新北师大版高中数学高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)(5)

一、选择题
1．下列命题中，真命题是（ ） A ．命题“若a b >，则22ac bc >” B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题 C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题
D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”的逆否命题 2．命题“若{}n a 是等比数列，则
n n k n k n
a a
a a +-=（n k >且*,n k N ∈）的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数为（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
3．下列说法正确的个数是( )
①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2
000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4．已知命题4:0,4p x x x ∀>+≥；0x 命题001
:(0,),22
x q x ∃∈+∞=，则下列判断正确的是（ ）
A ．p 是假命题
B ．q 是真命题
C ．()p q ∧⌝是真命题
D ．()p q ⌝∧是真命题
5．下列说法正确的是（ ）．
A ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}1n n a a ++为等差数列
B ．若1
4
m ≤-
，则函数2()lg lg f x x x m =+-无零点 C ．在ABC ∆
中，若sin A <
，则04A π<<
D ．直线m ⊄平面α，直线n ⊂平面α，则“//m n ”是“//m α”的充要条件
6．已知p ：0x ∃∈R ，002lg x x -=；q ：x ∀∈R ，2230x x -+≤.则下列为真命题的是（ ） A ．p q ∧
B ．()()p q ⌝∧⌝
C ．p q ∨
D ．()p q ⌝∨
7．已知命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++；命题:q 直线:0l x y m -+=与圆
22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是5m =-；则下列命题中是真命题
的是（ ）
A ．p
B ．()p q ∨⌝
C ．()p q ⌝∧
D ．p q ∧
8．下列判断错误的是（ ）
A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件
B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R
C ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”
D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 9．在平面直角坐标系1A xy -中，直线
134
x y
+=与x 、y 轴分别交于点2A 、3A ，记以点(1,2,3)i A i =为圆心，半径为r 的圆与三角形123A A A 的边的交点个数为M .对于下列说法：
①当1i =时，若3M =，则12
5
r =
；②当2i =时，若04r <<，则2M =；③当3i =时，M 不可能等于3；④M 的值可以为0，1，2，3，4，5.其中正确的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
10．命题“已知直线1l ：10ax y ++=和2l ：20x by ++=，若1ab =，则12l l //”，该命题的逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数为( ) A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
11．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9
π
个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6
π
=
ϕ”是“()f x 是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
12．已知2:11
x
p x <+，:()(3)0q x a x -->，p 为q 的充分不必要条件，则a 的范围是（ ） A ．[)1,+∞
B ．()1,+∞
C ．[)0,+∞
D ．()1,-+∞
二、填空题
13．若“x ∀∈R ，使210x ax ++≥”为假命题，则实数a 的取值范围为______.
14．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2
2
11221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 15．下列说法中：
①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；
②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；
③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=；
④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2x
f x =满足
()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
．
所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上） 16．已知集合26
1|()
13
x x A x --⎧
⎫
=≤⎨⎬⎩
⎭
，3{|log ()}1B x x a ≥＝＋，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． 17．关于以下结论： ①*n N ∀∈，22n n ≤；
②函数44()sin cos f x x x =-的最小正周期为π； ③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥； ④20182019log 2019log 2020>． 以上结论正确的个数为______．
18．“对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”的充要条件为______．
19．已知命题2
0001
:,02
p x R ax x ∃∈++
≤,若命题p 是假命题，则实数a 的取值范围是________.
20．命题“0x R ∃∈，使()2
00110m x mx m +-+-≤”是假命题，则实数m 的取值范围为
__________.
三、解答题
21．已知命题:|1|2a α-<，β：方程2(2)10x a x +++=没有正根.求实数a 的取值范围，使得命题,αβ有且只有一个真命题. 22．命题P ：函数()log a f x x =在0,
上是增函数；命题Q ：x R ∃∈，使得
240x x a -+= .
（1）若命题Q 为真，求实数a 的取值范围；
（2）若命题“P 且Q ”为真，求实数a 的取值范围.
