福建省华安县第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案

华安一中2018-2019学年下学期 高二数学（文科）第一次月考试题 (考试时间：120分钟 总分：150分)
★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。

一、选择题（每题5分共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．若i 为虚数单位，则=+i i )1(（ ）
A ．i +1
B ．i -1
C ．i +-1
D ．i --1
2．用反证法证明命题“若()R b a b a ∈=+,02
2
，则b a ,全为0”，其反设正确的是（ )
A ．b a , 全为0
B ．b a ,中只有一个为0
C ．b a ,至少有一个为0
D ．b a ,至少有一个不为0
3．甲、乙、丙、丁四位同学各自对y x 、两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如右表：
则哪位同学的试验结果体现y x 、两变量有更强的线性相关性（ ）
A ．甲
B ．乙
C ．丙
D ．丁
4．点P 的直角坐标为(1,3-)，则点P 的极坐标为( )
A. (2,3π-
) B.(2,34π) C. (2,3
π
) D.(2,34π-) 5．直线1,
13x t y t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩
的斜率为（ ）
A ．1
B ．1-
C 3
D ．3-6．余弦函数是偶函数，2
()cos(1)f x x =+是余弦函数，因此2
()cos(1)f x x =+是偶函数，以上推理（ ）
A ．全不正确
B ．结论不正确
C ．大前提不正确
D ．小前提不正确 7. 在极坐标系中，点(2,
)3
π
到圆2cos ρθ=的圆心的距离为（ ）
A 3
B ．2
C 2
19π+
D 2
49π+
甲 乙 丙 丁 r
0.80
0.85 0.69 0.78 m 105
102
123
112
8．《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”
：=
，=
=
=
=有“穿墙术”，则n =( )
A ．48
B ．63
C ．99
D ．120 9．以下四个命题，其中真命题的个数有（ ）
①用∑∑==---
=n
i i
n
i i
y y
y y R 12
1
22)()ˆ(1刻画回归效果,当2R 越大时,模型的拟合效果越差;反之,则越好
②在回归直线方程103.0+-=∧
x y 中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量y
ˆ就平均减少0.3个单位
③综合法证明数学问题是“由因导果”，分析法证明数学问题是“执果索因”
④若2K 的观测值为k =6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
10．已知关于x 的方程2(12)30x i x m i +-+-=有实根，则实数m 满足（ ）
Ａ．1
4
m -≤
Ｂ．1
4
m -≥
Ｃ．112
m =-
Ｄ．112
m =
11．下面给出了关于复数的四种类比推理:
①若a ，b ∈R ，则a-b ＞0⇒a ＞b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a-b ＞0⇒a ＞b ”; ②复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则
③ 由实数a 绝对值的性质|a|2
=a 2
类比得到复数z 的性质|z|2
=z 2
; ④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义. 其中类比得到的结论错误的是( )
A.①③
B.②④
C.②③
D.①④
12．对于大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的“分裂”：5323+=，
119733++=，1917151343+++=，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是53，
则m 的值为( )
A ．6
B ．7 C.8 D ．9
二、填空题（每小题5分，共20分，.将答案填入答卷指定位置）. 13．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为2018，则(a ＋b i)(a －b i)＝_______ 14．在复数范围内解方程0222
=+-x x ，得=x ______ 15．如图是一个算法框图，则输出的k 的值是
16．在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以)(n f 表示第n 堆的乒乓球总数，则=)(n f （答案用n 表示）
三．解答题（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，推理过程或演算步骤）
17. （本小题满分10分）已知函数 2
2
1)(x
x x f += （Ⅰ）分别求)4
1()4(),31()3(),21
()2(f f f f f f +++ 的值 （Ⅱ）归纳猜想一般性结论，并给出证明
18. (本小题满分12分) 已知复数12z a i =-，234z i =+（a R ∈，i 为虚数单位）.
