共顶点等腰三角形产生相似三角形模型
相似三角形12种基本模型证明
相似三角形12种基本模型证明相似三角形是指拥有相同形状但不同大小的三角形。
在三角形中，如果它们的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形一般用比例关系表示。
下面是相似三角形12种基本模型的证明：1. AAA相似模型如果两个三角形的三个角分别相等，则它们是相似的。
证明：三角形的三个角之和为180度。
如果两个三角形的三个角分别相等，那么它们的三个角和也相等，即这两个三角形的三个角和相等，因此它们是相似的。
2. AA相似模型如果两个三角形中有两个对应角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的对应角分别为A和A’，B和B’，C和C’。
由于A和A’相等，B和B’相等，那么它们的第三个对应角C和C’也必须相等。
因此，这两个三角形的三个角分别相等，它们是相似的。
3. SSS相似模型如果两个三角形的三条边分别成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的三条边为a, b, c和a’, b’, c’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’= c/c’，那么它们的三边比例相等，即它们是相似的。
4. SAS相似模型如果两个三角形中有两条边成比例，且夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两条边为a, b和a’, b’，夹角为C和C’。
由于它们是成比例的，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的夹角相等，即C = C’，因此它们是相似的。
5. ASA相似模型如果两个三角形中有两个角相等，且它们对应的两条边成比例，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的两个对应角分别为A和A’，B和B’，且对应的两条边分别为a, a’和b, b’。
由于它们的两条边成比例，即a/a’= b/b’，那么它们的三边比例相等。
又由于它们的两个角相等，即A = A’，因此它们是相似的。
6. HL相似模型如果两个三角形中有一条边和一条斜边分别成比例，且这两条边夹角相等，则它们是相似的。
证明：假设两个三角形的一条边为b，斜边为c，且夹角为C，另一个三角形的一条边为b’，斜边为c’，且夹角为C’。
三角形相似基本模型
三角形相似基本模型一、引言三角形是几何学中最基本的图形之一，而相似三角形则是三角形中的重要概念之一。
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。
在实际生活中，我们经常会遇到需要利用相似三角形来解决问题的情况。
本文将介绍三种常见的三角形相似基本模型，并通过具体例子来说明其应用。
二、模型一：角-角相似在角-角相似模型中，两个三角形的对应角度相等。
具体来说，如果两个三角形的角度分别为A、B、C和A'、B'、C'，且满足A=A'、B=B'、C=C'，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知三角形ABC与三角形A'B'C'的角度分别为∠A=40°、∠B=60°、∠C=80°，且∠A'=40°、∠B'=60°、∠C'=80°，则可以得出三角形ABC与三角形A'B'C'是相似的。
在实际应用中，我们可以利用角-角相似模型解决一些测量问题。
例如，在无法直接测量某个角度时，我们可以利用已知的相似三角形来计算出该角度的近似值。
三、模型二：边-边-边相似在边-边-边相似模型中，两个三角形的对应边长成比例。
具体来说，如果两个三角形的边长分别为a、b、c和a'、b'、c'，且满足a/a'=b/b'=c/c'，那么这两个三角形是相似的。
例如，已知三角形ABC的边长分别为AB=4cm、BC=6cm、AC=8cm，而三角形A'B'C'的边长分别为A'B'=8cm、B'C'=12cm、A'C'=16cm，则可以得出三角形ABC与三角形A'B'C'是相似的。
在实际应用中，我们经常会遇到需要测量无法直接测量的边长的情况。
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
三角形相似模型总结
三角形相似模型总结
嘿，朋友们！今天咱就来好好唠唠三角形相似模型总结。
你们看啊，就说那相似三角形，不就好比是一对双胞胎嘛！两个三角形长得有点像，但又不完全一样。
比如说，咱有两个三角形，一个大的，一个小的，嘿，它们的角都一样大！这就叫相似呀！
就像一次数学测验里，有这样一道题，给你两个三角形，让你判断是不是相似。
你就得瞪大眼睛，瞅瞅它们的角，再看看它们边的比例是不是一样。
要是角相等，边的比例也对得上，那它们就是相似三角形没跑啦！
还有啊，相似三角形的性质也超级重要呢！比如对应边是成比例的，对应角相等。
这就好像两个小伙伴，有很多相同的地方，但又有各自的特点。
记得有次和同学一起做练习题，看到个三角形，我们很快就发现了它和另一个相似三角形的关系，那种感觉，哇，太爽了！
再来想想，相似三角形的判定也很有意思呀！就像要给三角形贴上一个“相似”的标签一样，得满足那些条件才行。
像是三边对应成比例，两角对应相等，这不就好比是进入一个秘密社团的密码嘛！
相似三角形在生活中也有很多用处呢！好比建筑师要盖房子，就得用相似三角形的知识来确保结构稳固。
咱平时看到的那些高楼大厦，说不定就有相似三角形在里面帮忙呢！
哎呀呀，三角形相似模型真的是太有趣太有用啦！总结起来就是，它就像一把神奇的钥匙，能打开好多数学难题的大门，能让我们发现生活中那些隐藏的数学奥秘。
大家一定要好好掌握它呀！。
初中-八年级-等腰直角三角形中的常用模型
等腰直角三角形中的常用模型【知识精析】1、等腰直角三角形的特征：①边、角方面的特征：两直角边相等，两锐角相等（都是45º）②边之间的关系：已知任意一边长，可得到其它两边长。
2、等腰直角三角形与全等三角形：以等腰直角三角形为背景的几何问题中，常常包含全等三角形，发现并证明其中的全等三角形往往是解题的关键突破口。
熟悉以下基本模型，对解决等腰直角三角形问题很有好处。
模型一：一条直线（不与三角形的边重合）过等腰直角三角形的直角顶点（1）以原等腰直角三角形的两直角边为对应斜边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-1：如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，过C 作CF ⊥AD 于点F 。
（1）求证：BE-CF=EF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：等腰Rt △ABC 中，AB=CB ，∠ABC =90º，点P 在线段BC 上（不与B 、C 重合），以AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 于E ，连CQ 交AB 于M 。