23．已知集合{|24}A x x =<<，函数22()43(0)f x x ax a a =-+≠ （1）解关于x 的不等式()0f x <；
（2）记{|()0}B x f x =<（0a >），若x A ∈是x B ∈的充分条件，求a 的取值范围； 24．已知0a >且1a ≠,命题:P 函数()log a f x x =在()0,∞+上为减函数，命题:Q 关于
x 的不等式()22310x a x +-+≤有实数解.
（1）如果P Q ∨为真且P Q ∧为假,求实数a 的取值范围. （2）命题:R 函数()2
231y
lg x a x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域包含区间[]1,3-，若命题R 为真命
题，求实数a 的取值范围
25．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在
2,410x R x mx ∈++<成立.
（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据不等式的性质和四种命题的关系判断各选项． 【详解】 A ．当0c
时，22ac bc >不成立，A 错；
B ．命题“若a b =，则a b =”的逆命题是若a b =，则a b =，错误，也可能是=-a b ；
C ．命题“当2x =-时，2560x x ++=”的否命题是若2x ≠-，则2560x x ++≠，错误，3x =-时，也有2560x x ++=；
D ．命题“终边相同的角的同名三角函数值（三角函数值存在）相等”是真命题，逆否命题也是真命题． 故选：D ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题真假的判断，四种命题之间互为逆否的命题同真假，因此原命题的为真只能判断逆否命题为真，而逆命题和否命题的真假不确定，需写出逆命题，否命题进行判断．这也告诉我们当一个命题难以判断真假时可考虑判断其逆否命题的真假．
2．A
解析：A 【分析】
先判断原命题为真命题，由此得出逆否命题是真命题；判断出原命题的逆命题为真命题，由此判断原命题的否命题也是真命题，由此确定假命题的个数. 【详解】
若{}n a 是等比数列，则n a 是n k a -与n k a +的等比中项，所以原命题是真命题， 从而，逆否命题是真命题；
反之，若
(*)n n k n k n a a n k n k a a +-=>∈N ，,，则当1k =时，11(1*)n n n n
a a
n n a a +-=>∈N ,， 所以{}n a 是等比数列，所以逆命题是真命题，从而，否命题是真命题． 故选:A ． 【点睛】
本小题主要考查四种命题及其相互关系，考查等比数列的性质，属于基础题.
3．C
解析：C 【解析】
对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而
4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于
②，此命题的逆否命题为“设,?
a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“2
0000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．
点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.
4．C
解析：C 【分析】
根据均值不等式得到p 为真命题，根据指数函数单调性得到q 为假命题，对比选项得到答案. 【详解】
0x >
时，44x x +
≥=，当2x =时等号成立，故p 为真命题； 当0x >时，0221x >=，故q 为假命题.
则()p q ∧⌝是真命题，()p q ⌝∧是假命题. 故选：C. 【点睛】
本题考查了命题的真假判断，命题的否定，且命题，意在考查学生的计算能力和推断能力.
5．A
解析：A 【分析】
A:利用等差数列的定义进行判断;B:令lg t x =,则2()f t t t m =+-,结合二次函数的零点存在问题,进行判断;C:结合正弦函数,可解不等式,进而可判断A 的取值范围;D:判断由“//m n ”是
否能推出“//m α”,再判断由“//m α”是否能推出“//m n ”. 【详解】
解:数列{}n a 为等差数列,不妨设数列{}n a 通项公式为n a pn q =+,则
1(1)n a p n q pn p q +++=++=.122n n n b a a pn p q +∴=+=++
则1232n b pn p q +=++.12n n b b p +∴-=与n 无关. 故数列{}1n n a a ++为等差数列,A 正确. 令lg t x =,则2()f t t t m =+-,当14m =-时, 2
1()04
f t t t =++=
此时12t =-
,即10
x =函数函数2()lg lg f x x x m =+-有零点,B 错误.
由正弦函数图像可知,若sin 2
A <,则04A π<<或
34A ππ<<,C 错误. 当“//m α”时,直线n ⊂平面α,不一定有“//m n ”,所以D 项错误.
