北京市初中数学方程与不等式之一元一次方程综合训练

北京市初中数学方程与不等式之一元一次方程综合训练
一、选择题
1．下列方程的变形中正确的是（ ）
A ．由567x x +=-得675x x -=-
B ．由2(1)3x --=得223x --=
C ．由
310.7x -=得1030107x -= D ．由139322
x x +=--得212x =- 【答案】D
【解析】
【分析】
根据解一元一次方程的一般步骤对各选项进行逐一分析即可．
【详解】
A ．由567x x +=-得675x x -=--，故错误；
B ．由2(1)3x --=得223x -+=，故错误；
C ．由
310.7x -=得103017
x -=，故错误； D ．正确．
故选：D ．
【点睛】 本题考查的是解一元一次方程，熟知解一元一次方程的一般步骤是解答此题的关键．
2．今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍．设今年儿子的年龄为x 岁，则下列式子正确的是（ ）
A ．4x －5=3(x －5)
B ．4x+5=3(x+5)
C ．3x+5=4(x+5)
D ．3x －5=4(x －5)
【答案】D
【解析】
【分析】
设今年儿子的年龄为x 岁，则今年父亲的年龄为3x 岁，根据5年前父亲的年龄是儿子年龄的4倍，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．
【详解】
设今年儿子的年龄为x 岁，则今年父亲的年龄为3x 岁，依题意，得：
3x ﹣5=4（x ﹣5）．
故选D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解
3．某种商品的进价为每件180元，按标价的九折销售时，利润率为20%，这种商品每件的标价为（ ）元．
A ．200
B ．240
C ．245
D ．255 【答案】B
【解析】
【分析】
设这种商品的标价是x 元，根据某种商品每件的进价为180元，按标价的九折销售时，利润率为20%可列方程求解．
【详解】
设这种商品的标价是x 元，
90%x ﹣180＝180×20%
x ＝240
这种商品的标价是240元．
故选：B ．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，关键知道利润＝售价﹣进价，根据此可列方程求解．
4．下列说法正确的是（ ）
A ．若a c =b c
，则a=b B ．若-
12x=4y ，则x=-2y C ．若ax=bx ，则a=b
D ．若a 2=b 2，则a=b 【答案】A
【解析】
【分析】
按照分式和整式的性质解答即可．
【详解】 解：A ．因为C 做分母，不能为0，所以a=b ；
B ．若-x=4y ，则x=-8y ；
C ．当x=0的时候，不论a ，b 为何数，00a b ⨯=⨯，但是a 不一定等于b ；
D ．a 和b 可以互为相反数.
故选 ：A
【点睛】
本题考查了整式和分式的性质，掌握整式和分式的性质是解答本题的关键．
5．若关于x 的方程(m-3)x |m|-2 -m+3=0是一元一次方程，则m 的值为（ ）
A ．m=3
B ．m=-3
C ．m=3或-3
D ．m=2或-2
【答案】B
【分析】
根据一元一次方程的定义得到｜m｜-2=1且m-3≠0，解得ｍ的取值范围即可．.
【详解】
解：有题意得：｜m｜-2=1且m-3≠0，解得m=-3,故答案为B．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的概念和解法．掌握一元一次方程的未知数的指数为1且一次项系数不等于0是解答本题的关键．
6．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2x﹣1，若这两个三角形全等，则x为（）
A．B．4 C．3 D．不能确定
【答案】C
【解析】
试题分析：根据三角形全等可得：3x－2=5且2x－1=7或3x－2=7且2x－1=5；第一个无解，第二个解得：x=3．
考点：三角形全等的性质
7．关于x的方程1514
()
2323
mx x
-=-有负整数解，则所有符合条件的整数m的和为
（）
A．5 B．4 C．1 D．－1【答案】D
【解析】
【分析】
先解方程，再利用关于x的方程1514
2323
mx x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
有负整数解，求整数m即可．
【详解】
解方程1514 2323 mx x
⎛⎫
-=-
⎪
⎝⎭
去括号得，1512 2323 mx x
-=-
移项得，1152 2233 mx x
-=-，
合并同类项得
11
1 22
m x
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
，
系数化为1，
2
(1)
1
x m
m
=≠
-
，
∵关于x 的方程15142323mx x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭
有负整数解， ∴整数m 为0，-1．
∴它们的和为：0+（-1）=-1.
