(word完整版)初二数学上学期知识点和典型例题总结,文档

全等三角形
种类一：全等三角形性质的应用
1、如图，△ ABD≌△ ACE， AB=AC，写出图中的对应边和对应角.
思路点拨 : AB=AC，AB和 AC是对应边，∠ A 是公共角，∠ A 和∠ A 是对应角，按对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边可求解.
剖析： AB和 AC是对应边， AD和 AE、BD和 CE是对应边，∠ A 和∠ A 是对应角，∠ B 和∠ C，∠ AEC 和∠ ADB是对应角 .
总结升华：两对对应极点，那么以这两对对应极点为极点的角是对应
角，第三对角是对应角；再由对应角所对的边是对应边，可找到对应边.
两对对应边，第三对边是对应边，对应边所对的角是对应角.
贯穿交融：
【变式 1】如图，△ ABC≌△ DBE. 问线段 AE和 CD相等吗？为什么？
【答案】证明：由△ ABC≌△ DBE，得 AB=DB,BC=BE，
那么 AB-BE=DB-BC，即 AE=CD。

【变式 2】如右图，，。

求证： AE∥CF
【答案】
∴AE∥CF
2、如图， ABC≌Δ DEF，∠ A=30°，∠ B=50°， BF=2，求∠ DFE的度数与 EC的长。

思路点拨 : 由全等三角形性质可知：∠ DFE=∠ACB，EC+CF=BF+FC，所以只需求∠ ACB的度数与 BF的长即可。

剖析：在ABC中，
∠ACB=180°- ∠A-∠ B，
又∠ A=30°，∠ B=50°，
所以∠ ACB=100° .
又由于ABC≌Δ DEF，
所以∠ ACB=∠ DFE，
BC=EF〔全等三角形对应角相等，对
应边相等〕。

所以∠ DFE=100°
EC=EF-FC=BC-FC=FB=2。

总结升华：全等三角形的对应角相等，对应边相
等。

贯穿交融：
【变式 1】以以下图，ACD≌Δ ECD，CEF≌Δ BEF，∠ ACB=90° .
求证：〔 1〕CD⊥ AB；〔 2〕 EF∥AC.
【答案】
(1 〕由于ACD≌Δ ECD，
所以∠ ADC=∠EDC〔全等三角形的对
应角相等〕 .
由于∠ ADC+∠EDC=180°，所以∠
ADC=∠EDC=90° .
所以 CD⊥AB.
(2 〕由于CEF≌Δ BEF,
所以∠ CFE=∠BFE〔全等三角形的对
应角相等〕 .
由于∠ CFE+∠BFE=180°，
所以∠ CFE=∠BFE=90° .
由于∠ ACB=90° , 所以∠ ACB=∠BFE.
所以 EF∥AC.
种类二：全等三角形的证明
3、如图， AC＝BD，DF＝ CE，∠ ECB＝∠ FDA，求证：△ ADF≌△ BCE．
思路点拨 : 欲证△ ADF≌△ BCE，由可知已具备一边一角，由公义的条件判断还缺少这角的另一边，可经过 AC＝BD而得
剖析：∵AC＝BD( )
∴AB-BD＝ AB-AC(等式性质 )
即 AD＝BC
在△ ADF与△ BCE中
∴△ ADF≌△ BCE(SAS)
总结升华：利用全等三角形证明线段( 角) 相等的一般方法和步骤以下：
(1)找到以待证角 ( 线段 ) 为内角 ( 边 ) 的两个三角形，
(2)证明这两个三角形全等；
(3)由全等三角形的性质得出所要证的角 ( 线段 ) 相
等．贯穿交融：
【变式 1】如图， AB∥ DC，AB＝DC，求证： AD∥BC
【答案】∵ AB∥CD
∴∠ 3＝∠ 4
在△ ABD和△ CDB中
∴△ ABD≌△ CDB(SAS)
∴∠ 1＝∠ 2( 全等三角形对应角相等 )
∴ AD∥BC(内错角相等两直线平行 )
【变式 2】如图， EB⊥ AD于 B，FC⊥ AD于 C，且 EB＝FC， AB＝CD．求证 AF＝ DE．
【答案】∵ EB⊥AD( )
∴∠ EBD＝90° ( 垂直定义 )
同理可证∠ FCA＝90°
∴∠ EBD＝∠ FCA
∵AB＝CD， BC＝BC
∴AC＝AB+BC
＝BC+CD
＝BD
在△ ACF和△ DBE中
∴△ ACF≌△ DBE(S．A．S)
∴ AF＝DE(全等三角形对应边相等 )
种类三：综合应用
4、如图， AD为ABC的中线。