故选:A ． 【点睛】
本题考查了等差数列的定义,考查了函数的零点与方程的根,考查了三角函数不等式,考查了充分必要条件的判断.判断一个数列是否为等差数列,可利用等差数列的定义,即判断后一项与前一项的差是否为一个常数;求解三角函数不等式时,常常结合三角函数的图像进行求解;判断两个命题的关系时,通常分为两步,判断由p 是否能推出q ,以及判断由q 是否能推出p .
6．C
解析：C 【分析】
先分别判定命题,p q 的真假，再根据或且非判断复合命题真假. 【详解】
令()2lg (1)10,(10)70f x x x f f =--=-<=>，，且函数()f x 在(0,)+∞上连续， 所以0(1,10)x ∃∈，000()0,2lg f x x x =∴-=；因此命题p 为真命题；
2223(1)20x x x -+=-+>∴命题q 为假命题；
因此p q ∧为假命题；()()p q ⌝∧⌝为假命题；p q ∨为真命题；()p q ⌝∨为假命题； 故选：C 【点睛】
本题考查零点存在定理以及命题真假判定，考查基本分析判断能力，属基础题.
7．C
解析：C 【分析】
由辅助角公式化简命题p ，利用特殊值判断命题p 为假命题；根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式，可求得m 的值，判断出命题q 为真命题.即可由复合命题真假判断
选项. 【详解】
命题:,sin cos 10p x R x x ∀∈++≥
由辅助角化简可得sin cos 114x x x π⎛
⎫++=++ ⎪⎝
⎭，
可知当34x π=-
104x π⎛
⎫++< ⎪⎝
⎭，故p 为假；
命题:q 直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切的一个充分不必要条件是
5m =-
若直线:0l x y m -+=与圆22:(2)(1)8C x y -+-=相切，则
d ==， 即|1|4d m =+=，解得3m =或5m =-，故q 为真， 故()p q ⌝∧为真， 故选：C. 【点睛】
本题考查了三角函数式的化简，根据直线与圆位置关系求参数的值，充分必要条件的判定，复合命题真假的判断，综合性强，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】
对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；
对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确； 对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；
对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”
当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14
m ≥-
， 所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】
（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒
/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；
若p q ⇒
/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.
（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.
9．B
解析：B 【分析】 作出直线
134
x y
+=，可得1(0,0)A ，2(3,0)A ，3(0,4)A ，分别考虑圆心和半径r 的变化，结合图形，即可得到所求结论． 【详解】
作出直线
134
x y
+=，可得1(0,0)A ，2(3,0)A ，3(0,4)A ， ①当1i =时，若3M =，当圆222x y r +=与直线相切，可得125
r =； 当圆经过点(3,0)，即3r =， 则12
5
r =
或3r =，故①错误； ②当2i =时，若04r <<，圆222(3)x y r -+=，当圆经过O 时，3r =，交点个数为2，
4r =时，交点个数为1，则2M =，故②正确；
③当3i =时，圆222(4)x y r +-=，随着r 的变化可得交点个数为1，2，0，
M 不可能等于3，故③正确；
④M 的值可以为0，1，2，3，4，不可以为5，故④错误. 故选：B. 【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查直线和圆的位置关系，考查分析能力和计算能力.
10．C
解析：C 【分析】
判断原命题为假命题得到逆否命题为假，逆命题为真得到否命题为真，得到答案. 【详解】 取1
2
a =
，2b =，满足1ab =，两直线重合，故原命题为假，故逆否命题为假； 若12l l //，则1ab =，故逆命题为真，故否命题为真. 故选：C . 【点睛】
本题考查了命题的真假判断，意在考查学生的推断能力.
11．A
解析：A 【分析】
求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】
将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9
π
个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
， 若函数()y f x =为偶函数，则()3
2
k k Z π
π
ϕπ+=+
∈，解得()6
k k Z π
ϕπ=+∈，
当0k =时，6
π
=ϕ. 因此，“6
π
=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】
本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.