（1）求证：M 为BE 的中点（2）若PC=2PB ，求MBPC 的值(3)(1)(2)F E D C B A A B C D E F (1)（2）以原等腰直角三角形的两直角边为对应直角边，必定可以构造一对全等的直角三角形：1-2：如图：Rt ΔABC 中，∠BAC =90º，AB =AC ，点D 是BC 上任意一点，过B 作BE ⊥AD 于点E ，交AC 于点G ，过C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线与于点F 。
（1）求证：BG=AF ；（2）若D 在BC 的延长线上（如图（2）），（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出新的结论并证明。
变式1：如图，在R t △ABC 中，∠ACB =45º，∠BAC =90º，AB=AC ，点D 是AB 的中点，AF ⊥CD于H 交BC 于F ，BE ∥AC 交AF 的延长线于E ，求证：BC 垂直且平分DE .变式2：等腰Rt △ABC 中，AC=AB ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 的中点，AF ⊥BD 于点E ，交BC 于点F ，连接DF ，求证：∠1=∠2。
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型(整理者14232)
共顶点等腰三角形产生相似三角形模型今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。
前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。
所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。
模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。
然后将其绕A旋转180°得△AED。
二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。
结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。
证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC①则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。
接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。
又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。
由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。
尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。
在此图延长BE和DC交于G。
由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。
再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠BAC=180°。
模型应用：。
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论
共顶点等腰三角形旋转模型的基本做法与结论共顶点等腰三角形旋转模型是数学中常见的几何问题，它涉及到旋转、对称等概念与性质。
本文将以共顶点等腰三角形旋转模型为主题，探讨其基本做法与结论。
一、问题描述我们考虑一个共顶点等腰三角形ABC，其中AB=AC，以A为顶点作一条直线AD，且AD与BC相交于点D。
现在，我们将等腰三角形ABC绕点D进行旋转，旋转角度为θ，求旋转后的三角形A'B'C'的性质。
二、基本做法1. 确定旋转后的三角形根据旋转的定义，我们知道旋转是将一个图形绕着某个点旋转一定角度，得到一个新的图形。
在本题中，我们将等腰三角形ABC绕点D旋转，因此旋转后的三角形为A'B'C'。
2. 确定旋转角度旋转角度θ是一个关键的参数，它决定了旋转后的图形与原图形的关系。
在本题中，我们需要确定旋转角度θ的值。
3. 分析旋转后的三角形性质旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC之间存在一些性质的关系，我们需要分析旋转后的三角形的各个性质，如边长、角度等。
三、结论通过对共顶点等腰三角形旋转模型的分析和计算，我们得出以下结论：1. 旋转后的三角形A'B'C'也是一个等腰三角形，即A'B' = A'C'；2. 旋转后的三角形A'B'C'与原三角形ABC共顶点A，即A'、B'、C'三点共线。
这些结论可以通过具体的计算和证明进行验证，但在本文中我们不做具体的推导和证明。
四、实际应用共顶点等腰三角形旋转模型在几何学中具有重要的应用价值。
例如，在建筑设计中，我们常常需要通过旋转来生成对称的图形，而共顶点等腰三角形旋转模型就是一种常用的方法。
通过对旋转后的图形进行分析，我们可以更好地理解建筑物的结构和形态，并进行合理的设计和规划。
在计算机图形学中，共顶点等腰三角形旋转模型也是一种常见的变换操作。
相似三角形的特殊情况等腰三角形
相似三角形的特殊情况等腰三角形相似三角形是指在形状相似的三角形中，对应角度相等，对应边长成比例。
而等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在相似三角形中，有一种特殊情况，即两个三角形的对应边长比例为1:1，即边长相等，这样的相似三角形也就是等腰三角形。
下面将详细介绍相似三角形的特殊情况等腰三角形。
一、相似三角形的概念相似三角形指的是具有相同形状但大小不同的三角形。
也就是说，它们的对应角顶点对应的角度相等，对应边长成比例关系。
二、等腰三角形的概念等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
在等腰三角形中，两边被称为等腰边，另一边被称为底边。
三、相似三角形的特殊情况等腰三角形在相似三角形中，存在一种特殊情况，即两个三角形的对应边长比例为1:1，也就是边长相等。
根据相似三角形的定义，可以得出以下结论：当两个三角形的对应边长比例为1:1时，这两个三角形一定是相似的，并且是等腰三角形。
四、等腰三角形的性质1. 等腰三角形的底角（底边两边所夹的角）相等。
证明：设等腰三角形ABC的底边为BC，两边相等的边为AB和AC。
已知AB=AC，所以∠ABC=∠ACB，即底角相等。
2. 等腰三角形的高线（从顶点到底边的垂线）同时也是中位线、角平分线和对称轴。
证明：由等腰三角形的性质可知，高线BD同时也是角平分线和对称轴。
同时，由三角形的中位线性质可知，BD也是中位线。
因此，等腰三角形的高线同时具有这四个性质。
五、例题解析现给出一个相似三角形的特殊情况等腰三角形的例题，来加深我们对这个概念的理解。
已知三角形ABC与三角形ABD相似，且AD=BD，证明三角形ABC是等腰三角形。
解：根据已知条件，可以得出两个结论：三角形ABC与三角形ABD相似，且AD=BD。
