人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题难题提高题检测

人教版七年级初一数学第二学期第八章 二元一次方程组单元 易错题难题提高
题检测
一、选择题
1．方程组5213
310
x y x y +=⎧⎨-=⎩的解是（ ）
A ．3
1
x y =⎧⎨
=-⎩
B ．1
3
x y =-⎧⎨
=⎩
C ．3
1
x y =-⎧⎨
=-⎩
D ．1
3
x y =-⎧⎨
=-⎩
2．下列各组值中，不是方程21x y -=的解的是（ ）
A ．0,12x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
B ．1,
1x y =⎧⎨=⎩
C ．1,
0x y =⎧⎨=⎩
D ．1,
1x y =-⎧⎨=-⎩
3．二元一次方程组7
317x y x y +=⎧⎨+=⎩
的解是（ ）
A ．5
2x y =⎧⎨=⎩
B ．2
5x y =⎧⎨=⎩
C ．6
1x y =⎧⎨=⎩
D ．1
6x y =⎧⎨=⎩
4．已知关于x 、y 的方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨+=⎩的解是4
2x y =⎧⎨=⎩，则关于x 、y 的方程组
232232316ax by a c
ax by a c -+=⎧⎨
++=⎩
的解是 （ ） A ．42x y =⎧⎨=⎩
B ．3
2x y =⎧⎨=⎩
C ．5
2x y =⎧⎨=⎩
D ．5
1x y =⎧⎨=⎩
5．已知方程组32453x y a
x y -=⎧⎨+=⎩
的解x 与y 互为相反数，则a 等于（ ）
A ．3
B ．﹣3
C ．﹣15
D ．15
6．购买甲、乙两种笔记本共用70元．若甲种笔记本单价为5元，乙种笔记本单价为15元，且甲种笔记本数量是乙种笔记本数量的整数倍，则购笔记本的方案有（ ） A ．2种
B ．3种
C ．4种
D ．5种
7．满足方程组352
23x y m x y m
+=+⎧⎨+=⎩的x ，y 的值的和等于2，则m 的值为（ ）．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
8．小明去买2元一支和3元一支的两种圆珠笔（一种圆珠笔至少买一支），恰好花掉30元，则购买方案有（ ） A ．4种 B ．5种 C ．6种 D ．7种 9．若x ，y 均为正整数，且2x ＋1·
4y ＝128，则x ＋y 的值为( ) A ．3
B ．5
C ．4或5
D ．3或4或5
10．若x m ﹣n ﹣2y m+n ﹣2=2007，是关于x ，y 的二元一次方程，则m ，n 的值分别是（ ）
A ．m=1，n=0
B ．m=0，n=1
C ．m=2，n=1
D ．m=2，n=3
二、填空题
11．方程组251036
238
x y z x z ⎧+-=⎪
⎨⎪-=⎩__________________三元一次方程组（填“是”或“不是”）．
12．某公园的门票价格如表：
现某单位要组织其市场部和生产部的员工游览该公园，这两个部门人数分别为a 和b （a ≥b ）．若按部门作为团体，选择两个不同的时间分别购票游览公园，则共需支付门票费为1290元；若两个部门合在一起作为一个团体，同一时间购票游览公园，则共需支付门票费为990元，那么这两个部门的人数a =_____；b =_____．
13．解放碑某商场地下停车场有5个出入口，每天早晨7点开始对外停车且此时车位空置率为80%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满：如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满．2019年清明节期间，由于商场人数增多，早晨7点时的车位空置率变为60%，又因为车库改造，只能开放2个进口和1个出口，则从早晨7点开始经过_______小时车库恰好停满． 14． 已知21x y =⎧⎨
=⎩，是二元一次方程组8
1
mx ny nx my +=⎧⎨-=⎩的解，则m+3n 的平方根为______． 15．已知关于x 、y 的方程组135
x y a
x y a +=-⎧⎨
-=+⎩，给出下列结论：①当1a =时，方程组的解
也是方程3x y -=的解；②当x 与y 互为相反数时，1a =③不论a 取什么实数，2x y +的值始终不变；④若1
2
z xy =，则z 的最大值为1.正确的是________（把正确答案的序号全部都填上）
16．在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材川香、贝母、黄连增加经济收人，经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5，是根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的9
16
种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的
19
40
．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是____．
17．小纪念册每本5元，大纪念册每本7元．小明买这两种纪念册共花142元，则两种纪念册共买______本．
18．如图，长方形ABCD 被分成8块，图中的数字是其中5块的面积数，则图中阴影部分的面积是____﹒
