1或a>2
解析
D.a<－3或a>6
f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
因为f(x)既有极大值又有极小值，
那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
解析答案
1
2
3
4
3.设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围 (－∞，－1) 为____________.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件2 新人教A版选修2-2
K12课件
7
(5)若函数 f(x)在[a，b]上有极值，它的极值点的分布是有规
律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相
邻两个极小值点之间必有一个极大值点．
2. 求极值点的一般步骤
(1)求出导数 f′(x)；
(2)解方程 f′(x)＝0；
K12课件
8
(3)对于方程 f′(x)＝0 的每一个解 x0，分析 f′(x)在 x0 左、右 两侧的符号(即 f(x)的单调性)，确定极值． ①若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左正右负”，则 x0 为极大值点． ②若 f′(x)在 x0 两侧的符号“左负右正”，则 x0 为极小值点． ③若 f′(x)在 x0 两侧的符号“相同”，则 x0 不是极值点.
右 侧 f′(x)>0 ， 把 a 点 叫 做函__数___的__极__小__值__点__ ， f(a) 叫 做 __函__数__的__极__小___值___．
K12课件
3
2．极大值：f(x)在 x＝b 处的函数值 f(b)比它在 x＝b 附近
的其他函数值都大，f′(b)＝0；而且在点 x＝b 附近的左侧
K12课件
12
变式训练 1 求函数 f(x)＝－x(x－2)2 的极值． 解：函数 f(x)的定义域为 R. f(x)＝－x(x2－4x＋4)＝－x3＋4x2－4x， ∴f′(x)＝－3x2＋8x－4＝－(x－2)(3x－2)， 令 f′(x)＝0，得 x＝32，或 x＝2.
K12课件
13
x
(－∞，32)
f′(x)>0，右侧 f′(x)<0，b 点叫做_函__数___的__极__大__值__点_______， f(b)叫做__函__数__的__极__大__值___．
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
典例 4 已知函数 f(x)＝x3－3ax－1，a≠0． (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)在 x＝－1 处取得极大值，直线 y＝m 与 y＝f(x)的图象有三个不同的 交点，求 m 的取值范围．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当 a<0 时，对 x∈R，有 f ′(x)>0， ∴当 a<0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当 a>0 时，由 f ′(x)>0 解得 x<－ a或 x> a； 由 f ′(x)<0 解得－ a<x< a， ∴当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；f(x)的单调减区 间为(－ a， a)．
• A．(－∞，－1)D
B．(0，＋∞)
• C．(0,1) D．(－1,0)
(2)(2017·湖北重点中学期中联考)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于
零的极值点，则( C )
A．a<－1e
B．a>－1
C．a<－1
D．a>－1e
[解析] (1)若 a<－1，∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)， ∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在 x＝a 处取得 极小值，与题意不符； 若－1<a<0，则 f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在 x＝a 处取得极大值． 若 a>0，则 f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾， ∴选 D． (2)y′＝ex＋a，由题意知 a<0． ∵函数有大于零的极值点，x＝x0 为其极值点， ∴ex0＋a＝0，x0>0，∴a<－1，故选 C．
[解析] (1)f ′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)， 当 a<0 时，对 x∈R，有 f ′(x)>0， ∴当 a<0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)． 当 a>0 时，由 f ′(x)>0 解得 x<－ a或 x> a； 由 f ′(x)<0 解得－ a<x< a， ∴当 a>0 时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ a)，( a，＋∞)；f(x)的单调减区 间为(－ a， a)．
• A．(－∞，－1)D
B．(0，＋∞)
• C．(0,1) D．(－1,0)
(2)(2017·湖北重点中学期中联考)设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R，有大于
零的极值点，则( C )
A．a<－1e
B．a>－1
C．a<－1
D．a>－1e
[解析] (1)若 a<－1，∵f ′(x)＝a(x＋1)(x－a)， ∴f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，－1)上单调递增，∴f(x)在 x＝a 处取得 极小值，与题意不符； 若－1<a<0，则 f(x)在(－1，a)上单调递增，在(a，＋∞)上单调递减，从而在 x＝a 处取得极大值． 若 a>0，则 f(x)在(－1，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，与题意矛盾， ∴选 D． (2)y′＝ex＋a，由题意知 a<0． ∵函数有大于零的极值点，x＝x0 为其极值点， ∴ex0＋a＝0，x0>0，∴a<－1，故选 C．
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
• [问题3] f′(a)值是什么？
• [提示3] f′(a)＝0.