由相似三角形的定义可知，对应角度相等，对应边长成比例关系。
所以∠BAC=∠BAD，∠ABC=∠ABD，并且AC/AD=BC/BD。
又因为AD=BD，所以AC=BC，即两边相等，因此三角形ABC是等腰三角形。
相似三角形常见模型[总结]
![相似三角形常见模型[总结]](https://img.taocdn.com/s3/m/6fe8d648773231126edb6f1aff00bed5b9f37337.png)
相似三角形常见模型[总结]相似三角形常见模型相似三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解题过程中常见的模型。
通过研究和总结相似三角形的常见模型，可以帮助我们更好地理解和应用这个概念。
本文将从角度相似、边长比例和投影相似三个方面进行内容阐述。
一、角度相似在相似三角形中，角度是最直观的相似特征。
如果两个三角形的对应角相等，那么它们就是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. AA相似模型当两个三角形中角的对应边分别相等时，这两个三角形相似。
这个模型常用于证明和构造相似三角形。
例如，在已知一个角相等的情况下，可以通过构造等腰三角形来证明相似。
2. AAA相似模型当两个三角形的三个角分别相等时，这两个三角形相似。
这个模型常用于解题中，当我们已知两个三角形的三个角分别相等时，可以得出它们是相似三角形的结论。
二、边长比例在相似三角形中，边长的比例关系也是常见的模型。
如果两个三角形的对应边的比值相等，那么它们是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 直角三角形边长模型在一个直角三角形中，由勾股定理可知，两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果两个直角三角形斜边的比例相等，那么它们是相似的。
这个模型常用于解决与直角三角形相关的问题。
2. 形状类似三角形边长模型当两个三角形形状相似时，它们的对应边长之比也相等。
例如，当一个等边三角形与一个正三角形形状相似时，它们的对应边长比例为1:2。
这个模型常用于解决与形状类似三角形相关的问题。
三、投影相似在相似三角形中，投影的相似关系也是一种常见的模型。
当两个三角形的两直角边分别成比例时，它们是相似三角形。
根据这一特性，我们可以应用以下模型：1. 倒影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的斜边成比例时，它们是相似的。
这个模型常用于解决与倒影相似三角形相关的问题。
2. 旁影相似模型当两个直角三角形的一条直角边与另一个直角三角形的直角边成比例时，它们是相似的。
相似三角形的12种基本模型
相似三角形Ⲵ基本模型
【模型概述ᙍ㔤ሬമ】
аǃ八字型
Ҽǃ母子型
1、共角型（A 字型）
（平行）
（不平行）
2、共角共边型
（双垂直）射影定理
B
C
B C
B
【典ර㓳Ґ仈】——母子型（A 型）
1．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =2，AC =4，P 是斜边AB 上的一个动点，PD ⊥AB ，交边
AC 于点D （点D 与点A 、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠EPD =∠A ．设A
、P 两点的距离为x ，△BEP 的面积为y ． （1）求证：AE =2PE ；
（2）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；
【典例㓳Ґ仈】——双垂直型直角三角形˖：
Rt △ABC 中，∠C =90º，CD ⊥AB 于D ，则
∽ ∽ 射影定理：
CD 2
= ·
AC 2
= ·
BC 2
= ·
A
C
B
P
D E
йǃ一线三等角相似模型
一 线 三 等 角
直角形一线三等角
（K 字型）
钝角形一线三等角
锐角形一线三等角
ഋǃ手拉手相似模型
1、定义：
两个相似且共顶点的三角形形成的图形。
2、固定结论：
将三角形顶角（头）朝上，正对读者，读者左边为着手顶点，右边为右手顶点，会得到一对新的相似三角形
ӄǃ十字架相似模型
．。
2023年中考数学常见几何模型全归纳之模 相似模型-母子型(共角共边模型)和A(X)字型(解析版)
∴∠BCD=∠ACD=45°，∠BCE=∠ACF= 90°，∴∠DCE=∠DCF= 135°
∵在△DCE与△DCF中，
，∴ ，∴DE=DF；
（2）证明∶∵∠DCE= ∠DCF= 135°∴∠CDF+∠F=180°-135°=45°，
∵∠CDF+∠CDE=45°，∴∠F=∠CDE，
【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．
2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图， 是等腰直角 斜边 的中线，以点 为顶点的 绕点 旋转，角的两边分别与 、 的延长线相交，交点分别为点 、 ， 与 交于点 ， 与 交于点 ，且 ．(1)如图1，若 ，求证： ；(2)如图2，若 ，求证： ；
1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
【答案】8
【分析】根据三角形中位线定理求得DE∥BC， ，从而求得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别是AB、AC的中点，则DE为中位线，
∴ ，∴ ∴ ，
∵ ，DE=BF，∴ ，
∴ ，∴ ，
∵ ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．
3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在 中，D，E，F分别为 上的点， 交 于点G，求证： ．
中考数学几何专项——相似模型(相似三角形)
相似模型【相似模型一：A 字型】 特征 模型结论DE ∥BCCBCBBC D E ADA E DA AD:AB=AE:AC=DE:BC 顺着比∠B=∠AEDCB CBDA EDAAD:AC=AE:AB=DE:BC 反着比AD×AB=AE×AC 顺着乘∠B =∠ACDCBED AAD:AC=AC:AB=CD:BC AC²=AD×AB当∠ BAC=90°AD B CB①△ABD ∽△CBA AB ²=BD×BC ②△ACD ∽△BCAAC²=CD×BC③△ADB ∽△CDA AD²=BD×CD特征 模型结论AC ∥BDAD B CO DB A CC A OD BAD B CODBACCAO D B① △BD0∽△ACO ② DO:0C=BO:0A=BD:AC 交叉比③ △AOD 与△C0B 不相似∠B=∠C（也叫蝴蝶型相似）A D BC ODBACCAD B CODBACC① △AOC ∽△DOB② AO:OD=0C:0B=AC:BDAO×OB=OC×0D 顺着比，交叉乘 ③ △BOC∽△DOA特征 模型 结论成比例线段共端点① △ABC ∽△ADE② △ABD∽△ACE特征 