贵州省遵义市新源中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析

贵州省遵义市新源中学2019-2020学年高三数学理模拟
试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知－9，a1，a2，a3，－1，成等差数列，－9，b1，b2，b3，－1成等比数列，则
＝( )
A．± B．± C．－ D.
参考答案：
D
略
2. 命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（）
A．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0B．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0
C．?x0R，x02﹣x0+1≤0D．?x0∈R，x02﹣x0+1≤0
参考答案：
D
考点：命题的否定．
专题：简易逻辑．
分析：直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“?x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是：?x0∈R，x02﹣x0+1≤0．
故选：D．
点评：本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3. 设，，则（）
A. B.
C. D.
参考答案：
B
【分析】
先求集合B,再利用补集及交集运算求解即可
【详解】由题得，，所以. 故选.
【点睛】本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
5. 已知函数定义在区间上的奇函数，则下面成立的是（）A． B． C． D．与大小不确定
参考答案：
A
6. 在△ABC中，AB=AC=1，，则向量在方向上的投影为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，
∴cosA===﹣，
∴A=120°，
∴向量在方向上的投影为==﹣，
故选：A．
7. 函数f(x)的定义域为D，若f(x)满足在D内是单调函数且存在[m，n]D使f(x)在[m，n]
上的值域为，那么就称y= f(x)为“半保值函数”，若函数，（且）是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是（）
A. (0,]
B. (0,)
C. (0,+∞)
D. (,+∞)
参考答案：
B
【分析】
根据题意求出函数的值域，可得t的范围.
【详解】当时，均为增函数，所以为增函数；当时，均为减函数，所以为增函数；
所以当时，，
根据题意可得，
所以是方程的两个不等的实数根，所以有，结合为
正实数，即有，故选B.
【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，信息提供型题目，注意对题意的准确理解上.侧重考查数学建模的核心素养.
8. 若cosθ＞0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在象限是( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
D
考点：象限角、轴线角；三角函数值的符号．
分析：sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限．
解答：解：由sin2θ=2sinθcosθ，因为cosθ＞0，所以sinθ＜0，可以判定角θ的终边所在象限第四象限．
故选D．
点评：本题考查象限角，三角函数值的符号，二倍角的正弦，是基础题．
9. 已知函数f（x）=sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）在区间[0，]上是增函数
D．函数f（x）的图象关于直线x=对称
参考答案：
D
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由条件利用诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【解答】解：对于函数f（x）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，
它的最小正周期为=π，且函数f（x）为偶函数，故A、B正确；
在区间[0，]上，2x∈[0，π]，故函数f（x）在区间[0，]上是减函数；
当x=时，f（x）=0，不是最值，故函数f（x）的图象不关于直线x=对称，
故选：D．
【点评】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．
10. 设函数，则函数（）
A.在区间，内均有零点
B.在区间
，内均没有零点
C.在区间内有零点，区间内没有零点
D.在区间内没有零点，区间
内有零点
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图是斯特林数三角阵表，表中第行每一个
数等于它左肩上的数加上右肩上的数的倍，
则此表中：
（Ⅰ）第6行的第二个数是______________；
（Ⅱ）第行的第二个数是___________．（用表示）
参考答案：
274；
12. 已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为．
参考答案：
7
【考点】等比数列的性质．
【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．
【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，
∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，
故答案为：7．
13. 二项式的展开式中常数项等于___________．
参考答案：
70
14. 已知函数，则函数的最小值是．
参考答案：
5
15. 已知函数的定义域为，若其值域也为，则称区间为的保值区间．若
的保值区间是，则的值为_____________．
参考答案：
略
16. 如图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为．
参考答案：
12
略
17. 执行框图，会打印出一列数，这个数列的第3项是.
参考答案：
30
第一次循环，;第二次循环，;第三次循环，，所以数列的第三个数为.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知正数、、，，
求证：.
参考答案：
当且仅当时取到等号，则.
19. 在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．
（1）求证：BD⊥EG；
（2）求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
参考答案：
【考点】MR：用空间向量求平面间的夹角；LX：直线与平面垂直的性质．
【分析】解法1
（1）证明BD⊥EG，只需证明EG⊥平面BHD，证明DH⊥EG，BH⊥EG即可；
（2）先证明∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，再在△GMH中，利用余弦定理，可求平
面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值；
解法2
（1）证明EB，EF，EA两两垂直，以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系用坐标表示点与向量，证明，可得BD⊥EG；
（2）由已知得是平面DEF的法向量，求出平面DEG的法向量
，利用向量的夹角公式，可求平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值．
【解答】解法1
（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，
又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，
∴AE⊥平面BCFE．…
过D作D H∥AE交EF于H，则DH⊥平面BCFE．
∵EG?平面BCFE，
∴DH⊥EG．…
∵AD∥EF，DH∥AE，∴四边形AEHD平行四边形，
∴EH=AD=2，
∴EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，
∴四边形BGHE为正方形，
∴BH⊥EG，…
又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，
∴EG⊥平面BHD．…
∵BD?平面BHD，
∴BD⊥EG．…
（2）解：∵AE⊥平面BCFE，AE?平面AEFD，∴平面AEFD⊥平面BCFE
由（1）可知GH⊥EF，∴GH⊥平面AEFD
∵DE?平面AEFD，∴GH⊥DE…
取DE的中点M，连接MH，MG
∵四边形AEHD是正方形，∴MH⊥DE
∵MH∩GH=H，MH?平面GHM，GH?平面GHM，∴DE⊥平面GHM，∴DE⊥MG
∴∠GMH是二面角G﹣DE﹣F的平面角，…
在△GMH中，，∴…
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…
解法2
（1）证明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，BE?平面AEB，∴EF⊥AE，EF⊥BE，
又AE⊥EB，∴EB，EF，EA两两垂直．…
以点E为坐标原点，EB，EF，EA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），C（2，4，0），F（0，3，0），D（0，2，2），G（2，2，0）．…
∴，，…
∴，…
∴BD⊥EG．…
（2）解：由已知得是平面DEF的法向量．…
设平面DEG的法向量为，
∵，
∴，即，令x=1，得．…
设平面DEG与平面DEF所成锐二面角的大小为θ，
则…
∴平面DEG与平面DEF所成锐二面角的余弦值为．…
20. (本小题满分13分) 西师附中“低碳生活”研究小组同学利用寒假在三个小区进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，这两族人数占各自小区总人数的比例如下：
低碳族非低碳族
低碳族非低碳族
低碳族非低碳族
(1)从A、B、C三个社区中各选一人，求恰好有2人是低碳族的概率；
(2)在B小区中随机选择20户，从中抽取的3户中“非低碳族”数量为X，求X的分布列和EX．
参考答案：
解：(1) 记这3人中恰好有2人是低碳族为事件A
······················································ 4分
(2) 在B小区中随机选择20户中，“非低碳族”有4户，
3
13分
略
21. (选修4-2：矩阵与变换)
直线先经过矩阵作用，再经过矩阵作用，变为直线，求矩阵A。

参考答案：
(1)解法1：设，则直线上的点经矩阵C变换为直线上的点，则，代入，得
与比较系数得，
解法2：设经矩阵作用变成直线，直线上的点经矩阵C变换为直线上的点，则有，代入得
再设直线上的点经矩阵A变换为直线上的点，则有
，代入得与比较系数得，
略
22. (本题满分13分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点
A
（I）若求证：；
（II）若求的值．
参考答案：
（I）由题设知……………2分
所以
………………4分
因为所以故……………………7分
（II）因为所以……………………8分
即
解得……………………11分
从而………………13分。