求证：
AB+AC>2AD.
思路点拨 :要证AB+AC>2AD，由图想到：AB+BD>AD，AC+CD>AD，所以
AB+AC+BC>2AD，所以不能够直接证出。

由 2AD想到构造一条线段等于 2AD，即倍长中线。

剖析：延长 AD至 E，使 DE=AD，连接 BE
由于 AD为ABC的中线，
所以 BD=CD.
在 ACD和 EBD中，
所以ACD≌Δ EBD(SAS).
所以 BE=CA.
在 ABE中， AB+BE>AE，所以 AB+AC>2AD.
总结升华：经过构造三角形全等，将待求的线段放在同一个三角形中。

贯穿交融：
【变式 1】：如图，在 Rt ABC中， AB=AC,∠BAC=90° , ∠ 1=∠2，CE ⊥BD的延长线于 E，
求证： BD=2CE.
【答案】分别延长CE、BA交于 F.
由于 BE⊥ CF,所以∠ BEF=∠
BEC=90° .
在BEF和BEC中，
所以BEF≌Δ BEC(ASA).
所以 CE=FE= CF.
又由于∠ BAC=90° ,BE⊥CF.
所以∠ BAC=∠CAF=90°，∠ 1+∠ BDA=90°，∠ 1+∠BFC=90°.
所以∠ BDA=∠BFC.
在 ABD和 ACF中，
所以ABD≌Δ ACF(AAS)
所以 BD=CF所.以 BD=2CE.
5、如图， AB＝CD，BE＝ DF，∠ B＝∠ D，
求证： (1)AE ＝ CF，(2)AE ∥CF， (3) ∠AFE＝∠ CEF 思路点拨 : (1) 直接经过△ ABE≌△ CDF而得， (2) 先证明∠ AEB＝∠ CFD，(3)由 (1)(2)可证明△ AEF≌△ CFE而得，总之，欲证两边(角)相等，找这两边(角)
所在的两个三角形尔后证明它们全等．
剖析：
(1) 在△ ABE与△ CDF中
∴△ ABE≌△ CDF(SAS)
∴AE＝ CF(全等三角形对应边相等 )
(2)∵∠ AEB＝∠ CFD(全等三角形对应角相等 )
∴AE∥ CF(内错角相等，两直线平行 )
(3)在△ AEF与△ CFE中
∴△ AEF≌△ CFE(SAS)
∴∠ AFE＝∠ CEF(全等三角形对应角相等 )
总结升华：在复杂问题中，常将全等三角形的对应角 ( 边 ) 作为判断另一对三角形全等的条件．
贯穿交融：
【变式 1】如图，在△ ABC中，延长 AC边上的中线 BD到 F，使 DF＝ BD，延长 AB边上的中线 CE到 G，使 EG＝CE，求证 AF＝ AG．
【答案】在△ AGE与△ BCE中
∴△ AGE≌△ BCE(SAS)
∴ AG＝BC(全等三角形对应边相等 )
在△ AFD与△ CBD中
∴△ AFD≌△ CBD(SAS)
∴AF＝CB(全等三角形对应边相等 )
∴AF＝AG(等量代换 )
6、如图 AB＝AC，BD⊥AC于 D，CE⊥AB于 E，BD、 CE订交于 F．
求证： AF均分∠ BAC．
思路点拨 : 假设能证得得 AD=AE，由于∠ ADB、∠ AEC都是直角，可证得Rt△ ADF≌ Rt△AEF，而要证 AD=AE，就应先考虑 Rt △ABD与 Rt△AEC，由题意AB=AC，∠ BAC是公共角，可证得 Rt △ABD≌Rt △ACE．
剖析：在 Rt △ABD与 Rt△ ACE中
∴R t △ABD≌Rt△ ACE(AAS)
∴AD=AE(全等三角形对应边相等 )
在 Rt △ADF与 Rt△ AEF中
∴R t △ADF≌Rt△ AEF(HL)
∴∠ DAF=∠EAF(全等三角形对应角相等 )
∴AF均分∠ BAC(角均分线的定义 )
总结升华：条件和结论相互转变，有时需要经过屡次三角形全等得出待求的结论。