19．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2
4x y =⎧⎨=⎩和
2
4x y =-⎧⎨=-⎩
，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 20．如图，三个全等的小矩形沿“横﹣竖﹣横”排列在一个边长分别为5.7，4.5的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于_____．
三、解答题
21．阅读材料并回答下列问题：
当m ，n 都是实数，且满足2m =8+n ，就称点P （m ﹣1，
2
2
n +）为“爱心点”． （1）判断点A （5，3），B （4，8）哪个点为“爱心点”，并说明理由； （2）若点A （a ，﹣4）是“爱心点”，请求出a 的值；
（3）已知p ，q 为有理数，且关于x ，y 的方程组333x y q
x y q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点B （x ，
y ）是“爱心点”，求p ，q 的值．
22．某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是20040cm cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲所示．（单位cm ） （1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；
（2）在试生产阶段，若将625张标准板材用裁法一裁剪，125张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
23．为了拉动内需，全国各地汽车购置税补贴活动正式开始．重庆长安汽车经销商在出台前一个月共售出长安SUV汽车SC35的手动型和自动型共960台，政策出台后的第一月售出这两种型号的汽车共1228台，其中手动型和自动型汽车的销售量分别比政策出台前一个月增长30%和25%．
（1）在政策出台前一个月，销售的手动型和自动型汽车分别为多少台；
（2）若手动型汽车每台价格为9万元，自动型汽车每台价格为10万元．根据汽车补贴政策，政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，问政策出台后的第一个月，政府对这1228台汽车用户共补贴了多少万元．
24．学校捐资购买了一批物资120吨打算支援山区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型甲乙丙
汽车运载量（吨/辆）5810
汽车运费（元/辆）400500600
（1）若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费8200元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？
（2）若该学校决定用甲、乙、丙三种汽车共15辆同时参与运送，你能求出参与运送的三种汽车车辆数吗？（甲、乙、丙三种车辆均要参与运送）
25．已知：平面直角坐标系中，A(a，3)、B(b，6)、C(c，1)，a、b、c都为实数，并且满足3b－5c＝－2a－18，4b－c＝3a＋10
(1) 请直接用含a的代数式表示b和c
(2) 当实数a变化时，判断△ABC的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围
(3) 当实数a变化时，若线段AB与y轴相交，线段OB与线段AC交于点P，且
S△PAB＞S△PBC，求实数a的取值范围.
26．已知：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，某物流公刊现有35吨货物，计划同时租用A 型车a 辆，B 型车b 辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物. 根据以上信息，解答下列问题：
(1)l 辆A 型车和l 辆B 型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案；
(3)若A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．A 解析：A 【分析】
利用代入消元法即可求解． 【详解】
解：5213310x y x y +=⎧⎨-=⎩
①②，
由②得：310y x =-③，
把③代入②可得：()5231013x x +-=， 解得3x =，
把3x =代入③得1y =-，
故方程组的解为31x y =⎧⎨=-⎩
，
故选：A ． 【点睛】
本题考查解二元一次方程组，根据方程组的特点选择合适的求解方法是解题的关键．
解析：B 【分析】
将x 、y 的值分别代入x-2y 中，看结果是否等于1，判断x 、y 的值是否为方程x-2y=1的解． 【详解】 A 项，当0x =，1
2y 时，1202()12x y -=-⨯-=，所以0,
12x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩
是方程21x y -=的解；
B 项，当1x =，1y =时，21211y =-⨯=-，所以1,
1x y =⎧⎨
=⎩
不是方程21x y -=的解； C 项，当1x =，0y =时，21201x y -=-⨯=，所以1,
0x y =⎧⎨
=⎩
