山东省巨野县第一中学人教A版高中数学必修一《第一章集合与函数概念》复习课件

开平方
×
(1) 求平方
(3)
B 3 -3 2 -2 1 -1
B
1
4
9
A 求正弦
30 0 45 0 60 0 90 0
A
(2) 乘以2
1
2 3 (4)
B
1 22 32 2
1
B
1 2 3 4 5 6
映射三要素：集合A、B以及对应法则，缺一不可；
1.3 函数的基本性质
1.3.1单调性与最大（小） 值
（一）函数单调性定义
{x|a<x ≤ b} 半开半闭区间 (a,b]
{x|x ≥ a}
[a,+∞)
{x|x > a} {x|x ≤ a}
(a,+∞) (-∞,a]
{x|x < a}
(-∞,a)
R
(-∞,+ ∞)
数轴表示
注意：
①区间是一种表示连续性的数集
②定义域、值域经常用区间表示 ③实心点表示包括在区间内的端点，用空 心点表示不包括在区间内的端点。
A U
1.2 函数及其表示
1.2.1 函数的概念
（一）函数的有关概念
定义:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中
都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f: A→B为从集合A到集合B的一个函数(function),
记作y=f (x),x∈A。
集合的表示方法
2、描述法：
将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件） 表示出来，写成{x︱p(x)}的情势
特征性质
Venn图：形象 直观
a,b,c…
❖ 例：试分别用列举法和描述法表示下 列集合：
❖ (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集 合；
❖ (2)由大于10小于20的所有整数组成 的集合。
三、映射：
映射定义：设A、B是两个非空的集合，如果 按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中 的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定
的元素y与之对应，那么就称对应f：A B
为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．
记作“f：A B"
举例分析映射实质：
A
9
4 1
A 1 -1 2 -2 3 -3
1.3.2函数的奇偶性
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x， 都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数．
例如，函数
都是偶 函数，
它们的图象分别如下图(1)、(2)所示.
2．奇函数
对于R内任意的一个x,都有f(-x)=-x=-f(x),这时我们称函 数y=x为奇函数.
函数的三要素判断同一函数：
对应法则f、定义域A、值域 f (x) | x A
只有当这三要素完全相同时，两个函数才能 称为同一函数。当有解析式时只要定义域与 解析式一样即可
例、下列函数中哪个与函数 y x
是同一个函数？
2
(1) y x
(2) y 3 x3
(3) y x2 (4) y x 2 x
下图叫做Venn图
AB
若任意x A x B，则A B
AB
注：有两种可能
（1）A是B的一部分；
（2）A与B是同一集 合
定义
一般地,对于两个集合A与B, 如果集 合A中的任何一个元素都是 集合B的元素, 同时集合B中的任何一个元素都是集合A 的元素,则称集合A等于集合B,记作 A=B
若A B且B A, 则A=B; 反之,亦然.
定义域结论
(1)如果y=f (x)是整式，则定义域是 实数集R
(2)如果y=f (x)是分式，则定义域是 使分母不等于0的实数的集合
(3)如果y=f (x)是二次根式，则定义域是 使根号内的式子大于或等于0的实数的集合
(4)如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是 使各部分式子都有意义的实数的集合(即各集合的交集)
A∩B B B A∪B
性 质4 若A∩B=A,则A B． 反之亦然.
若A∪B=A,则A B． 反之亦然.
定义
如果一个集合含有我们所要 研究的各个集合的全部元素，这 个就称这个集合为全集
新疆 王新敞
奎屯
（universe set）
全集常用U表示.
定义
对于一个集合A,由全集U中不属于A的所 有元素组成的集合称为集合A相对于全集 U的补集(complementary set)，简称为集 合A的补集，记作
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 折线、离散的点等。
求函数解析式的方法：待定系数法；配凑法； 换元法；解方程组法（注意定义域）
例．分别求下列条件下的f(x)
（1）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)
=2x+17,求f(x)
待定系数法
（2）已知f(x-1)=2x+3,求f(x)
图5
（二）典型例题
例．如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数 y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调 区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x) 是增函数还是减函数.
y
f (x)
-2
-5
1
3
x 5
图6
3．判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上
的单调性的一般步骤：
练一练：用符号“∈”或“”
填空：
(1) 3.14__∈_____Q
(2) π_______Q
(3) 0__∈_____N
(4) 0_______N+
(5) (-0.5)0__∈_____Z (6) 2__∈_____R
集合的表示方法
1、列举法： 无序 互异
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ } 括起来的方法叫做列举法
注意：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；
⑵应是该区间内任意的两个实 数，忽略需要任意取值这个条 件，就不能保证函数是增函数 （或减函数），例如，图5中， 在那样的特定位置上，虽然使
得示的f( x函1)>数f(不x2 )是，一但个显单然调此函图数象；表
y
f (x)
f (x1) f (x2 )
x1
x2 x
定义
对于两个集合A与B,如果A B,但存在元素x B,且x A ,则称集合
A是集合B的真子集(proper subset)．记作A B
Venn图为
B
A
几个结论
①空集是任何集合的子集Φ A ②空集是任何非空集合的真子集
Φ A （A ≠ Φ） ③任何一个集合是它本身的子集，即 A A
④对于集合A，B，C，如果 A B, 且B C，则A C
f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)
练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递 减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值 域____[2_1_,_3_9_] ___.