贯穿交融：
【变式 1】求证：有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】依照题意，画出图形，写出，求证．
：如图，在△ ABC与△ A′B′C′中． AB=A′ B′， BC=B′C′， AD⊥BC 于 D，A′D′⊥ B′C′于 D ′且 AD=A′D′
求证：△ ABC≌△ A′ B′ C′
证明：在 Rt △ABD与 Rt△ A′ B′ D′中
∴R t △ABD ≌ Rt △A′B′D′
(HL)
∴∠ B=∠B′( 全等三角形对应
角相等 )
在△ ABC与△ A′B′C′中
∴△ ABC≌△ A′B′C′(SAS)
【变式2】，如图， AC、BD 订交于O， AC=BD，∠ C＝∠ D＝ 90°求证：OC=OD
【答案】∵∠ C=∠D=90°
∴△ ABD、△ ACB为直角三角形
在 Rt△ABD和 Rt △ABC中
∴Rt△ABD≌Rt △ABC(HL)
∴AD=BC
在△ AOD和△ BOC中
∴△ AOD≌△ BOC(AAS)
∴OD=OC．
7、⊿ ABC中， AB=AC， D 是底边 BC上任意一点， DE⊥AB， DF⊥AC，CG⊥ AB 垂足分别是 E、F、G..
试判断：猜想线段DE、 DF、CG的数量有何关系？并证明你的猜想。

思路点拨 : 追求一题多解和多题一解是掌握规律的捷
径剖析：结论： DE+DF=CG
方法一：〔截长法〕板书此种方法〔 3 分钟〕
作 DM⊥CG于 M
∵DE⊥ AB，CG⊥AB， DM⊥CG
∴四边形 EDMG是矩形
DE=GM
DM//AB
∴∠ MDC=∠B
∵AB=AC
∴∠ B=∠ FCD
∴∠ MDC=∠FCD
而 DM⊥CG， DF⊥AC
∴∠ DMC=∠CFD
在⊿ MDC和⊿ FCD中
∴⊿ MDC≌⊿ FCD〔AAS〕
MC=DF
∴DE+DF=GM+MC=CG
总结升华：
方法二〔补短法〕作CM⊥ ED交 ED的延长线于 M〔证明过程略〕
总结：截长补短的一般思路，并由此能够引申到截长法有两种截长的想法
方法三〔面积法〕使用等积转变
引申：若是将条件“ D是底边 BC上任意一点〞改为“ D 是底边 BC的延长线
上任意一点〞，此时图形怎样？ DE、DF和 CG会有怎样的关系？画出图形，
写出你的猜想并加以证明
贯穿交融：
【变式 1】三角形底边上的任意一点到两个腰上的距离和等于腰上的高。