极小值点与极小值
• 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附 近 ＝其 a附它近点的的左函侧数_值__都__小__，_0_f_′，(a)右＝侧_____________；__而__且，在就点把x f点′(x)<a0叫做函数y＝f(f′x(x))的>0极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x) 的极小值．
•
(1)函数的定义域为R.
• f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
• 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. • 由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当 x＝－1 时，f(x)有极大值53. 当 x＝3 时，f(x)有极小值－9. (2)因为 f(x)＝x4－4x3＋5， 所以 f′(x)＝4x3－12x2 ＝4x2(x－3)． 令 f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得 x1＝0，x2＝3.
• 1．对函数极值概念的理解
• (1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在 某一点附近的大小情况．
• (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点 处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极 值点．
• (3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点， 也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有 极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既 有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大， 极小值也不一定比极大值小．
(5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0 不可导，是极小值 点．
• [提示3] f′(a)＝0.
极小值点与极小值
• 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附 近 ＝其 a附它近点的的左函侧数_值__都__小__，_0_f_′，(a)右＝侧_____________；__而__且，在就点把x f点′(x)<a0叫做函数y＝f(f′x(x))的>0极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x) 的极小值．
•
(1)函数的定义域为R.
• f′(x)＝x2－2x－3＝(x＋1)(x－3)．
• 令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3. • 由此可知当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表
所示：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
当 x＝－1 时，f(x)有极大值53. 当 x＝3 时，f(x)有极小值－9. (2)因为 f(x)＝x4－4x3＋5， 所以 f′(x)＝4x3－12x2 ＝4x2(x－3)． 令 f′(x)＝4x2(x－3)＝0，得 x1＝0，x2＝3.
• 1．对函数极值概念的理解
• (1)函数的极值是函数的局部性质，它反映了函数在 某一点附近的大小情况．
• (2)由函数极值的定义知道，函数在一个区间的端点 处一定不可能取得极值，即端点一定不是函数的极 值点．
• (3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点， 也可能不存在极值点；函数可能只有极大值，没有 极小值，或者只有极小值，没有极大值，也可能既 有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大， 极小值也不一定比极大值小．
(5)不可导点是极值点：y＝|sin x|，x＝0 不可导，是极小值 点．
创新设计高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教版选修22101504115
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栏目 (lán mù) 索引
知识梳理 学习
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题型探究
重点
(zhòngdiǎn)突破
当堂检测
自查自纠
第三页，共40页。
知识(zhī shi)梳理
自
主学习
知识点一 函数(hánshù)极值的概念
1.极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函
第十七页，共40页。
解析(jiě
(3)若y＝f(x)的图象(tú xiànɡ)与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的 取解 值由范(围2)可. 知函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞) 上单调递增.且当x＝1和x＝3时，f′(x)＝0. ∴f(x)的极大值为 f(1)＝6ln 1＋1－8＋b＝b－7， f(x)的极小值为 f(3)＝6ln 3＋9－24＋b＝6ln 3＋b－15. ∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0， ∴要使 f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，
(fànwDéi)为( )
A.－1＜a＜2
B.－3＜a＜6
C.a＜－1或a＞2
D.a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 因为(yīn wèi) f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0， 解得a＞6或a＜－3.
第三十八页，共40页。
解析(jiě xī)
，右侧 f′(x)＞，0
f′(x)＜0
则把点b叫做(jiàozuò)函y＝数f(x)
的极大值点，f(b)叫做(jiàozuò)函数y＝f(x)的极
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知识点一 函数(hánshù)极值的概念
1.极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函
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解析(jiě
(3)若y＝f(x)的图象(tú xiànɡ)与x轴正半轴有且只有3个交点，求实数b的 取解 值由范(围2)可. 知函数 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，＋∞) 上单调递增.且当x＝1和x＝3时，f′(x)＝0. ∴f(x)的极大值为 f(1)＝6ln 1＋1－8＋b＝b－7， f(x)的极小值为 f(3)＝6ln 3＋9－24＋b＝6ln 3＋b－15. ∵当x充分接近0时，f(x)＜0，当x充分大时，f(x)＞0， ∴要使 f(x)的图象与x轴正半轴有且仅有三个不同的交点，
(fànwDéi)为( )
A.－1＜a＜2
B.－3＜a＜6
C.a＜－1或a＞2
D.a＜－3或a＞6
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)， 因为(yīn wèi) f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0， 解得a＞6或a＜－3.