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的解，解题的关键是用m 表示出x 的值．
8．关于x 的方程32x x a =+的解与
3242x x -=的解相同，则a 的值为（ ） A ．2-
B ．2
C ．1-
D ．1 【答案】B
【解析】
【分析】
先求出第一个方程的解，再根据解的定义，把第一个方程的解代入第二个方程，得到关于a 的方程，即可求解．
【详解】
由32x x a =+，解得：x=a ，
∵关于x 的方程32x x a =+的解与
3242x x -=的解相同， ∴把x=a 代入3242
x x -=得：3242a a -=， ∴a-2=0，解得：a=2．
故选B ．
【点睛】
本题主要考查解一元一次方程以及解的定义，掌握移项，去分母以及解的定义，是解题的关键．
9．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A ．x 2﹣4x =3
B ．x =0
C ．x +2y =1
D ．x ﹣1=1x
【答案】B
【解析】
【分析】
一元一次方程的一般式为ax+b=0(a≠0)，根据该定义进行判断即可.
【详解】
解：x 2﹣4x =3，未知数x 的最高次数为2，故A 不是一元一次方程；
x =0，符合一元一次方程的定义，故B 是一元一次方程；
x +2y =1，方程含有两个未知数，故C 不是一元一次方程；
x ﹣1=
1x
，分母上含有未知数，故D 不是一元一次方程. 故选择B.
【点睛】
本题考查了一元一次方程的定义.
10．下列解方程过程中，变形正确的是（ ）
A ．由2x-1=3得2x=3-1
B ．由255143
x x -=-得6x-5=20x-1 C ．由-5x=4得x ＝−
54 D ．由132
x x -=得2x-3x=6 【答案】D
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质进行判断．
【详解】
A 、在2x-1=3的两边同时加上1，等式仍成立，即2x=3+1．故本选项错误；
B 、在
255143x x -=-的两边同时乘以12，等式仍成立，即6x-60=20x-12，故本选项错误；
C 、在由-5x=4的两边同时除以-5，等式仍成立，即x=-
45，故本选项错误； D 、在132
x x -=的两边同时乘以6，等式仍成立，即2x-3y=6，故本选项正确． 故选D ．
【点睛】
本题主要考查了等式的基本性质．
等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；
11．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程（ ）
A ．10%x ＝330
B ．（1﹣10%）x ＝330
C ．（1﹣10%）2x ＝330
D ．（1+10%）x ＝330
【答案】D
【解析】
解：设上个月卖出x 双，根据题意得：（1+10%）x =330．故选D ．
12．若关于x 的不等式组12246
x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩有解，且关于x 的方程()()2232kx x x =--+有非负整数．．．．
解，则符合条件的所有整数k 的和为( ) A ．-5 B ．-9 C ．-12
D ．-16
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据不等式组有解得k 的取值，利用方程有非负整数解，将k 的取值代入，找出符合条件的k 值，并相加．
【详解】 12246x k x k k -⎧≥⎪⎨⎪-≤+⎩①②
， 解①得：x≥1+4k ，
解②得：x≤6+5k ，
∴不等式组的解集为：1+4k≤x≤6+5k ，
1+4k≤6+5k ，
k≥-5，
解关于x 的方程kx=2（x-2）-（3x+2）得，x=-61
k +， 因为关于x 的方程kx=2（x-2）-（3x+2）有非负整数解，
当k=-4时，x=2，
当k=-3时，x=3，
当k=-2时，x=6，
∴-4-3-2=-9；
故选B ．
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组、方程的解，有难度，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
13．我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是 ( )． A ．3229x x -=+ B ．3(2)29x x -=+
C ．
2932
x x +=- D ．3(2)2(9)x x -=+ 【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，表示出两种方式的总人数，然后根据人数不变列方程即可.
【详解】
根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.
故选B.
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是找到问题中的等量关系：总人数不变，列出相应的方程即可.