【答案】证明的过程使用三种证明方法，包括：〔1〕截长法〔 2〕补短法〔 3〕面积法
轴对称
考点一、关于“轴对称图形〞与“轴对称〞的认识
1234
典例 1．以下几何图形中，○线段○角○直角三角形○半圆，其中必然是轴对称图形的有〔〕
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
2．正 n 边形有 ___________条对称轴，圆有 _____________条对称轴
考点二、轴对称变换及用坐标表示轴对称
典例： 1、如图， Rt △ABC，∠C=90°,∠B=30°,BC=8， D为 AB中点，
P 为 BC上一动点，连接 AP、 DP,那么 AP+DP的最小值是A F 2、等边 ABC， E 在 BC的延长线上， CF 均分∠DCE， P 为射Q线
BC上一点， Q为B P C E
图〔 2〕
CF上一点，连接 AP、 PQ.假设 AP=PQ，求证∠APQ是多少度
考点四、线段垂直均分线的性质
⑴线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________
⑵线段的垂直均分线上的点到______________________相等归类回忆角均分线
的性质
⑴角是轴对称图形，其对称轴是_______________⑵角均分线上的点到
________________________相等
典例 1、如图，△ABC中，∠A=90°，BD为∠ABC均分线， DE⊥BC，E 是 BC的中点，求∠ C 的度数。

2、如图，△ABC中， AB=AC， PB=PC，连 AP 并延长交 BC于 D，求证： AD垂直均分 BC
A
A
B
P
E
A D C
D
B C E
D
B C
3、如图 ,DE 是ABC中 AC边的垂直均分线，假设BC=8厘米，AB=10厘米，那么EBC 的
周长为〔〕
A.16 厘米厘米厘米厘米
4、如图，∠ BAC=30°，P 是∠BAC均分线上一点， PM ∥AC， PD⊥AC， PD=28 ,那么AM=
5、如图，在 Rt△ABC中，∠ACB = 90°，∠BAC的均分线交 BC 于 D.过 C点作
M B
P
A
D C
CG⊥AB 于 G，交 AD于 E. 过 D点作 DF⊥AB 于 F. 以下结论：A
①∠ CED=∠CDE；② S AEC︰ S AEG AC ︰ AG ；③∠ ADF=2 ∠ECD；
④ S CED S DFB；⑤ CE=DF. 其中正确结论的序号是 ( )
E G
F C D B
A ．①③④B．①②⑤ C ．③④⑤D．①③⑤
考点五、等腰三角形的特色和鉴别
典例 1、如图，△ ABC中， AB=AC=8， D在 BC上，
过D作 DE ∥ AB交 AC于 E，DF∥ AC 交 AB 于 F，那么四边形 AFDE的周长为
______。

A
2、如图，△ABC中，BD、CD分别均分∠ABC与∠ACB，EF D D F
过
E
B C
且 EF∥BC，假设 AB = 7 ， BC = 8 ，AC = 6 ，那么△AEF周
长为 ()
A. 15
B. 14
C. 13
D. 18
N
D F
B
3、如图 , 点 B、D、F 在 AN上,C 、E 在 AM上，且A C E M
AB=BC=CD=ED=EF,∠A=20o, 那么∠FEB=________度．
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么它的一个底角的度数是
_____________
5、△ABC中， DF 是 AB 的垂直均分线，交BC于 D， EG是 AC 的垂直均分线，交BC于 E，假设∠DAE=20 °，那么∠BAC等于°
6、从一个等腰三角形纸片的底角极点出发，能将其剪成两个等腰三角形纸片，那么原等
腰三角形纸片的底角等于
7、，在△ ABC中，∠ACB=90°，点D、 E在直线 AB 上，且 AD=AC，BE=BC，那么∠DCE =
度.
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A8、如图：在△ ABC中， AB=AC，AD⊥BC， DE⊥ AB于点 E, DF ⊥AC于点 F。