12．A
解析：A
【分析】
由p 为q 的充分不必要条件可得211
x
x <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集，从而可求出答案． 【详解】 解：∵
211x x <+，∴2101x x x --<+，即
1
01
x x -<+， ∴()()110x x +-<，解得11x -<<， ∴:11p x -<<，
由p 为q 的充分不必要条件可得
211
x
x <+的解集是()(3)0x a x -->的解集的真子集， 当3a =时，解得:3q x ≠，满足条件； 当3a >时，解得:q x a >或3x <，满足条件； 当3a <时，解得:3q x >或x a <，∴13a ≤<， 综上：1a ≥， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题的等价条件是解决本题的关键，属于基础题．
二、填空题
13．【分析】根据 是假命题得出它的否定命题是真命题求出实数a 的取值范围【详解】∵命题 是假命题∴是真命题即使不等式有解；所以解得：或∴实数a 的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：根据特称命题与全称命 解析：(,2][2,)-∞-+∞
【分析】
根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围． 【详解】
∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题， 即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解； 所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.
【点睛】
关键点点睛：根据特称命题与全称命题的真假求参数，转化为一元二次不等式能成立问题是解题的关键，属于中档题.
14．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】 解析：(,5]-∞
【分析】
先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式
222222154
x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出22
3414x x ++诉最大值可得结论． 【详解】 由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-，
∴当2112x x =-
时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154
x x x ax -+--+-成立， 即2[3,4]x ∃∈，使223414a
x x ++成立． 设3414t y t
=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=
+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t =++在[3,4]∈时，是增函数． ∴22
3414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤． 故答案为：(,5]-∞．
【点睛】
思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．
15．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总有（为
解析：②③④
【分析】
①直接利用命题的否定判断；
②函数的最小值和必要不充分条件的应用；
③对数的运算关系式的应用；
④根据基本不等式可得答案；
【详解】
①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明
0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确； ③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+， 所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；
④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()12
12,33x x f x f x ==，1212232x x x x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()30x
f x =>，所以()()
121212232
2x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确． 故答案为：②③④.
【点睛】 本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.
16．(－∞0【分析】由集合AB 得到元素的范围根据x ∈A 是x ∈B 的必要不充分条件知即可求得a 的范围【详解】由得x2－x －6≥0即x≤－2或x≥3∴A ＝{x|x≤－2或x≥3}由得x ＋a≥3即x≥3－a 则B
解析：(－∞，0]
【分析】
由集合A 、B 得到元素的范围，根据“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件知B
A ，即可求得
a 的范围
【详解】
由261|()13x x A x --⎧
⎫=≤⎨⎬⎩⎭
，得x 2－x －6 ≥ 0 即x ≤－2或x ≥ 3
∴ A ＝{x |x ≤－2或x ≥ 3}
由31log ()x a ≥＋，得x ＋a ≥ 3，即x ≥ 3－a ，
则B ＝{x |x ≥ 3－a }
由题意知：B A
∴ 3－a ≥ 3，得a ≤ 0.