模型结论AB ∥EF ∥CDFEBCD AF EDCBA图2① 有两对A 字型相似△BEF ∽△BCD △DEF∽△DAB ② 有一对X 型相似△AEB ∽△DEC ③111AB CD EF+=特征模型结论ECD BAA BDC EEDCBA90度，45度； 120度，60度60°45°图2图1旋转N M 60°120°E D CB A 45°ED C B A ①△ABN ∽△MAN ∽△MCA ②△ABD ∽△CAE ∽△CBA【相似模型六：三角形内接矩形模型】 特征模型结论矩形EFGH 或正方形EFGH 内接与三角形H G FED C BA【相似模型七：十字模型】 特征 模型 结论正方形①若AF=BE,则AF ⊥BE ②若AF ⊥BE ，则AF=BE,长方形PEAB CD矩形ABCD 中，CE ⊥BD ，则△CDE ∽△BCD ，CE CDBD BC平行四边形△GME ∽△HNF△MED ≌△BFA三角形MED CAB在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ⊥AC ，①D 为中点，②AE ⊥BD ，③BE ：EC＝2：1，④∠ADB ＝∠CDE ，⑤∠AEB ＝∠CED ，⑥∠BMC ＝135°，⑦2BMMC =，这七个结论中，“知二得五”【A 型，X 型，三平行模型】1.如图，在△ABC 中，EF ∥DC ，∠AFE =∠B ，AE =6，ED =3，AF =8，则AC =_________，CDBC=_________．F E DCBABCDE FA2．如图，AB ∥CD ，线段BC ，AD 相交于点F ，点E 是线段AF 上一点且满足∠BEF =∠C ，其中AF =6，DF =3，CF =2，则AE =_________．3.如图，在Rt △ABD 中，过点D 作CD ⊥BD ，垂足为D ，连接BC 交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD 于点F ，若AB =15，CD =10，则BF :FD =_____________．FEBCAN MEDCBA4.如图，在□ABCD 中，E 为BC 的中点，连接AE ，AC ，分别交BD 于M ，N ，则BM :DN =_____________．5.如图所示，AB ∥CD ，AD ，BC 相交于点E ，过E 作EF ∥AB 交BD 于点F ．则下列结论：①△EFD ∽△ABD ；②EF BF CD BD =；③1EF EF FD BF AB CD BD BD +=+=；④111AB CD EF+=．其中正确的有___________． F EDCBA图26.在△ABC 中，AB=9，AC=6，点M 在边AB 上，且AM=3，点N 在AC 边上.当AN= 时，△AMN 与原三角形相似.7.如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D 是边AB 的中点，现有一点P 位于边AC 上，使得△ADP 与△ABC 相似，则线段AP 的长为 .8.如图，已知O 是坐标原点，点A.B 分别在y x 、轴上，OA=1，OB=2，若点D 在x 轴下方，且使得△AOB 与△OAD 相似，则这样的点D 有 个.9.如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，AC=16cm ，BC=8cm ，动点P 从点C 出发，沿CA 方向运动；动点Q 同时从点B 出发，沿BC 方向运动,如果点P 的运动速度均为4cm/s ，Q 点的运动速度均为2cm/s ，那么运动几秒时，△ABC 与△PCQ 相似.10.将△ABC的纸片按如图所示的方式折叠，使点B落地边AC上，记为点B＇，折叠痕为EF，已知AB=AC=8，BC=10,若以点B＇.F.C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是.11.如图,在中,,,是角平分线.求证:(1)(2)12.如图，四边形中，平分，，，为的中点．（1）求证：；（2）与有怎样的位置关系？试说明理由；（3）若，，求的值．13.如图，在中，为上一点，，，，于，连接．（1）求证：；（2）找出图中一对相似三角形，并证明．14.如图，在中，，分别是，上的点，，的平分线交于点，交于点．（1）试写出图中所有的相似三角形，并说明理由（2）若，求的值．15.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．16.如图,在中,于点,于点,连接,求证: ..17.如图,在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶2∶3,若EG=3,则AC=________.图1 图218..如图,平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等.则ADAB= _________.19.如图所示，AD=DF=FB, DE∥FG∥BC,则S1:S2:S3=__________.20.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥BC于点E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于点G，则线段BG与GC的数量关系是___.21. 如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD=AB=4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是∠DAB 的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 .22.如图1，在△ABC 中，点D 、E 、Q 分别在边AB 、AC 、BC 上，且DE ∥BC ，AQ 交DE 于点P ． （1）求证： ；（2）如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，正方形DEFG 的四个顶点在△ABC 的边上，连接AG 、AF ，分别交DE 于M 、N 两点．如图2，若AB =AC =1，直接写出MN 的长；如图3，求证MN 2=DM【母子型】1、已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，S △ABC=20，AB=10。
共顶点的双等腰直角三角形模型（终极版）