是方程21x y -=的解； D 项，当1x =-，1y =-时，212(1)1x y -=--⨯-=，所以1,
1x y =-⎧⎨=-⎩
是方程21x y -=的解， 故选B. 【点睛】
本题考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．
3．A
解析：A 【分析】
方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】
解：7317x y x y +=⎧⎨+=⎩
①
②，
②﹣①得：2x ＝10， 解得：x ＝5，
把x ＝5代入①得：y ＝2， 则方程组的解为5
2
x y =⎧⎨=⎩． 故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解法以及二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．本题还可以利用代入法求解．
解析：B 【分析】
方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（）（），由方程组2323216ax by c
ax by c -=⎧⎨
+=⎩的解是42x y =⎧⎨=⎩即可求得方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为3
2x y =⎧⎨
=⎩
. 【详解】
方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨
++=⎩可化为213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨++=⎩（
）（），
∵方程组2323216ax by c ax by c -=⎧⎨
+=⎩的解是4
2
x y =⎧⎨=⎩，
∴142
x y +=⎧⎨
=⎩，
即方程组232232316ax by a c ax by a c -+=⎧⎨++=⎩的解为3
2
x y =⎧⎨
=⎩. 故选B. 【点睛】
本题考查了二元一次方程组的解，把方程组232232316ax by a c
ax by a c -+=⎧⎨++=⎩化为
213231216a x by c a x by c +-=⎧⎨
++=⎩（
）（）是解决问题的关键. 5．C
解析：C 【分析】
x 与y 互为相反数，得y=-x ，带入到方程组32453x y a
x y -=⎧⎨+=⎩
消去y ，得到关于x 、a 的二元一
次方程组即可. 【详解】
由x 与y 互为相反数，得y=-x ， 代入方程组32453x y a
x y -=⎧⎨
+=⎩
，得32453x x a x x +=⎧⎨-=⎩，
解得：3
15x a =-⎧⎨
=-⎩
，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
设购买甲种笔记本x 个，则乙种笔记本y 个，利用购甲、乙两种笔记本共用70元得到x=14-3y ，利用
143y y
-=14
y –3为整数可判断y=1，2，7，14，然后求出对应x 的值从而得到购笔记本的方案． 【详解】
设购买甲种笔记本x 个，购买乙种笔记本y 个， 根据题意得5x +15y =70，则x =14–3y ，
因为143y y -为整数，而
143y y
-=14
y –3， 所以y =1，2，7，14，
当y =1时，x =11；当y =2时，x =4；y =7和y =14舍去， 所以购笔记本的方案有2种． 故选A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系，特别是确定甲种笔记本数量和乙种笔记本数量关系，然后利用整除性确定方案．
7．C
解析：C 【解析】
根据题意35223x y m x y m +=+⎧⎨+=⎩①
②
，由加减消元法把①-②，得22x y +=③；然后由x 与y
的和等于2，得到2x y +=④，再根据③-④，得0x =，最后把0x =代入④得2y =，因此可解得234m x y =+=． 故选：C.
8．A
解析：A 【分析】
根据题意列出二元一次方程，再结合实际情况求得正整数解． 【详解】
解：设买x 支2元一支的圆珠笔，y 支3元一支的圆珠笔， 根据题意得：2330x y
，且,x y 为正整数，
变形为：3023
x
y ，由x 为正整数可知，302x 必须是3的整数倍， ∴当3023x ，即1y =时，13.5x =不是整数，舍去；
当3026x ，即2y =时，12x =是整数，符合题意； 当3029x
，即3y =时，10.5x =不是整数，舍去；
当30212x ，即4y =时，9x =是整数，符合题意； 当30215x ，即5y =时，7.5x =不是整数，舍去； 当30218x ，即6y =时，6x =是整数，符合题意； 当30221x ，即7y =时， 4.5x =不是整数，舍去； 当30224x ，即8y =时，3x =是整数，符合题意； 当30227x ，即9y =时， 1.5x =不是整数，舍去；
故共有4种购买方案，
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用，解题定关键是根据题意列出不定方程，然后根据实际问题对解得要求，逐一列举出来舍去不符合题意的即可．
9．C
解析：C 【解析】
∵2x ＋1·
4y ＝128，27＝128， ∴x ＋1＋2y ＝7，即x ＋2y ＝6. ∵x ，y 均为正整数， ∴22x y =⎧⎨
=⎩
或41x y =⎧⎨=⎩
∴x ＋y ＝4或5.