（Ⅰ）若12z z ⋅是纯虚数，求实数a 的值；
（Ⅱ）若复数12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围. 19．(本小题满分12分) 已知复数为正
b ,bi 3z +=，且2
)2z (-为纯虚数 （Ⅰ）求复数z ；（Ⅱ）若2z
w i
=
+，求复数w 的模w ． 20. (本小题满分12分) 已知曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=，设直线l 的参数方程是
32
4x t y t
=-+⎧⎨
=⎩（t 为参数）．
（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程和直线l 的参数方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）判断直线l 和曲线C 的位置关系．
21．(本小题满分12分) 某中学将100名高二文科生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A ，B 两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教改实验．为了了解教学效果，期末考试后，陈老师对甲、乙两个班级的学生成绩进行统计分析，画出频率分布直方图(如下图)．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．
（Ⅰ）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表；
甲班(A 方式)
乙班(B 方式)
总计 成绩优秀 成绩不优秀 总计
有关？
附：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=.
P (K 2≥k )
0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 k
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
22． (本小题满分12分) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是2cos 2sin y α
α+⎧⎨
=⎩
(α
为参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 24πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
.
(Ⅰ)求曲线C 的普通方程与直线l 的直角坐标方程； (Ⅱ)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，与x 轴交于点P ，求PA PB ⋅.
华安一中2018-2019学年下学期 高二数学（文科）第一次月考试题参考答案
一、选择题：CDBAC DACBD AB
二、填空题：13. 2018； 14. i ±1 ； 15. 5 ； 16. 2
2n
n +
三．解答题：
17．解：解：（Ⅰ）1(2)()1,2f f 1(3)()1,3f f 1
(4)()1,4
f f ……………3分 （Ⅱ）猜想：1
()
()1,f n f n
……………6分 证明：∵2
2()1x f x x ， ∴22
21()11(),111()x f x x x
∴222
11
()() 1.11x f x f x x x
……………………………………9分 ∴1
()
()1,f n f n
…………………………………………………10分 18．解：（Ⅰ）依据12(2)(34)(38)(46)z z a i i a a i ⋅=-⋅+=++-……………………3分
根据题意12z z ⋅是纯虚数，380
460a a +=⎧⎨-≠⎩
……………………5分
8
3
a =-；………………………………………………………………6分
（Ⅱ）根据题意12z z ⋅在复平面上对应的点在第四象限，可得
38083
46032a a a +>⎧⇒-<<⎨
-<⎩
……………………………………………11分 所以，实数a 的取值范围为
83
{|}
32a a -<<………………………12分 19．解：（Ⅰ）2
2b
bi 21)bi 1(--=+ ………………………………2分 ∴0b 12
=-，.又b 为正实数
∴b ＝1. …………………………………………………4分 ∴z ＝3＋i.
1b ∴=，3z i ∴=+ …………………………………………6分
（Ⅱ）3(3)2771
222555
i i i i w i
i i i ++⋅--=
===-++⋅-（）（）（） ………………10分
w ∴…………………………………… 12分
20．解：（Ⅰ）曲线C 的极坐标方程可化为：θρρsin 22
=
又⎩⎨⎧+==2
22sin y
x y ρθρ曲线C 的直角坐标方程为：022
2=--y y x ……………………3分 将直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：0834=-+y x ………………………6分 （Ⅱ）曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为（0,1），半径1=r ………………………7分 则圆心C 到直线l 的距离r d ==+-=
19
1683 …………………………………11分
∴直线相切与圆C l ………………………………………………………12分
21．（Ⅰ）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为12,38，乙班成
绩优秀、成绩不优秀的人数分别为4,46.
6分 （Ⅱ）能判定，根据列联表中数据，K 2
的观测值
762.450
508416384-46121002
≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯=）（k ……………………………………10分
由于4.762>3.841，所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关． ……………………………………12分
22. .解：(Ⅰ)由曲线C 的参数方程12cos 2sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩(α为参数)，得12cos 2sin x y αα-=⎧⎨=⎩(α为参
数)，
两式平方相加，得曲线C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝4；…………………3分
由直线l 的极坐标方程可得ρcos θcos π4－ρsin θsin π
4＝cos sin 2ρθρθ⇒-=
即直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0 …………………6分
(Ⅱ)由题意可知P (2，0)，则直线l
的参数方程为
22x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数)．……7分
设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|，……………8分
将222
x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩(t 为参数)代入(x －1)2＋y 2＝4，得t 2＋2t －3＝0，……………9分 则Δ>0，由韦达定理可得t 1·t 2＝－3，………………………10分
所以|PA |·|PB |＝|－3|＝3 ………………………12分。