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解析(jiě xī)
，右侧 f′(x)＞，0
f′(x)＜0
则把点b叫做(jiàozuò)函y＝数f(x)
的极大值点，f(b)叫做(jiàozuò)函数y＝f(x)的极
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A选修22 (2)
o
2
2
x
4 极小值为f 2 = - . 图3.3 12 3 1 3 函数f x = x - 4x + 4的图象如图3.3 - 12所示. 3
注意 :极大值 不 一定大于极小值 .
思考
导 数 值 为 0的 点 一 定 是 函 数 的 极 值 点 吗 ?
导数值为 0 的点不一定是函数的极值点 .例如, 对于函数 f x = x 3 ,我们有 f x = 3x 2 .虽然 f ' 0 = 0, 但由于无论 x > 0 ,还是 x < 0 ,恒有 f x > 0 ,即函数 f x = x 3是单调递增的,所以x = 0不是函数f x = x 3 极值点.一般地,函数 y = f x 在一点的导数值为 0是 函数 y = f x 在这点取极值的必要条件,而非充分条件.
2.跳水运动员在最高处附近的情况：
（二）观察分析，初步探究
h(t)=-4.9t2+6.5t+10
o a
t
单调递增
h ´(t)>0
＋ t<a
－ t=a
单调递减 h ´(t)<0
t>a
（三）分析归纳，抽象概括
如图 3.3 - 10 和图 3.3 - 11,函数 y = f x 在 a ,b ,c ,d ,e ,f ,g ,h 等点的函数值与这些点附近 的函数值有什么关系?y = f x 在这些点的导数 值是多少?在这些点附近,y = f x 的导数的符号 有什么规律?
类似地, 函数 y = f x 在点x = b的函数值f b 比它 在点 x = b 附近 其他点的函数 值都大 ,f b = 0; 而且在点 x = b 附近的左侧f x > 0,右侧f x < 0.
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修22
2．极大值点与极大值
若函数 f(x)满足： (1)在 x＝b 附近其他点的函数值 f(x)≤f(b)； (2)f′(b)＝0； (3)在 x＝b 附近的左侧 f′(x)>0，在 x＝b 附近的右侧 f ′(x)<0，则点 b 叫作函数 y＝f(x)的极大值点，f(b)叫作函 数 y＝f(x)的极大值．
x
0，e－12
y′
－
e－12 0
e－12，＋∞ ＋
y
↘
极小值－21e
↗
所以当 x＝e－12时，y 有极小值，且 y 极小值＝－21e.
归纳升华 1．求可导函数 f(x)极值的步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数 f′(x)； (2)求方程 f′(x)＝0 的根； (3)利用 f′(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左 右两侧单调性的变化情况求极值． 2．f′(x)＝0 只是可导函数 f(x)在 x0 取得极值的必要 条件，不是充分条件．例如：函数 f(x)＝x3，f′(0)＝0， 但 x＝0 不是 f(x)＝x3 的极值点．
解析：(1)错，函数的极大值不一定大于极小值． (2)错，函数的极大(小)值是函数在某点附近的函数值 的最大(小)值，不是定义域上的最大(小)值． (3)错，如 f(x)＝x3 满足 f′(0)＝0，但 f(0)不是 f(x)＝x3 的极值． (4)错，单调函数没有极大值和极小值． 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
3．已知函数的极值情况，逆向应用确定函数的解析 式，研究函数性质时，需注意两点：(1)常根据极值点处 导数为 0 和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求 解；(2)因为函数在一点的导数值等于零不是此点为极值 点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证极 值点的合理性．
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f′(x)的图象如图 1-3-5 所示，则函数 f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
图 1-3-5
【解析】 设 y＝f′(x)的图象与 x 轴的交点从左到右横坐标依次为 x1，x2，
当 x＝1 时，f(x)有极小值 f(1)＝－2＋a. 因为方程 f(x)＝0 有三个不同实根， 所以 y＝f(x)的图象与 x 轴有三个交点，如图．
由已知应有2－＋2a＋>a0<，0， 解得－2<a<2，故实数 a 的取值范围是(－2,2)．
方程 fx＝0 的根就是函数 y＝fx的零点，是函数图象与 x 轴交点的横坐标，研究方程的根的问题可以转化为函数图象与 x 轴交点的问题.我们可以根据函数图象在坐标轴中的位置不同， 结合极值的大小确定参数的范围.