14．点P （x 1，y 1）和点Q （x 2，y 2）是关于x 的函数y ＝mx 2﹣（2m +1）x +m +1（m 为实数）图象上两个不同的点．对于下列说法：①不论m 为何实数，关于x 的方程mx 2﹣（2m +1）x +m +1＝0必有一个根为x ＝1；②当m ＝0时，（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0成立；③当x 1+x 2＝0时，若y 1+y 2＝0，则m ＝﹣1；④当m ≠0时，抛物线顶点在直线y ＝﹣12
x +1上．其中正确的是（ ） A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．①②④
【答案】A
【解析】
【分析】
根据方程解的定义对①进行判断；先得到当m=0时，函数解析式为y=﹣x+1，则可计算出
()()2121212()x x y y x x =﹣﹣﹣﹣，于是可根据非负数的性质对②进行判断；当m=﹣1时，解析式为y =﹣2x +x ，可计算出1y +2y =212x x ≠0，于是可对③进行判断；先计算出顶点坐标，然后根据一次函数图象上点的坐标特征对④进行判断．
【详解】
当x =1时，y =mx 2﹣(2m +1)x +m +1=m ﹣2m ﹣1+m +1=0，
则方程mx 2﹣(2m +1)x +m +1=0必有一个根为x =1，所以①正确；
当m =0时，y =﹣x +1，则y 1=﹣x 1+1，y 2=﹣x 2+1，
所以(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)=(x 1﹣x 2)(﹣x 1+x 2)=﹣(x 1﹣x 2)2，
而点P (x 1，y 1)和点Q (x 2，y 2)是两个不同的点，
所以x 1≠x 2，
则(x 1﹣x 2)(y 1﹣y 2)=﹣(x 1﹣x 2)2＜0，所以②正确；
当m =﹣1时，y =﹣x 2+x ，
则y 1=﹣x 12+x 1，y 2=﹣x 22+x 2，
所以y 1+y 2=﹣x 12+x 1﹣x 22+x 2=﹣(x 1+x 2)2+2x 1x 2+(x 1+x 2)，
当x 1+x 2=0时，
y 1+y 2=2x 1x 2≠0，所以③错误；
当m ≠0时，顶点的横坐标为2122b m a m
+-=，纵坐标为()()22412141444m m m ac b a m m
+-+-==-， 当x =212m m +时，112121112224m m y x m m
+-=-+=-+=n ， 所以抛物线的顶点不在直线112
y x =-+上，所以④错误． 综上：①②正确，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质、方程解的定义、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
15．若关于x 的一元一次方程x −m +2=0的解是负数，则m 的取值范围是
A ．m ≥2
B ．m ＞2
C ．m ＜2
D ．m ≤2
【答案】C
【解析】
试题分析：∵程x ﹣m+2=0的解是负数，∴x=m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ． 考点：解一元一次不等式；一元一次方程的解．
16．下列各式属于一元一次方程的是（ ）
A ．3x+1
B ．3x+1＞2
C ．y ＝2x+1
D ．3x+1＝2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用一元一次方程的定义分析得出答案．
【详解】
A 、3x+1是代数式，故此选项错误；
B 、3x+1＞2，是不等式，故此选项错误；
C 、y=2x+1，是一次函数，故此选项错误；
D 、3x+1=2属于一元一次方程，故此选项正确．
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查了一元一次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
17．若一个数的平方根为2a+3和a-15，则这个数是（ ）
A ．-18
B ．64
C ．121
D ．以上结论都不是
【答案】C
【分析】
根据正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，据此即可得到关于a 的方程，从而可求得a 的值，进而求得这个数．
【详解】
解：根据题意得：2a+3+（a-15）=0，
解得a=4，
则这个数是（2a+3）2=121．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了平方根的性质，正数的两个平方根互为相反数，据此把题目转化为解方程的问题，这是考试中经常出现的问题．
18．下列等式的变形中，正确的有（ ）
①由53x =得53x =
；②由a=b 得，-a=-b ；③由a b c c =得a b =；④由m n =得m 1n = A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B
【解析】
【分析】
本题需先根据等式的性质对每一选项灵活分析，即可得出正确答案.
【详解】
①若53x =，则35
x =故本选项错误 ②若由a=b 得，-a=-b ，则-a=-b 故本选项正确
③由a b c c
=，说明c ≠0，得a b =故本选项正确 ④若m n =≠0时，则
m 1n
=故本选项错误 故选:B
【点睛】 本题考查了等式的基本性质，在已知等式等号两边同时加减或乘除等式是否仍然成立.
19．我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为（ ）
A ．179
x x -= B ．179x x += C ．7x+9x=1 D ．9x-7x=1
【答案】B
【分析】
直接根据题意得出野鸭和大雁的飞行速度，进而利用它们相向而行何时相逢进而得出等式．
【详解】
解：野鸭大雁与从北海和南海同时起飞，经过x 天相遇，可列方程为：
11179x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即179x x +=， 故选B.
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示出每天飞行的距离是解题关键．
20．下列等式变形正确的是（ ）
A ．如果0.58x =，那么x=4
B ．如果x y =，那么-2-2x y =
C ．如果a b =，那么
a b c c = D ．如果x y =，那么x y = 【答案】B
【解析】
【分析】
等式两边同时加上或减去同一个数，等式依然成立；等式两边同时除以一个不为0的数，等式依然成立；两个数的绝对值相等，其本身不一定相等，据此逐一判断即可.
【详解】
A ：如果0.58x =，那么16x =，故选项错误；
B ：如果x y =，那么22x y -=-，故选项正确；
C ：如果a b =，当0c ≠时，那么a b c c
=，故选项错误； D ：如果x y =，那么x y =±，故选项错误；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了等式的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.。