10．C
解析：C 【分析】
根据二元一次方程的定义，列出关于m 、n 的方程组，然后解方程组即可． 【详解】
解：根据题意，得1
21m n m n -=⎧⎨+-=⎩，
解得2
1m n =⎧⎨=⎩
．
故选：C ． 二、填空题
11．是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三
解析：是
【分析】
根据三元一次方程组的定义可知，由两个或两个以上方程组成，该如果方程组内含有三个未知数，且未知数的次数都是一次的，就是三元一次方程组，由此判断作答即可．
【详解】
解：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组．
所以
25
10
36
238
x y z
x z
⎧
+-=
⎪
⎨
⎪-=
⎩
是三元一次方程组；
故填：是．
【点睛】
本题主要考查三元一次方程组的定义．
12．40
【分析】
根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．
【详解】
解：∵ ，，
∴1≤b≤50，51＜a≤100，
若a+
解析：40
【分析】
根据题中a、b的求知范围，可得a+b的取值范围，分两种情况讨论，由两次门票费用，分别列出方程组，及可求解．
【详解】
解：∵12903
99
1313
=，
12903
117
1111
=，
∴1≤b≤50，51＜a≤100，若a+b≤100时，
由题意可得：1311129011()990b a a b +=⎧⎨+=⎩
， ∴60150a b =-⎧⎨=⎩
（不合题意舍去）， 若a +b ＞100时，
由题意可得131112909(990b a a b +=⎧⎨+=⎩）
， ∴7040
a b =⎧⎨=⎩， 故可70，40．
【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系式是解题的关键．
13．【分析】
先设1个进口1小时开进辆车，1个出口1小时开出辆车，车位总数是
根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程
根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库 解析：358
【分析】
先设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a 根据已知条件如果开放2个进口和3个出口，7小时车库恰好停满，可列出方程7(23)80%x y a -=
根据已知条件如果开放3个进口和2个出口，4小时车库恰好停满，可列出方程4(32)80%x y a -=
方程组可求得x 、y 关于a 的关系式
题中所求空置率变为60%，只能开放2个进口和1个出口时，几个小时停满，60%(2)a x y ÷-将x 、y 关于a 的关系式代入即可求解.
【详解】
设1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a
7(23)80%4(32)80%x y a x y a -=⎧⎨-=⎩
解得：131752175a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
1323560%(2)0.6(2)1751758a a a x y a ÷-=÷⨯
-=（小时） 故答案为：
358
【点睛】 本题解题关键是可以设出1个进口1小时开进x 辆车，1个出口1小时开出y 辆车，车位总数是a ，根据已知条件便可列出方程组，得出x 、y 关于a 的关系式，求解的问题同列方程组思路相同.
14．±3
【分析】
把x 与y 的值代入方程组求出m 与n 的值，即可求出所求．
【详解】
解：把代入方程组得：，
①×2-②得：5m=15，
解得：m=3，
把m=3代入①得：n=2，
则m+3n=3+6=9
解析：±3
【分析】
把x 与y 的值代入方程组求出m 与n 的值，即可求出所求．
【详解】
解：把21x y =⎧⎨=⎩代入方程组得：2821m n n m +=⎧⎨-=⎩①②
， ①×2-②得：5m =15，
解得：m =3，
把m =3代入①得：n =2，
则m +3n =3+6=9，9的平方根是±3，
故答案为：±3
【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
，解得： ，
∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，，得，
∴②正确；
解析：①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
08x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：44x y =⎧⎨=-⎩
， 则()448x y -=--=，
∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，01a =-，得1a =，
∴②正确；
∵135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，解得：322x a y a
=+⎧⎨=--⎩ ， 则()()223224x y a a +=++--=，
∴③正确； ∴()()()21132221122
z xy a a a ==+--=-++≤， 即若12z xy =
则z 的最大值为1， ∴④正确，
综上说述，正确的有：①③④，
故答案为： ①③④.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．
16．3:20
【解析】
【分析】
设该村已种药材面积x ，余下土地面积为y ，还需种植贝母的面积为z ，则总面积为（x+y ），川香已种植面积x 、贝母已种植面积x 、黄连已种植面积x ，依题意列出方程组，用y 的代数
解析：3:20
【解析】
设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x，依题意列出
方程组，用y的代数式分别表示x、y，然后进行计算即可.
