高中数学 课时提升卷 第二讲 反证法与放缩法 新人教A版选修45

课时提升卷(八)
反证法与放缩法
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定形式是( )
A.任意多面体没有一个是三角形或四边形或五边形的面
B.任意多面体没有一个是三角形的面
C.任意多面体没有一个是四边形的面
D.任意多面体没有一个是五边形的面
2.设x,y,z都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c三个数( )
A.至少有一个不大于2
B.都小于2
C.至少有一个不小于2
D.都大于2
3.(2013·保定高二检测)设x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系
是( )
A.M>N
B.M<N
C.M=N
D.不确定
4.a,b,c不全为零等价为( )
A.a,b,c均不为0
B.a,b,c中至多有一个为0
C.a,b,c中至少有一个为0
D.a,b,c中至少有一个不为0
5.设a,b,c是正数,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,则“P·Q·R>0”是“P,Q,R同时大于零”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每小题8分,共24分)
7.用反证法证明命题“若ax2-(a+b)x+ab≠0,则x≠a且x≠b”时应假设.
8.在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC内一点,∠APB>∠APC,求证:∠BAP<∠CAP,用反证法证明时应分:假设和两类.
9.(2013·青岛高二检测)log23与log34的大小关系是.
三、解答题(10～11题各14分,12题18分)
10.关于复数z的方程z2-(a+i)z-(i+2)=0(a∈R),证明对任意的实数a,原方程不可能有纯虚根.
11.若n是大于1的自然数,求证:+++…+<2.
12.(能力挑战题)设a1,a2,…,a n是正数,求证:++…+<.
答案解析
1.【解析】选A.“至少有一个”的否定是“一个也没有”.
2.【解析】选C.a+b+c=x+y+z+++≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立.
所以a,b,c三者中至少有一个不小于2.
3.【解析】选B.N=+>+==M.
4.【解析】选D.a,b,c不全为零的意思是a,b,c中至少有一个不为0.
5.【解析】选C.必要性显然成立.充分性:若P·Q·R>0,则P,Q,R同时大于零或其中有两个负的,不妨设P<0,Q<0,R>0.因为P<0,Q<0.
即a+b<c,b+c<a.所以a+b+b+c<c+a.
所以b<0,与b>0矛盾,故充分性成立.
6.【解析】选D.令a=cosθ,b=sinθ,则
a-b=(cosθ-sinθ)=2cos,
因为-1≤cos≤1,
所以a-b∈.
7.【解析】用反证法证明时要对结论进行否定,即x=a或x=b.
答案:x=a或x=b
8.【解析】反证法对结论的否定是全面的否定,∠BAP<∠CAP的对立面就是∠BAP=∠CAP,∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
9.【解析】log23-log34=-=
>=
>=0,
所以log23-log34>0,所以log23>log34.
答案:log23>log34
10.【证明】假设原方程有纯虚根,令z=ni,n≠0,则有(ni)2-(a+i)ni-(i+2)=0,
整理可得-n2+n-2+(-an-1)i=0,
所以
则对于①,判别式Δ<0,方程①无解,故方程组无解,故假设不成立,
所以原方程不可能有纯虚根.
11.【证明】因为<=-,
k=2,3,…,n,
所以+++…+<+++…+=+++…+=2-<2,
所以+++…+<2.
【拓展提升】放缩法证明不等式的策略
(1)放缩法是一种比较常用的证明不等式的方法,它通常采用加项或减项的“添舍”放缩,拆项分组对比的“分项”放缩,函数的单调性放缩,以及应用基本不等式或重要不等式放缩等.
(2)在分式中可通过放大或缩小分母来放缩分式,
如<,>(k>1且k∈N+)等.
12.【证明】左边<++…+
=++…+
=-<=右边,
故++…+<.。