共顶点的双等腰直⾓三⾓形模型（终极版）共直⾓顶点先谈两个等腰直⾓三⾓形共直⾓顶点的情况.如图，给出两个共直⾓顶点O的等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD，底边AB和CD特意⽤细线相连，意在凸显该图形的本质特征，即是由OA=OB和OC=OD构成的两组“共顶点，等线段”结构，该结构为后⽂⼀系列模型⽅法奠定了基础，先重视之！常听说“⼿拉⼿模型”，⼀些同学也许⼀直不明就⾥，接下来结合我⾃⼰的理解阐述“⼿拉⼿”的含义：顶点O可看作两三⾓形的公共头部，OA、OB可看作两条“⼤⼿臂”，OC、OD可看作两条“⼩⼿臂”.正⾯看向△AOB，将之扶正，保持头部O在上，则A为“左⼿”，B为“右⼿”；同理，正⾯看向△COD，将之扶正，保持头部O在上，则C为“左⼿”，D为“右⼿”.紧接着进⾏拉⼿操作，理应产⽣两种情形，即“左⼿拉左⼿，右⼿拉右⼿”和“左⼿拉右⼿，右⼿拉左⼿”，分⽽治之！情形⼀：左⼿拉左⼿，右⼿拉右⼿（⼿拉⼿全等模型）连接左⼿A与左⼿C，连接右⼿B与右⼿D，则构成了传统意义上的“⼿拉⼿全等模型”，如下图.此图有⼀些基本结论需要熟知.（1）形的⾓度：△AOC≌△BOD.由∠AOB=∠COD=90°，易得∠AOC=∠BOD，结合OA=OB，OC=OD，易证△AOC≌△BOD（SAS）.此为基本结论，需极其熟练！（2）线的⾓度：AC=BD且AC⊥BD.笔者喜欢称AC、BD为“拉⼿线”，这对拉⼿线的数量关系和位置关系均可由上述全等三⾓形间接证明.设AC、BD交于E，∵△AOC≌△BOD，∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，由下左图中的“8字形AOBE”导⾓易证∠AEB=∠AOB=90°，即AC⊥BD. 同理，⽤下右图中的“8字形CODE”导⾓亦可，不再赘述.“⼿拉⼿全等模型”若只理解到这个层⾯，则未免有种“始终在门外徘徊”的感觉，接下来尝试从图形变换的⾓度来重新认识此图.以静态视⾓看，△AOC与△BOD全等；以动态视⾓看，△BOD可看成由△AOC绕公共顶点O逆时针旋转90°⽽来，这就是⼀开始所说的两组“共顶点，等线段”结构在起作⽤啊！正好为两个三⾓形的旋转提供了旋转三要素，即旋转中⼼、旋转⽅向和旋转⾓.⽐如只看OA=OB这组“共顶点，等线段”结构，OB可看成由OA绕点O逆时针旋转90°⽽来，这跟整个三⾓形旋转的⽅式是完全⼀致的，同理，OD也是由OC经过相同的变换⽽来，那BD呢？不也正是由AC绕点O逆时针旋转90°⽽来么？⽽⼀条直线不管绕何点旋转90°，旋转前与旋转后的直线必垂直.从这个意义上来讲，则AC与BD垂直是显然的事情啊！只有站得⾼，才能望得远，才能拥有“居⾼临下”的⼤视野！带着这样的局部与整体的捆绑变换的认识再从技术⾓度去证明AC与BD的关系则是⼩菜⼀碟了！碰上填选⼩题更可直接秒杀！（3）⾓的⾓度：OE平分∠BEC，即∠BEO=∠CEO=1/2∠BEC=45°. 过O向∠BEC两边作双垂，只需证明OG=OH，则OE平分∠BEC.⽽OG、OH分别为全等△AOC和△BOD对应边AC、BD上的⾼，当然相等，不过貌似苏科版中没有“全等三⾓形对应边上的⾼相等”这条直接的性质定理，故仍需要进⾏进⼀步证明.当然，可考虑证明△AOG≌△BOH（AAS），但笔者更推荐“⾯积法”，具体如下：下⾯，再提供两图，可思考上述结论是否发⽣变化.情形⼆：左⼿拉右⼿，右⼿拉左⼿（婆罗摩笈多模型）连接左⼿A与右⼿D，连接右⼿B与左⼿C，则⼜构成了所谓“婆罗摩笈多模型”，如下图.此模型⼀般有以下基本结论.（1）S△AOD=S△BOC.（2）取BC中点M，连接MO并延长交AD于N，则ON⊥AD，且OM=1/2AD.（中线变⾼）即△BOC拉⼿线BC上的中线在位置关系上与另⼀△AOD拉⼿线AD垂直，数量关系上等于AD⼀半.此题正⾯进攻颇有难度，不妨从结论出发，执果索因.要证ON⊥AD，即要证∠1、∠3互余，⽽∠2、∠3已知互余，则只需证∠1=∠2，⽽要证∠1=∠2，可考虑证明∠1和∠2所在的三⾓形全等，显然图中并没有现成的全等，故考虑构造，如何构造？题⼲中M是中点的条件如何运⽤？结论中还有OM=1/2AD，这些信息的碰撞下，不难想到倍长中线OM⾄K，连接BK.根据结论OM=1/2AD可知，AD=OK，则△AOD和△OBK中，根据题⽬的结论和条件可知，OA=OB，∠1=∠2，AD=OK，则△AOD≌△OBK.当然，这组全等只是我们借助要证明的结论和条件反向推导出来的⼀种客观事实，不过它可以帮助我们坚定解决本题的⽅向，即证明△AOD≌△OBK（⼼中已确认其全等，才敢坚定去证明）.好了，重新理⼀下证明全等的思路.⽬前，已知OA=BO，其他相等要素⼀概不知.不过，倍长中线后易知△BMK≌△CMO，则BK=CO=OD，如此，已有两组边对应相等，即OA=BO，OD=BK，再找AD=OK不现实（本⾝就要证明），故没得选，只能想办法证明两边的夹⾓相等，即证∠AOD=∠OBK！易知∠AOD与∠BOC互补，⽽倍长中线后形成的△BMK≌△CMO还能提供BK∥OC，则∠OBK与∠BOC也互补，故∠AOD=∠OBK（同⾓的补⾓相等），故△AOD≌△OBK（SAS），∴AD=OK，∠1=∠2，∴OM=1/2OK=1/2AD，∠1+∠3=∠2+∠3=90°，∴ON⊥AD.证毕！当然，倍长中线后若连接CK，如下图，同理可证△AOD≌△KCO ，不再赘述.（3）过点O作ON⊥AD于N，延长NO交BC于M，则M为BC中点，且OM=1/2AD.（⾼变中线）即△AOD拉⼿线AD上的⾼所在直线必穿过另⼀条拉⼿线BC的中点，且拉⼿线BC上的中线OM等于另⼀拉⼿线AD的⼀半.此题正好跟（2）颠倒了⼀下条件和结论，这次就不逆推啦，太累！直接上8字⼲货，“欲证中点，先造平⾏”，⽽上题可总结为“已知中点，倍长中线”，哈哈！反思：好⼀个“欲证中点，先造平⾏”啊！法⼀通过先造BK∥OC，便可先得△AOD≌△OBK，再得△KBM≌OCM这组平⾏8字形全等，顺利导出中点.跟（2）中⼀样，也是通过2次全等，不过全等的证明顺序刚好相反，个中趣味，请再次体悟！反思：法⼆通过构造两次“K型全等”，巧妙转移线段后再证8字全等，刚好也是2类全等.更有趣的是，双垂线BG与CH也平⾏啊！虽是作了双垂，本质依旧是“造平⾏”，最后通过平⾏8字形全等导出中点，多么痛的领悟啊！在情形⼀的“⼿拉⼿全等模型”中，我们能够根据“共顶点，等线段”结构进⾏旋转变换化静为动，使问题的解决变得彻底！本题同样具备“共顶点，等线段”结构啊，是否也能通过旋转变换获得解决呢？不妨⼀试.如上图，狠抓OA=OB这组“共点等线”结构，将△AOD绕点O逆时针旋转90°⾄△BOD'处，显然，∠DOD'=90°，则易知C、O、D'三点共线，⽽OD'=OD=OC，则BO是△BD'C的中线，由中线等分⾯积易知，S△BOD'=S△BOC，则S△AOD=S△BOC.呃，第⼀个结论竟然这样被秒杀了当然，还有如下3种旋转⽅式，不再展开说明，请看：更有趣的是，（2）和（3）中的结论也可瞬间秒杀！先看（2）中的中线变⾼的情形.在将△AOD旋转90°⾄△BOD'处时，顺便将ON也相应旋转⾄ON'处，如下图所⽰.同样地，（3）中⾼变中线的情形也可顺利解决.反思：通过狠抓“共点等线”结构，进⾏旋转变换，使得原本分离的两个三⾓形“接壤”，⼀下⼦将3个结论⼀⽹打尽，趣味横⽣！可见，图形变换是多么有⽤啊！下⾯，再提供⼀个变式图形.依旧是等腰Rt△AOB与等腰Rt△COD共直⾓顶点O，只是两个等腰直⾓三⾓形有重叠部分，依旧“左⼿A拉右⼿D，右⼿B 拉左⼿C”.不难发现，前述3个结论依然成⽴.本质相同，请⾃⾏探究，不再赘述.（特别提醒：∠AOD与∠BOC依旧互补）共45°底⾓顶点再谈两个等腰直⾓三⾓形共底⾓顶点的情况.情形⼀：顺序旋转，⼿拉⼿相似如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底⾓顶点O，且公共顶点O、直⾓顶点与另⼀底⾓顶点均按相同顺序排列（如此图均为顺时针⽅向排列）.