【详解】
解：设该村已种药材面积x，余下土地面积为y，还需种植贝母的面积为z，则总面积为
（x+y），川香已种植面积1
3
x、贝母已种植面积
1
4
x、黄连已种植面积
5
12
x
依题意可得，
5919
()
121640
191
:3:4 3164
x y x y
x y y z x z
⎧
+=+
⎪⎪
⎨⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
⎪+--+=
⎪ ⎪
⎢⎥
⎪⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
⎩
①
②
由①得
3
2
x y =③
将③代入②得
3
8 z y =
∴贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比=
3
3
8
320
2
y
z
x y y y
==
++
故答案为3：20.
【点睛】
本题考查了三元一次方程组，正确找出等量关系并列出方程是解题的关键
17．26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册
解析：26、24或22
【解析】
【分析】
通过理解题意可以知道，本题有一组等量关系，即：小纪念册本数×5+大纪念册本数
×7=142，可以根据此等量关系，列出方程求解作答．
【详解】
解：假设购买小纪念册x本，购买大纪念册y本，则x，y为整数．
则有题目可得二元一次方程：5x+7y=142，
解得：x，y有4组整数解即：
27
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
20
6
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
13
11
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
,
6
16
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
即有四种情况即：两种纪念册共买28、26、24或22本．
故答案为28、26、24或22本．
【点睛】
本题考查了一次方程的实际应用,中等难度,解决此类问题的关键在于，找出题目中所给的等量关系，列出方程，求解方程．
18．98
【解析】
【分析】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）．根据S△BCF=S△ABF+S△CDF，
S△ABE=S△ADE+S△BCE列出三元一次方程组，再利用加减消元法即可求得y的值．
【
解析：98
【解析】
【分析】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图）．根据S△BCF=S△ABF+S△CDF，S△ABE=S△ADE+S△BCE 列出三元一次方程组，再利用加减消元法即可求得y的值．
【详解】
设未知的三块面积分别为x，y，z（如图），
则x+y+76=24+87+55+19+z，z+y+87=55+x+24+19+76，
即x+y-z=109①，z+y-x=87②
由①+②得，y=98.
即图中阴影部分的面积是98﹒
故答案为：98.
【点睛】
本题主要考查了矩形的性质，解决本题的关键是理清三角形与矩形间的面积关系，列出三元一次方程组，再通过加减消元，得到阴影部分的面积．
19．【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关
系为二元一次方程，联立方程组即可. 【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x，∴符合要求的方程组为.
解析：
2
8 y x xy
=
⎧
⎨
=⎩
【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x，
∴符合要求的方程组为
2
8 y x xy
=
⎧
⎨
=⎩
.
【点睛】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.
20．8
【解析】
试题分析：设小矩形的长为x，宽为y，则，两方程相加，解得x+y=3.4，因此小矩形的周长为2（x+y）=6.8.
解析：8
【解析】
试题分析：设小矩形的长为x，宽为y，则
2 5.7
{
2 4.5
x y
x y
+=
+=
，两方程相加，解得x+y=3.4，因
此小矩形的周长为2（x+y）=6.8.