故答案为：(－∞，0]
【点睛】
本题考查了必要条件，应用必要条件与对应集合间的包含关系解不等式，求参数范围 17．2【分析】对命题逐一分析正误得出结论即可【详解】解：对于①当时∴；故①错误；②函数所以的最小正周期为；故②正确；③若向量则向量；当时或当时但不垂直于；故③错误；④；④正确证明如下：∵；而∴；∴故②④
解析：2
【分析】
对命题逐一分析正误，得出结论即可．
【详解】
解：对于①*n N ∀∈，22n n ≤，当3n =时，29n =，28n =，∴22n n >；故①错误；
②函数44()sin cos cos2f x x x x =-=-，所以()f x 的最小正周期为T π=；故②正确；
③若向量0a b ⋅=，则向量a b ⊥；当0a =时或当0b =时，0a b ⋅=，但a 不垂直于b ；故③错误；
④20182019log 2019log 2020>；④正确，证明如下： ∵220182019lg2019lg2020(lg2019)lg2018lg2020log 2019log 2020lg2018lg2019lg2018lg2019
-⋅-=-=⋅；
而22lg 2018lg 2020lg 2018lg 2020()2
+⋅<= 2220182020(lg )(lg 2019)2
+<=． ∴2(lg2019)lg2018lg20200-⋅>；
∴20182019log 2019log 2020>．
故②④正确；正确的个数为2个；
故答案为：2．
本题考查命题判断真假的方法，需要逐个判断，属于基础题．
18．∪【分析】对任意的正数x 结论恒成立等价于a2≥（xx2）max(x ＞0)令y=x2+x(x ＞0)利用二次函数的单调性即可得出【详解】对任意的正数x 结论恒成立等价于a2≥（xx2）maxx ＞0令y=x 解析：12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，∪12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
， 【分析】 “对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”等价于a 2≥（x -x 2）max (x ＞0)．令y =-x 2+x (x ＞0)，利用二次函数的单调性即可得出．
【详解】
“对任意的正数x ，结论2
1a x x
+≥恒成立”等价于a 2≥（x -x 2）max ，x ＞0． 令y =-x 2+x =-21()2x -+14≤14，当x =12
时，取等号． ∴a 2≥14
． 解得a 12≥或a ≤-12
． 故答案为：12⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦，∪12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 【点睛】
本题考查了二次不等式的恒成立问题，考查了充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
19．【分析】根据命题否定为真结合二次函数图像列不等式解得结果【详解】因为命题是假命题所以为真所以【点睛】本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立考查基本分析求解能力属基础题 解析：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【分析】
根据命题否定为真，结合二次函数图像列不等式，解得结果
【详解】 因为命题20001:,02p x R ax x ∃∈++≤是假命题，所以21,02
x R ax x ∀∈++>为真 所以01120
2a a a >⎧∴>⎨-<⎩
本题考查命题的否定以及一元二次不等式恒成立，考查基本分析求解能力，属基础题. 20．【分析】使是假命题则使是真命题对是否等于进行讨论当时不符合题意当时由二次函数的图像与性质解答即可【详解】使是假命题则使是真命题当即转化为不是对任意的恒成立；当使即恒成立即第二个式子化简得解得或所以【
解析：m >
【分析】 0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，则x R ∀∈，使
()2110m x mx m +-+->是真命题，对1m +是否等于0进行讨论，当10m +=时不符合题意，当10m +≠时，由二次函数的图像与性质解答即可．
【详解】
0x R ∃∈，使()200110m x mx m +-+-≤是假命题，
则x R ∀∈，使()2
110m x mx m +-+->是真命题， 当10m +=，即1m =-，()2
110m x mx m +-+->转化为20x ->，不是对任意的x ∈R 恒成立；
当10m +≠，x R ∀∈，使()2
110m x mx m +-+->即恒成立，即 ()()()2104110
m m m m +>⎧⎪⎨--+-<⎪⎩ ，第二个式子化简得234m >
，解得m >
或m <
所以m >
【点睛】 本题考查命题间的关系以及二次函数的图像与性质，解题的关键是得出x R ∀∈，使()2110m x mx m +-+->是真命题这一条件，属于一般题．
三、解答题
21．(4,1][3,)--+∞
【分析】
先求得命题,αβ为真命题时，实数a 的取值范围，再根据命题,αβ有且只有一个真命题，分类讨论，即可求解.
【详解】
由题意，命题:|1|2a α-<，即212a -<-<，解得13a -<<，
命题β：方程2(2)10x a x +++=没有正根，
可得分为两类：一是方程无根，二是方程由两个非正实根，
令()2
(2)1f x x a x =+++，则()01f =， 当方程无根时，2(2)40a ∆=+-<，解得40a ； 当方程有两个非正根时，则满足0202a ∆≥⎧⎪⎨+-<⎪⎩
，解得0a ≥， 所以当方程2(2)10x a x +++=没有正根时，a 的取值方程为4a >-；
又因为命题,αβ有且只有一个真命题，
当α真β假时，即134a a -<<⎧⎨
≤-⎩，此时a φ∈； 当α假β真时，即134
a a a ≤-≥⎧⎨>-⎩或，此时41a -<≤-或3a ≥， 所以命题,αβ有且只有一个真命题时，实数a 的取值范围是(4,1][3,)--+∞.