注意易混符号
❖①“∈ ”与“ ”：元素与集合之间是 属于关系；集合与集合之间是包含关
系如1 N,1 N, N R,
Φ R,{1} {1，2，3} ❖ ②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集
合，Φ是不含任何元素的集合. Φ {0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}
重要结论
❖含n个元素的集合的所有子集的 个数是2n，所有真子集的个数是 2n-1，非空真子集数为2n-2.
注:组成集合的元素可以是物,数,图,点等
集合三大特性：
（1）确定性：集合中的元素必须是确定 的．
(2)互异性：集合中的元素必须是互不相同 的。
(3)无序性：集合中的元素是无先后顺序的． 集合中的任何两个元素都可以交换位置．
只要构成两个集合的元素是一样的，我 们就称这两个集合是相等的
重要数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
x1
x2 x
图3
x1
x2 x
图4
思考：仿照增函数的定义说出减函数的定义．
注意： ① 函数的单调性是在定义域内的某
个区间上的性质，是函数的局部性 质； ②必须是对于区间D内的任意两个 自变量x1，x2；当x1<x2时，总有 f(x1)<f(x2) ．
2．单调性与单调区间
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减 函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严 格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：
第一章 集合与函数概念
1.1 集合
1.1.1 集合的t)---我们把研究的对象 统称为元素
集合(set)---把一些元素组成的总体叫 做集合, 简称集.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用 大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
定义域(domain):x的取值范围A叫做函数的定义域; 与x值相对应的y值叫做函数值。
值域(range):函数值的集合 f (x) x A B 叫做函数的值域。
定义 {x|a≤x ≤ b}
名称 闭区间
符号 [a，b]
{x|a<x < b} 开区间
(a,b)
{x|a≤x < b} 半开半闭区间 [a,b)
① 任取x1，x2∈D，且x1<x2； ② 作差f(x1)－f(x2)； ③ 变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； ⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．
4．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
5．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值第一应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M；
2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
(5)如果是实际问题，是 使实际问题有意义的实数的集合
1.2.2 函数的表示法
一、函数的表示方法
⑴解析法：就是把两个变量的函数关系，用 一个等式表示，这个等式叫做函数的解析表
达式，简称解析式. 注意：注明定义域
⑵列表法：就是列出表格来表示两个变量 的函数关系 ⑶图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系.
性 质1
A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
定义
一般地,由既属于集合A又属于
集合B的所有元素组成的集合叫
做A与B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
A
B
即 A∩B={x |x∈A,且x∈B}
A∩B
性 质2 A∩A = A A∩φ = φ
A∩B = B∩A
性 质3
A∩B A A A∪B
1.1.3 集合的基本运算
定义
一般地,由属于集合A或属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
A
B
即A∪B={x | x∈A,或x∈B}
A∪B
例1. A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝， 求A∪B.
例2.设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝， 求A∪B.
1．增函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定
义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1 ,x2 ， 当D上x1是<x增2时函，数都（有incf(rxe1a)s<inf(gx2fu)，nc那tio么n）就．说f(x)在区间
y
f (x)
y
f (x)
f (x1) f (x2 )
f (x1) f (x2 )
(2) N＋或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
•元素对于集合的关系
（1）属于(belong to)：如果a是集合A的 元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于(not belong to)：如果a不 是集合A的元素，就说a不属于A，记作
aA
❖ 例：已知A=｛a-2,2a2+5a,10｝,且-3∈A， 求a。
1.1.2 集合间的基本关系
定义
一般地,对于两个集合A与B， 如果集合A中的任何一个元素都是 集合B的元素,我们就说这两个集合有包含 关系，称集合A为集合B的子集（subset）
记作 A B（或B A） 读作“A含于B”,或“B包含 A”．
配凑法或换元法
（3）已知3f(x)+2f(-x)=x+3,求f(x) 列方程组法
二、分段函数
例：作出y x 1 x 2 (3 x 3)
的图像并求值域。
（1）分段函数的表达式虽然不止一个，但它 不是几个函数，而是一个函数。 （2）分段函数的定义域是各段定义域的并集， 值域是各段值域的并集。