三、解答题
21．（1）A是爱心点，B不是，理由见解析；（2）-2；（3）
2
0,
3 p q
==-
【分析】
（1）根据“爱心点”的定义，列出方程组计算即可求解；
（2）根据“爱心点”的定义，可得方程组
1
2
4
2
m a
n
-=
⎧
⎪
⎨+
=-
⎪⎩
，先求得n，再求得m，进一步得到
a的值；
（3）解方程组用q和p表示x和y，代入2m=8+n，得到关于p和q的等式，再根据p，q 为有理数，求出p，q的值．
（1）∵15232
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴64
m n =⎧⎨=⎩， ∵2×6=8+4，
∴点A 是爱心点； ∵14282
m n -=⎧⎪⎨+=⎪⎩， ∴514m n =⎧⎨=⎩
， ∵2×5≠8+14，
∴点B 不是爱心点；
（2）∵1242
m a n -=⎧⎪⎨+=-⎪⎩， ∴n =﹣10，
又∵2m =8+n ，
∴2m =8+（﹣10），
解得m =﹣1，
∴﹣1﹣1=a ，即a =﹣2；
（3
）解方程组3x y q x y q ⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩
得2x q y q ⎧=-⎪⎨=⎪
⎩， 又∵点B 是“爱心点”
满足：1222m q n q ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩
，
∴142m q n q ⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩
， ∵2m =8+n ，
∴22842q q -+=+-，
整理得：64q -=，
∵p ，q 是有理数，p =0，﹣6q =4，
∴ p =0， q =23
-．
本题主要考查了解二元一次方程组的应用、点的坐标，同时考查了阅读理解能力及迁移运用能力．
22．（1）
5040a b ；（2）竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个． 【分析】
（1）由图示利用板材的长列出关于a 、b 的二元一次方程组求解；
（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A 型板材和B 型板材的张数，然后根据竖式与横式礼品盒所需要的A 、B 两种型号板材的张数列出关于x 、y 的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：
310200330200a b a b ， 解得：5040a b ，
答：图甲中a 与b 的值分别为：50、40；
（2）由图示裁法一产生A 型板材为：3×625=1875，裁法二产生A 型板材为：1×125=125， 所以两种裁法共产生A 型板材为1875+125=2000（张），
由图示裁法一产生B 型板材为：1×625=625，裁法二产生A 型板材为，3×125=375， 所以两种裁法共产生B 型板材为625+375=1000（张），
设裁出的板材做成的竖式有盖礼品盒有x 个，横式无盖礼品盒有y 个，
则A 型板材需要（4x+3y ）个，B 型板材需要（x+2y ）个，
则有43200021000x
y x y ，解得200400x y ．
【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a 、b 的值，根据图示列出算式以及关于x 、y 的二元一次方程组．+
23．（1）手动型汽车560台，自动型汽车400台；（2）577.6万元．
【分析】
（1）根据题意设在政策出台前一个月，销售的手动型汽车x 台，自动型汽车y 台，根据政策出台前一个月及出台后的第一月销售量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由题意根据总价=单价×数量结合政府按每台汽车价格的5%给购买汽车的用户补贴，即可求出结论．
【详解】
解：（1）设在政策出台前一个月，销售的手动型汽车x 台，自动型汽车y 台，
依题意，得：()()960130%125%1228x y x y +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩
，
解得：
560
400 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
答：在政策出台前一个月，销售的手动型汽车560台，自动型汽车400台．
（2）[560×（1+30%）×9+400×（1+25%）×10]×5%=577.6（万元）．
答：政府对这1228台汽车用户共补贴了577.6万元．
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（1）甲8辆，乙10辆；（2）甲2辆，乙10辆，丙3辆或甲4辆，乙5辆，丙6辆.
【解析】
【分析】
（1）设需甲车x辆，乙车y辆列出方程组即可．
（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（15-a-b）辆，列出等式．
【详解】
（1）设需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，
根据题意得：
解得：．
答：需要甲种车型8辆，乙种车型10辆．
（2）设甲车有a辆，乙车有b辆，则丙车有（15-a-b）辆，由题意得：
5a+8b+10（15-a-b）=120，
化简得5a+2b=30，
即a=6-b，
∵a、b、15-a-b均为正整数，
∴b只能等于5或10，
当b=5时，a=4，15-a-b=6，
当b=10时，a=2，15-a-b=3
∴甲车2辆，乙车10辆，丙车3辆或甲4辆，乙5辆，丙6辆.