所以当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0) 0
(0,1)
1 (1，＋∞)
f′(x) －
0
＋
0
＋
单调
单调
单调
f(
递增
所以当 x＝0 时，函数取得极小值，且 y 极小值＝－6.
(3)f(x)＝|x|＝x－，xx，≥x0<，0. 显然函数 f(x)＝|x|在 x＝0 处不可导， 当 x>0 时，f′(x)＝x′＝1>0， 函数 f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当 x<0 时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数 f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减． 故当 x＝0 时，函数取得极小值， 且 y 极小值＝0.
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版
探究点二 已知函数的极值求参数 [典例精析] 已知 f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2 在 x＝－1 时有极值 0，求常数 a，b 的值． [解] ∵y＝f(x)在 x＝－1 时有极值为 0， 且 f′(x)＝3x2＋6ax＋b， ∴ff′－1－＝1＝ 0，0， 即3－－16＋a＋3ab－＝b0＋，a2＝0.
解：f′(x)＝3ax2＋2bx＋c， (1)法一：∵x＝±1 是函数的极值点， ∴x＝±1 是方程 3ax2＋2bx＋c＝0 的两根．
由根与系数的关系知－3ca23＝ba＝－01，，
① ②
又 f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，
③
由①②③解得 a＝12，b＝0，c＝－32.
法二：由 f′(1)＝f′(－1)＝0，得 3a＋2b＋c＝0， ①
[类题通法] (1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题， 一般地，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横 坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的交点的横 坐标． (2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值 情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数 图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方 程根的个数问题提供了方便．
f′(x)
－
0＋
2 (2，＋∞)
0
－
f(x)
0
4e－2
由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0. 当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝e42.
(2)函数y＝lnxx的定义域为(0，＋∞)，
y′＝1－xl2n x.令y′＝0，即1－xl2n x＝0，得x＝e.
x
(0，e) e
高中数学第一章导数及其应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版选修2_2
注：单调区间不 以“并集”出现.
问题：如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) 4.9t2 6.5t 10 的图象
h' a 0
h
单调递增
单调递减
h(t) 0
h(t) 0
oa t
归纳: 函数 h(t) 在点a 处h(a) 0 ,在t a 的附近, 当t a 时,函数h(t)单调递增，h(t) 0 ; 当t a 时,函数h(t)单调递减h, (t) 0 。
当 f (x) 0 , 即 2 x 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2)
f ( x)
+
f (x) 单调递增
–2 (–2, 2)
0
–
28 / 3 单调递减
2 ( 2, +∞)
0
+
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
观察图象探究一：1.可导函数y=f(x)在点a和点b处的函数值与 它们附近点的函数值有什么的大小关系？2. y=f(x)在点a和点b 处的导数值是多少？3.在点a和点b附近，y=f(x)的导数的符号 分别是什么，并且有什么关系？
y
ao
b
x
y f x
f (b) 0
y
极大值
f(b)
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。
问题：如图表示高台跳水运动员的高度 h 随时间 t 变化的函数 h(t) 4.9t2 6.5t 10 的图象
h' a 0
h
单调递增
单调递减
h(t) 0
h(t) 0
oa t
归纳: 函数 h(t) 在点a 处h(a) 0 ,在t a 的附近, 当t a 时,函数h(t)单调递增，h(t) 0 ; 当t a 时,函数h(t)单调递减h, (t) 0 。
当 f (x) 0 , 即 2 x 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:
x (–∞, –2)
f ( x)
+
f (x) 单调递增
–2 (–2, 2)
0
–
28 / 3 单调递减
2 ( 2, +∞)
0
+
4 / 3 单调递增
所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .
观察图象探究一：1.可导函数y=f(x)在点a和点b处的函数值与 它们附近点的函数值有什么的大小关系？2. y=f(x)在点a和点b 处的导数值是多少？3.在点a和点b附近，y=f(x)的导数的符号 分别是什么，并且有什么关系？
y
ao
b
x
y f x
f (b) 0
y
极大值
f(b)
f (x) 0 f (x) 0 f (x) 0
尖子生好方法:听课时应该始终跟着老师的节奏，要善于抓住老师讲解中的关键词，构建自己的知识结构。利用老师讲课的间隙，猜想老师还会讲什么，会怎样讲， 怎样讲会更好，如果让我来讲，我会怎样讲。这种方法适合于听课容易分心的同学。