【点睛】
本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中正确求解命题,αβ为真命题时，实数a 的取值范围，再分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
22．（1）4a ≤；（2）14a <≤.
【分析】
（1）根据条件将问题转化为方程有解，从而得到1640a ∆=-≥，由此求解出a 的取值范围；
（2）根据含逻辑联结词的复合命题的真假判断出,P Q 的真假，由此求解出a 的取值范围.
【详解】
（1）因为x R ∃∈使得240x x a -+=，所以240x x a -+=在R 上有解，
所以1640a ∆=-≥，所以4a ≤；
（2）因为“P 且Q ”为真，所以,P Q 均为真，
当P 为真时，1a >；当Q 为真时，4a ≤，
所以14a <≤.
【点睛】
本题考查根据命题、复合命题的真假求解参数范围，着重考查了含逻辑联结词的复合命题的分析方法，难度一般.
23．（1）故当0a >时，不等式的解集为(),3a a ，当0a <时，不等式的解集为()3,a a ； （2）4,23
a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
【分析】
（1）首先将式子变形为()()30x a x a --<，再对a 分类讨论，计算可得；
（2）由（1）可得(),3B a a =，由x A ∈是x B ∈的充分条件，所以A B ⊆
根据集合的包含关系得到不等式组，解得即可；
【详解】
解：（1）因为()()22
()433f x x ax a x a x a =-+=-- ()0f x <，即()()30x a x a --<
当0a >时，解得3a x a <<，
当0a <时，解得3a x a <<
故当0a >时，不等式的解集为(),3a a ，当0a <时，不等式的解集为()3,a a （2）由（1）可知(),3B a a =，()2,4A =，
因为x A ∈是x B ∈的充分条件，
所以A B ⊆
所以3420a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩解得423a ≤≤，即4,23a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 【点睛】
本题考查含参一元二次不等式的解法，充分条件求参数的取值范围，属于基础题. 24．（1）
112a <<或52a ≥，（2
）a ≥
a ≤ 【分析】
（1）首先分别算出P 真，Q 真a 的范围，再根据P ，Q 一真一假分别讨论即可. （2）首先设2
()(23)1g x x a =+-+，将题意转化为min 1()10g x ≤，解不等式即可. 【详解】
（1）因为函数()log a f x x =在()0,∞+上为减函数，所以P 真：01a <<.
因为关于x 的不等式()22310x a x +-+≤有实数解，
Q 真：2(23)40a ∆=--≥，解得52a ≥或102a <≤. 因为P Q ∨为真且P Q ∧为假，所以P ，Q 一真一假.
当P 真Q 假时，0111152112
2a a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<<<⎪⎩或. 当P 假Q 真时，15512022a a a a >⎧⎪⇒≥⎨≥<≤⎪⎩
或.
综上112a <<或52
a ≥. （2）设2
()(23)1g x x a =+-+， 因为函数()2231y lg x a x ⎡⎤=+-+⎣⎦的值域包含区间[]1,3-， 等价于min 1()10g x ≤，即24(23)1410
a --≤，
218(23)5a -≥，解得a ≥a ≤ 【点睛】
本题第一问考查逻辑连接词，同时考查了二次不等式的有解问题，第二问考查对数函数的值域问题，属于中档题.
25．充分不必要条件，证明见解析.
【分析】
利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系．
【详解】 p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．
q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．
p 是q 的充分不必要条件．
证明如下：
若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出，
不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面，
即p q ⇒，
反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示．
p ∴是q 的充分不必要条件．
【点睛】
本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
. 【分析】
（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围；
（2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解.
【详解】
解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，
故实数m 的取值范围(3,0)-
（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12
m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题，
∴命题,p q 一真一假 ①当p 真q 假时，30112
2m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤< ②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩
或或，解得：3m ≤-或12m >. 综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】
本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。