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．利用整体思想和未知数的实际意义通过筛选法可得到未知数的具体解，这种方法要掌握．
25．（1）
4
6
b a
c a
=+
⎧
⎨
=+
⎩
；（2）S△ABC＝13为定值；（3）
5
4
2
a
-≤<-
【分析】
（1）由4b－c＝3a＋10可知c=4b-3a-10，把c代入3b－5c＝－2a－18可用a 表示出b，同理可表示c；（2）如图构造梯形，根据S△ABC=S梯形ADEC-S△ADB-S△CBE可证明S△ABC是定值，所
以△ABC的面积无变化；（3）作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，根据S△PAB＞S△PBC可知AP＞PC，进而可得S△OAP＞S△OPC，所以S△OAB＞S△OBC，利用梯形和三角形的面积差可表示出△OAB和△OBC的面积，即可列出不等式，由AB与y轴相交可得－4≤a≤0，结合前面的不等式求出公共解集即可求出a的取值范围.
【详解】
（1）∵4b-c=3a+10，
∴c=4b-3a-10，
∵3b－5c＝－2a－18，
∴3b-5(4b-3a-10)=-2a-18，
∴b=a+4，
同理可得：c=a+6，
∴
4
6
b a
c a
=+⎧
⎨
=+⎩
(2) 构造如图所示的梯形：
S△ABC＝1
2
⨯（3+5）⨯6-
1
2
⨯3⨯4-
1
2
⨯2⨯5=13为定值，
(3) 线段AB与y轴相交，故
40
a
a
≤
⎧
⎨
+≥
⎩
，
∴－4≤a≤0，
∵S△PAB＞S△PBC，
∴AP＞PC，
∴S△OAP＞S△OPC，
∴S△OAB＞S△OBC，
作AD⊥x轴，BE⊥x轴，CF⊥x轴，
S△OAB=1
2
（3+6）4
a a
⎡⎤
++
⎣⎦ -
1
2
4
a+⨯6-
1
2
⨯6a
⨯=6-
3
2
a，
S △OBC =
12⨯（1+6）（64a a +-+）+124a +⨯6-126a +=52a+16， ∴6-32a>52
a+16， 解得：a<-52
, ∴54a 2-≤<-
【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用代入消元法可减少未知数的个数，从而实现消元；本题也考查了梯形与三角形的面积公式，熟练掌握相关知识是解题关键.
26．(1) A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货3吨、4吨;(2) 最省钱的租车方案是方案一：A 型车8辆，B 型车2辆，最少租车费为2080元.
【分析】
（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，根据题目中的等量关系：用3辆A 型车和2辆B 型车载满货物一次可运货17吨；用2辆A 型车和3辆B 型车载满货物一次可运货l8吨，列方程组求解即可；
（2）由题意得出3a+4b=35，然后由a 、b 为整数解，得到三中租车方案；
（3）根据（2）中的所求方案，利用A 型车每辆需租金200元／次，B 型车每辆需租金240元／次，分别求出租车费用即可.
【详解】
解：（1）设每辆A 型车、B 型车都装满货物一次可以分别运货x 吨、y 吨，
依题意列方程组为：32172318x y x y +=⎧⎨+=⎩
解得34x y =⎧⎨=⎩
答：1辆A 型车辆装满货物一次可运3吨，1辆B 型车装满货物一次可运4吨.
（2）结合题意，和（1）可得3a+4b=35
∴a=3543
b - ∵a、b 都是整数
∴92a b =⎧⎨=⎩或55a b =⎧⎨=⎩或18a b =⎧⎨=⎩
答：有3种租车方案：
方案一：A 型车9辆，B 型车2辆；
方案二：A 型车5辆，B 型车5辆；
方案三：A 型车1辆，B 型车8辆．
（3）∵A 型车每辆需租金200元/次，B 型车每辆需租金240元/次，
∴方案一需租金：9×200+2×240=2280（元）
方案二需租金：5×200+5×240=2200（元）
方案三需租金：1×200+8×240=2120（元）
∵2280＞2200＞2120
∴最省钱的租车方案是方案一：A型车1辆，B型车8辆，最少租车费为2120元.
【点睛】
此题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的解法，关键是明确二元一次方程有无数解，但在解与实际问题有关的二元一次方程组时，要结合未知数的实际意义求解.。