试说明 DE=DF。

E F
B D C
9、如图 ,E 在△ABC的 AC边的延长线上， D 点在 AB边上， DE交 BC于点 F，
A DF=EF，BD=CE.
求证：△ABC是等腰三角形 .D
B F C
E
考点六、等边三角形的特色和鉴别
⑴等边三角形的各____相等，各 ____相等并且每一个角都等于________
⑵三个角相等的三角形是__________三角形⑶有一个角是60°的____________
三角形是等边三角形
特其余：等边三角形的中线、高线、角均分线
_________________________________________
典例1、以下推理中，错误的选
项是
()
A．∵∠A＝∠ B＝∠ C，∴△ABC 是等边三角形B．∵ AB＝AC，且∠ B＝∠ C，∴△ABC 是
等边三角形
C．∵∠ A＝ 60°，∠ B＝ 60°，∴△ ABC 是等边三角形 D ．∵ AB＝ AC，∠ B＝ 60°，∴△
ABC是等边三角形
2、如图，等边三角形 ABC中， D 是 AC的中点， E 为 BC延长线上一点，且CE＝ CD， DM
⊥ BC，垂足为 M。

求证： M是 BE的中点。

A
D
B M
C E
考点七、 30°所对的直角边是斜边的一半
典例
B
D
1、如图，是屋架设计图的一局部，点 D 是斜梁 AB 的中点，立柱BC、 DE垂
直
A
C
于横梁 AC， AB=8m，∠ A=30°，那么 DE等于〔〕E
A．1m B． 2mC．3m D． 4m C 2、如图：△ADC中，∠A = 15 °，∠D=90°，B 在 AC
的A B D 垂直均分线上， AB =34，那么 CD = ( )
A. 15
B. 17
C. 16
D.以上全不对
3、一张折叠型方桌如图甲，其主视图如图乙，AO=BO=40cm，C0=D0=30 cm，现将
桌子放平，两条桌腿叉开的角度∠AOB恰巧为 120°，
B 求桌面到地面的距离是多少？A
甲
o A
4、如图， AB=AC， DE⊥ AB于 E， DF⊥AC于 F，∠BAC=120， BC=6，
那么 DE+DF=E
B F C
5、在△ABC中，AB AC， A 120 ， AB 的垂直均分线交BC 于点 D ，交 AB 于
点 E ．若是 DE 1，求 BC 的长
实数
例 1、〔 1〕以下各数可否有平方根，请说明原因
①〔-3〕2② 02③ 2
（2〕以下说法对不对？为什么？
① 4 有一个平方根②只有正数有平方根
③ 任何数都有平方根
④假设 a ＞0， a 有两个平方根，它们互为相反数
解：〔 1〕〔-3〕 2 和 0 2 有平方根，由于〔 -3〕2 和 0 2 是非负数。

- 0.01 2 没有平方根，
由于 -0.01 2 是负数。

（2〕只有④对，由于一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是
零；负数没有平方根。

例 2、求以下各数的平方根：116
(1)9(2)(3)4
(4)
9
例 3、设，那么以下结论正确的选项
是〔〕
C. D.
剖析：〔估计〕由于，所以选 B
【变式 1】 1〕1.25 的算术平方根是 __________ ；平方根是 __________.2 〕 -27立方根是 __________. 3 〕___________ ，___________ ，___________.
【答案】 1〕；.2 〕-3.3〕，，
【变式 2】求以下各式中的
〔1〕〔 2〕〔 3〕
【答案】〔 1〕〔2〕 x=4或 x=-2 〔3〕 x=-4
例 4、判断以下说法可否正确
〔1〕的算术平方根是 -3 ；〔 2〕的平方根是± 15.
（3〕当 x=0 或 2 时，
剖析：〔 1〕错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故
〔2〕表示225的算术平方根，即=15. 实质上，此题是求15 的平方根，故的平方根是.
〔3〕注意到，当x=0时，=，显然此式没心义，发生错误的
原因是忽略了“负数没有平方根〞，故x≠0，所以当 x=2时，x=0.。