若将两直⾓顶点A、C和另两个底⾓顶点B、D相连，则构成了经典的“⼿拉⼿相似模型”，如下图.此模型包含以下两个基本结论：（1）形的⾓度：旋转相似必成对△AOB∽△COD（⽼相似），△AOC∽△BOD（新相似）.（2）线的⾓度：AC、BD的数量关系为AC：BD=OA：OB=OC：OD=1：根号2；AC、BD的位置关系为两线夹的锐⾓=45°.联系前⽂“⼿拉⼿全等模型”，发现本质上并⽆不同.从静态视⾓看，△AOC∽△BOD；从动态视⾓看，△BOD可看作由△AOC绕公共顶点O顺时针旋转45°后，再以O为位似中⼼，同侧放⼤根号2倍⽽来，即先旋转变换，后位似变换.其实，这种旋转位似变换的本质依据依然是“共点线段”，⽐如本题中的OA与OB，OC与OD. 以OA与OB为例，准确地讲，它们属于“共点定⽐值线段”，公共点O提供了旋转和位似中⼼，夹⾓∠AOB提供了旋转⽅向和旋转⾓，⽐值OA：OB提供了位似⽐. 提供动图再理解⼀下吧！当然，BD也是由AC经过相应的旋转位似变换⽽来，故AC与BD的⽐值等于位似⽐，夹⾓等于旋转⾓45°.下⾯，再提供两个变式图形，供深⼊理解.情形⼆：逆序脚拉脚如图，等腰Rt△AOB和等腰Rt△COD共底⾓顶点O，且公共顶点O、直⾓顶点与另⼀底⾓顶点逆序排列（如下图中O、A、B为逆时针排列，⽽O、C、D为顺时针排列）.不妨将B、D看作两个等腰Rt三⾓形的两只脚，连接两脚，即形成了经典的“脚拉脚模型”.再取拉脚线上的中点M，分别与两直⾓顶点相连，则有结论AM=CM且AM⊥CM.下⾯提供三种证法.法⼀：倍长中线法百思⽆果，实在⽆法建⽴AM与CM的联系，想起“已知中点，倍长中线”，⼲脆先倍长AM⾄K（如下左图），接下来再次利⽤执果索因的逆推⼤法来寻找解题思路，根据结论AM=CM且AM⊥CM，客观上可知△ACK为等腰直⾓三⾓形，马上惊喜地识别出⼀个前⽂讲过的“共直⾓顶点的双等腰直⾓三⾓形⼿拉⼿全等模型”，即等腰Rt△ACK和等腰Rt△OCD⼿拉⼿，导出右图△OCA≌△DCK，换⾔之，只要能证出这组全等，再顺推出结论即可.整理⼀下证明全等的思路，已知条件仅有CO=CD，由倍长中线可知，△KMD≌△AMB，则KD=AB=AO，这样就有两组对应边相等了，只需证明其夹⾓相等，即证∠AOC=∠KDC即可，此处的导⾓正是本题难点.倍长中线法本质上就是起到转移边⾓的作⽤，倍长中线后形成的8字全等形，也可看成是△ABM绕点M旋转180°得到，旋转前后AB与KD不仅数量上相等，⽽且位置上平⾏，这种平⾏关系极其重要（可结合前⽂中“婆罗摩笈多模型”的导⾓再次体悟），为我们提供了新的导⾓思路，即⽤位置关系来导⾓！∠AOC的边AO⊥AB，⽽AB∥KD，显知AO⊥KD，故延长AO交KD于T，可知∠OTD=90°，故∠OTD+∠OCD=180°，识别对⾓互补四边形COTD，易证∠AOC=∠KDC，难点解决！接下去顺推即可，于是△OCA≌△DCK（SAS），∴CA=CK，∠ACO=∠KCD，∴∠ACK=∠ACO+∠OCK=∠KCD+∠OCK=∠OCD=90°，∴△ACK 为等腰直⾓三⾓形，⼜AM=MK，∴AM=CM，AM⊥CM.证毕.反思：题⽬较为复杂时，可先逆流⽽上，执果索因，打通关节后再顺流⽽下，势如破⽵.另外，导⾓时要善于从位置关系⼊⼿，解⽆定法，多反思，多总结，⽅能融会贯通，灵活运⽤！法⼆：构造共直⾓顶点⼿拉⼿⼀般⽽⾔，共直⾓顶点的双等直三⾓形⼿拉⼿模型更易掌握，此题难就难在共的是底⾓顶点⽽⾮直⾓顶点，故考虑将其构造成熟悉的共直⾓顶点模型，见下左图：反思：此法巧思妙构，将复杂问题转化为熟悉的模型，再通过中位线沟通短边AM、CM与长边DE、BF之间的数量与位置关系，妙哉妙哉，是笔者最为推崇的⼀种解法.法三：中位线法反思：此法也是常见的中点处理策略，有中点，取中点，造中位线，困难之处依旧在于导⾓.拓展延伸：本⽂的初衷就是介绍共顶点的双等直相关模型，本想就此结束，但考虑到脚拉脚模型平时极少有机会深⼊讲解，不妨再拓展⼀下，供有兴趣的同学继续钻研.若将双等腰直⾓三⾓形弱化为两个逆序等腰三⾓形共底⾓顶点，且顶⾓互补，再连接另⼀组底⾓顶点并取中点，则该中点与两顶⾓顶点构成直⾓三⾓形.如上图，△ABO中，AB=AO，△COD中，CO=CD，且∠OAB+∠OCD=180°，取BD中点，则有AM⊥CM.法⼀：倍长中线法法⼆：构造共直⾓顶点的相似三⾓形⼿拉⼿反思：若是对“共直⾓顶点的双相似三⾓形⼿拉⼿模型”的基本结论⼗分熟悉，则图中的新相似△EOD∽△BOF是可以快速识别的，且从动态视⾓看，△BOF可看作由△EOD绕共点O先旋转90°后位似变换⽽来，故BF亦是由ED旋转90°⽽来，故ED⊥BF就是显然的事情！认识模型→熟悉模型→识别模型→应⽤模型，这是⼀个循序渐进的过程，偷不得懒哟！法三：中位线法（类似上题法三，不再详述）。
相似三角形的九大模型
相似三角形的九大模型相似三角形是几何学中一类重要的图形，它具有一些独特的性质和模型。
这些模型可以用来解决各种实际问题，从简单的长度关系到复杂的空间结构。
本文将介绍相似三角形的九大模型，并给出相应的例子和应用场景。
相似三角形是指两个三角形形状相同，大小成比例。
相似三角形的对应边成比例，对应角相等。
相似三角形还有一些其他的性质，例如，相似三角形的中线、角平分线、高的比等于它们的相似比。
平行线模型：两个三角形分别在两条平行线上，它们的对应边平行且成比例。
这种模型经常用于解决一些与长度和角度相关的问题。
共顶点模型：两个三角形有一个共同的顶点，且它们的对应边成比例。
这种模型常用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
角平分线模型：一个三角形的角平分线将这个三角形分成两个小的相似三角形。
这种模型可以用于证明两个三角形相似，以及求解一些角度问题。
平行四边形模型：一个平行四边形被它的两条对角线分成四个小的相似三角形。
这种模型可以用于解决一些与面积和长度相关的问题。
位似模型：一个相似变换将一个三角形映射到另一个三角形，这种变换称为位似变换。
这种模型可以用于解决一些与长度、角度和面积相关的问题。
旋转模型：一个三角形绕着它的一个顶点旋转一定的角度后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与角度和长度相关的问题。
镜像模型：一个三角形沿一条直线翻折后得到另一个三角形，这两个三角形是相似的。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
传递模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分相似。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
扩展模型：如果一个三角形与另一个三角形相似，那么这个三角形的每一个部分都与另一个三角形的对应部分成比例。
这种模型可以用于解决一些与长度和角度相关的问题。
相似三角形的九创作者是几何学中一类重要的模型，它们具有广泛的应用价值。
附8 相似三角形的常见模型
学霸班主任精编2022年中考数学相似三角形的常见模型1.了解相似三角形的性质定理与判定定理；2.能利用相似三角形的性质定理和判定定理解决简单问题.1.相似三角形的判定；2.能构成相似三角形的常见模型.《模型分析》相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的六大基本模型．在添加辅助线时，所添加辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系．相似基本模型专题探究之一线三等角【知识点睛】一.常见基本类型：同侧型（通常以等腰三角形或者等边三角形为背景）异侧型二.模型性质应用：321321.3.2.1∽△∽△，则△，且如右图，若两相似中，可得三个三角形两中点型“一线三等角”；≌△时，△如图②，当；∽△易得△常用结论：右左DC BD CFD BDE DF DE =∠=∠=∠=模型构造：1.图中已存在“一线三等角”，则直接应用模型结论解题.2.图中存在“一线两等角”，补上“一等角”，构造模型解题.3.图中某直线上只存在1个角，补上“两等角”，构造模型解题.如果直线上只有1个角，要补成“一线三等角”时，该角通常是特殊角（30°、45°、60°）特征：构造特殊角的等角时，一般是在“定线”上做含特殊角的直角三角形。
“一线三等角”得到的相似，通常用外边的两等角的两边对应成比例求解长度.相似常见模型之平行相似【知识点睛】A 字图及其变型“斜A 型”一般地：当动点E 运动到底边的中点时，CF 有最大值当∠A=∠C 时△AJB ∽△CJD 性质：JDJBJC JA CD AB ==变型☆：斜A 型在圆中的应用：如图可得：△PAB∽△PCD8字图及其变型“蝴蝶型”变型知识点睛一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．☆：A 字图与8字图相似模型均是由“平行”直接得到的，∴有“∥”，多想此两种模型常见“∥”的引入方式：1.直接给出平行的已知条件2.平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等几何图形中自带的平行3.由很多中点构造的“中位线”的平行4.根据线段成比例的条件或结论自己构造平行辅助线当DE ∥BC 时△ADE ∽△ABC 性质：☆：“蝴蝶型”常见应用1.常出现在“圆”中，直接由相交弦得到，求角度相关此时注意“同弧所对圆周角相等”的应用2.出现在“手拉手模型”中，用于证明“两直线垂直”或者“两直线成一固定已知角度”当∠ADE=∠ACB 时△ADE ∽△ACB 性质：当AB ∥CD 时△AOB ∽△DOC 性质：☆：“A 字图”最值应用A 字图中作动态矩形求最大面积时，通常当MN 为△ABC 中位线，矩形面积达到最大值！BC DE AC AE AB AD ==①ECAEDB AD =②BCDEAB AE AC AD ==OCOBOD OA CD AB ==2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．2．相似三角形的对应边成比例如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）．图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AHS BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证AB BCBE BF =，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证ABC EBF △∽△．2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为DEF △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
相似三角形与等腰三角形的关系
相似三角形与等腰三角形的关系三角形是初中数学中的一个重要概念，它分为不同的类型，其中最为经典的就是相似三角形和等腰三角形。
相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的两个三角形，而等腰三角形则是指具有两边长度相等的三角形。
那么，相似三角形和等腰三角形之间是否存在某种关系呢？本文将对这一问题进行探讨。
一、相似三角形的性质相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边的比值相等。
具体来说，对于两个相似三角形ABC和XYZ，其对应的角度分别为∠A、∠B、∠C和∠X、∠Y、∠Z，对应的边的比值为AB/XY、BC/YZ、AC/XZ。
如果这两个条件同时满足，我们可以得出结论：这两个三角形相似。
二、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两边长度相等的三角形。
如果一条边的两侧角度也相等，则此等腰三角形为等边三角形。
在等腰三角形中，我们可以发现一些有趣的性质。
首先，等腰三角形的底角（即两个边相等的角）是相等的，这是因为等腰三角形的两个底角对边相等，所以它们的度数也相等。
其次，等腰三角形的顶角（即等腰三角形顶点所在的角）是其他两个角的平分角，也就是说，顶角的度数等于底角的度数的一半。
三、相似三角形与等腰三角形的关系根据上述已知性质，我们可以得出相似三角形与等腰三角形之间的联系。
首先，等腰三角形可以是相似三角形，但相似三角形不一定是等腰三角形。
这是因为等腰三角形的两个底角相等，对应的角度可以构成相似三角形的条件。
但在相似三角形中，对应边的比值可能不同，所以它们不一定是等腰三角形。
其次，等腰三角形中的顶角恰好是其他两个角的平分角，这与相似三角形的性质有些相似。
在相似三角形中，对应的角度相等，但它们并不一定是其他两个角的平分角。
所以，相似三角形与等腰三角形之间并没有直接的联系。
在实际问题中，我们可以利用相似三角形与等腰三角形的性质来解题。
通过观察、推理和运用这些性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
总结起来，相似三角形和等腰三角形是三角形的两种重要类型，它们具有不同的性质和规律。
三角形的相似性和等腰三角形知识点总结
三角形的相似性和等腰三角形知识点总结三角形是初中数学中重要的几何形状之一，相似性和等腰三角形是三角形的两个重要概念。
本文将对三角形的相似性和等腰三角形进行知识点的总结，并进行适当的举例说明。
一、三角形的相似性三角形的相似性是指两个三角形的对应内角相等，且对应边成比例。
根据相似性的性质，可以得出以下几个重要结论：1. AAA相似定理如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。
例如，设△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则根据AAA相似定理可得出△ABC∽△DEF。
2. AA相似定理如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
例如，设△ABC和△DEF，已知∠A=∠D，∠B=∠E，则根据AA相似定理可得出△ABC∽△DEF。
3. SSS相似定理如果两个三角形的三个边分别成比例，则这两个三角形相似。
例如，设△ABC和△DEF，已知AB/DE=BC/EF=AC/DF，则根据SSS相似定理可得出△ABC∽△DEF。
相似三角形的面积比等于两个相似三角形的边长比的平方。
具体而言，如果△ABC与△DEF相似，则有以下关系式：(面积比) = (边长比的平方) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2二、等腰三角形的性质等腰三角形是指具有两边相等的三角形。
根据等腰三角形的性质，可以得出以下几个重要结论：1. 等腰三角形的两底角（底边两边所对的角）相等。
例如，设△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，则∠B=∠C。
2. 等腰三角形的顶角（顶边所对的角）是对顶角。
例如，设△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，则∠A是对顶角。
3. 等腰三角形的高线（从顶角到底边垂直的线段）也是中线和角平分线。
例如，设△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，高线AD，则AD 是BC的中线和∠BAD的角平分线。
4. 等腰三角形的高线、中线和角平分线重合。
例如，设△ABC是等腰三角形，其中AB=AC，高线、中线和角平分线合为一线。
数学中的相似三角形与等腰三角形
数学中的相似三角形与等腰三角形在数学中，三角形是一个基本的几何形状，有许多有趣的性质和特征。
其中，相似三角形和等腰三角形是两个重要的概念。
本文将探讨相似三角形和等腰三角形的特点、性质以及它们在数学中的应用。
一、相似三角形相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，或者它们的对应边长成比例。
当两个三角形相似时，它们的对应边长比例称为相似比。
相似三角形有以下重要性质：1. 相似三角形的对应边长成比例。
如果两个三角形相似，那么它们的对应边长比例相等。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么AB/DE = BC/EF = AC/DF。
2. 相似三角形的对应角度相等。
如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
3. 相似三角形的面积比等于边长比的平方。
如果两个三角形相似，那么它们的面积比等于边长比的平方。
例如，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比等于(AB/DE)² = (BC/EF)² = (AC/DF)²。
相似三角形在实际应用中有广泛的应用，例如测量高楼的高度、计算不可达区域的距离等。
通过相似三角形的性质，我们可以利用已知的长度和角度信息来计算未知的长度和角度。
二、等腰三角形等腰三角形是指具有两条边长度相等的三角形。
等腰三角形的特点是两边边长相等，而底边边长可能不等。
等腰三角形有以下重要性质：1. 等腰三角形的两底角相等。
等腰三角形的两条底边对应的角度相等。
例如，如果三角形ABC是等腰三角形，那么∠A = ∠C。
2. 等腰三角形的顶角是锐角。
等腰三角形的顶角是小于90度的锐角。
3. 等腰三角形的高线是对称轴。
等腰三角形的高线是底边的中垂线，也是等腰三角形的对称轴。
等腰三角形也有许多实际应用。
平面几何中的相似三角形与等腰三角形
平面几何中的相似三角形与等腰三角形几何学是数学的一个重要分支，研究平面和空间的形状、大小、分布以及它们之间的关系。
在几何学中，相似三角形和等腰三角形是常见且重要的概念。
本文将着重讨论相似三角形与等腰三角形在平面几何中的性质和应用。
一、相似三角形1. 定义和性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似三角形。
相似三角形的性质主要包括以下几点：- 边比例：相似三角形的对应边的长度比例相等。
若两个三角形ABC和DEF相似，有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
- 高度比例：相似三角形的对应高度的长度比例相等。
若两个三角形ABC和DEF相似，有h1/h2 = h3/h4。
- 周长比例：相似三角形的对应边长的比例等于相似三角形的对应高度的比例。
2. 相似三角形的应用相似三角形可以应用于实际问题中，用于解决距离、高度、面积等计算或估算问题。
例如，利用相似三角形的性质，我们可以通过测量实际中的某一个三角形的一组边长，并结合比例关系计算出另一个相似三角形的对应边长或高度。
二、等腰三角形1. 定义和性质等腰三角形是指具有两边相等的三角形。
等腰三角形的性质主要包括以下几点：- 底角相等：等腰三角形的底边上的两个角相等。
- 高度相等：等腰三角形的高度线分割底边成两个等分线段。
- 对称性：等腰三角形具有轴对称性，以底边的中点为对称中心，底边上的每一点关于该中点对称。
2. 等腰三角形的应用等腰三角形在实际问题中具有广泛应用。
以房屋屋顶为例，很多房屋的屋顶是等腰三角形的形状。
利用等腰三角形的性质，我们可以计算出屋顶的高度、斜边的长度，以及屋顶的面积。
三、相似三角形和等腰三角形的关系相似三角形和等腰三角形之间存在一定的关联性。
在某些情况下，相似三角形可以帮助我们判断一个三角形是否是等腰三角形。
例如，如果一个三角形的两条边相等，而另外一条边与其中一条边的比值等于这两条边上高度的比值，那么这个三角形必定是等腰三角形。
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共顶点等腰三角形产生相似三角形模型
今天研究一个难度较低但结论还比较有趣的模型。
前面研究过两个有点类似的模型，当时起名个人是从模型构造出发分别叫旋转放缩对称直角三角形和互补旋转放缩等腰三角形模型，现在想想既复杂拗口，又没点穿本质，还不如直接叫共顶点直角三角形产生等腰三角形和共顶点等腰三角形产生直角三角形模型好点。
所以今天这个就直接叫共顶点等腰三角形产生相似三角形模型了。
模型构造：一：任意作一等腰三角形ABC，∠A为顶角。
然后将其绕A旋转180°得△AED。
二：将△AED绕A进行旋转及放缩，得到新的等腰三角形AED
三：连BD，CE（注意对应，不是BE和CD），分别作其中垂线，交于F点。
结论：△DFB∽△EFC，且∠DFB=∠EFC=180°-∠BAC。
证明：由边角边基本全等模型易证△EAB∽△DAC①
则有BE=DC，可推出△EFB≌△CFD②，从而∠EFB=∠CFD即∠DFB=∠CFE，△DFB ∽△EFC。
接下来推为什么产生的两新的相似的等腰三角形顶角和原等腰三角形顶角互补：由①，∠ADG=GEH，则∠GHE=∠DAE；由②，∠
HEI=∠FCI，则∠EHI=∠EFC。
又∠EHI+∠GHE=180°，则有∠EFC+∠DAE=∠EFC=∠BAC=180°。
由于等腰△ABC形状可以改变，△ADE可以任意旋转放缩，给出的图形是否以偏概全结论是否任意情况都成立呢？应该是都成立的。
尽管形状改变，过程和推导都大同小异，仅再举一情形进行证明。
在此图延长BE和DC交于G。
由△AED≌△ADC，可推∠EGD=∠BAC。
再由△EBF≌△CDF，可推∠GDF+∠EBF=180°，所以在四边形GBFD中，∠BFD+∠EGD=∠BFD+∠
BAC=180°。
模型应用：。