【人教A版】2012高三数学理《金版新学案》一轮复习选修4-4第2课时测试

1.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为____________． 答案： y ＝x －2(0≤y ≤1)
2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t ＋1t y ＝2(t 为参数)表示的曲线是________． 解析： 由x ＝t ＋1t
知x ≥2或x ≤－2， ∴曲线方程为y ＝2(x ≥2或x ≤－2)，表示两条射线．
答案： 两条射线
3．(2009·广东卷)若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________.
解析： 直线l 1：kx ＋2y ＝k ＋4，直线l 2：2x ＋y ＝1.
∵l 1与l 2垂直，∴2k ＋2＝0，∴k ＝－1.
答案： －1
4．若直线2x ＋ky －1＝0(k ∈R )与曲线⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)相切，则k 值为________． 解析： 把曲线的参数方程转化为普通方程为
x 2＋(y ＋1)2＝1. 由题意得|2×0＋(－1)·k －1|22＋k 2
＝1，解得k ＝32. 答案： 32
5．已知曲线⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数，p 为常数，p >0)上的两点M 、N 对应的参数分别为t 1和t 2，且t 1＋t 2＝0，则|MN |＝______.
解析： 曲线表示抛物线y 2＝2px ，线段MN 垂直于抛物线的对称轴，所以|MN |＝2p |t 1－t 2|＝4p |t 1|.
答案： 4p |t 1|
6．直线⎩⎨⎧
x ＝2＋t y ＝3t 被双曲线x 2－y 2＝1截得的弦长为________． 解析： 直线参数方程化为⎩⎨⎧
x ＝2＋t 2
y ＝0＋32t ， 代入双曲线x 2－y 2＝1得t 2－4t －6＝0. 设两交点对应的参数为t 1，t 2，则
弦长d ＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2
＝210.
答案： 210
7．求直线l 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t y ＝－5＋3t 和直线x －y －23＝0的交点P 的坐标，及点P 与Q (1，
－5)的距离．
解析： 将⎩⎨⎧ x ＝1＋t y ＝－5＋3t 化为⎩⎨⎧ x ＝1＋12t y ＝－5＋32t ，
代入x －y －23＝0得t ＝43，
∴P (1＋23，1)．
由参数t 的几何意义得|PQ |＝|t |＝4 3.
8．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎨⎧ x ＝t ＋1t y ＝t －1t
(t 为参数)相交于A 、B 两点，
求线段AB 的长． 解析： 曲线⎩⎨⎧ x ＝t ＋1t y ＝t －1t 的普通方程为x 2－y 2＝4.
过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线方程为y ＝
33x ＋3， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝33x ＋3，x 2－y 2＝4
消去y 得，23x 2－2x －7＝0， ∴x 1x 2＝－212
，x 1＋x 2＝3， ∴AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|
＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝217.
9．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，C 2：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3
时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
解析： (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎨⎧ y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，
解得C 1与C 2的交点为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12
，－32. (2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.
A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，
故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α，(α为参数)．
P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎫x －142＋y 2＝116
. 故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎫14，0，半径为14
的圆． 10．已知椭圆C 的极坐标方程为ρ2＝123cos 2θ＋4sin 2θ
，点F 1、F 2为其左、右焦点，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋22t ，
y ＝22t (t 为参数，t ∈R )．
(1)求直线l 和曲线C 的普通方程；
(2)求点F 1、F 2到直线l 的距离之和．
解析： (1)直线l 的普通方程为y ＝x －2；
曲线C 的普通方程为x 24＋y 2
3
＝1. (2)∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，
∴点F 1到直线l 的距离d 1＝|－1－0－2|2
＝322， 点F 2到直线l 的距离d 2＝|1－0－2|2
＝22， ∴d 1＋d 2＝2 2.
11．已知圆M ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝sin θ(θ为参数)的圆心F 是抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2pt 2y ＝2pt 的焦点，过焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，求AF ·FB 的取值范围.【解析方法代码108001169】
解析： 曲线M ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋cos θy ＝sin θ
的普通方程是(x －1)2＋y 2＝1， 所以F (1,0)．
抛物线E ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2pt 2y ＝2pt
的普通方程是y 2＝2px ， 所以p 2
＝1，p ＝2，抛物线的方程为y 2＝4x . 设过焦点F 的直线的参数方程为
⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos θy ＝t sin θ(t 为参数)， 代入y 2＝4x ，得t 2sin 2θ－4t cos θ－4＝0.
所以AF ·FB ＝|t 1t 2|＝4sin 2θ
. 因为0<sin 2θ≤1，所以AF ·FB 的取值范围是[4，＋∞)．
12．已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6
. (1)写出直线l 的参数方程；
(2)设l 与圆⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ是参数)相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积． 解析： (1)直线的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝1＋32t
y ＝1＋12t (t 是参数)．
(2)∵点A ，B 都在直线l 上，∴可设点A ，B 对应的参数分别为t 1和t 2，则点A ，B 的坐
标分别为A ⎝⎛⎭⎫1＋32t 1，1＋12t 1，B ⎝
⎛⎭⎫1＋32t 2，1＋12t 2， 将直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，
整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0.①
∵t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2，
∴|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.
13．已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝3t
(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝1.
(1)求曲线C 的普通方程；
(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析方法代码108001170】
解析： (1)由曲线C ：ρ2cos 2θ＝ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝1，
得ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝1，化成普通方程为x 2－y 2＝1.①
(2)方法一：把直线参数方程化为标准参数方程为
⎩⎨⎧
x ＝2＋12t ，y ＝32t (t 为参数)② 把②代入①得：⎝⎛⎭⎫2＋12t 2－⎝⎛⎭
⎫32t 2＝1， 整理，得t 2－4t －6＝0.
设其两根为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝4，t 1·t 2＝－6.
从而弦长为|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝42－4×(－6)
＝40＝210.
方法二：把直线l 的参数方程化为普通方程为y ＝3(x －2)，
代入x 2－y 2＝1，得2x 2－12x ＋13＝0.
设直线l 与曲线C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6，x 1·x 2＝132
， ∴|AB |＝1＋3·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2
＝262－26＝210.
14．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4－2t ，y ＝t (t 为参数)，椭圆C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈R )．试在椭圆C 上求一点P ，使得P 到直线l 的距离最小．
解析： 方法一：直线l 的普通方程为x ＋2y －4＝0，
设P (2cos θ，sin θ)，点P 到直线l 的距离为 d ＝|2cos θ＋2sin θ－4|5＝15
⎣⎡⎦⎤4－22sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， 所以当sin ⎝⎛⎭
⎫θ＋π4＝1时，d 有最小值． 此时sin θ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos π4
－cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin π4＝22， cos θ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4＝cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4cos π4
＋sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4sin π4＝22，
所以点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫2，22. 从而椭圆C 上到直线l 的距离最小的点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫2，22. 方法二：设与直线l 平行的直线l ′的方程为x ＋2y ＝m .
当l ′与椭圆C 只有一个公共点且l ′与l 距离最小时，l ′与椭圆C 的公共点即为所求的点P .
椭圆的普通方程为x 24
＋y 2＝1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧
x 24＋y 2＝1，x ＋2y ＝m 消去x ，得8y 2－4my ＋m 2－4＝0. 因为l ′与椭圆C 只有一个公共点，
所以Δ＝16m 2－32(m 2－4)＝0，
解得m ＝22或m ＝－2 2.
l ′与l 的距离为d ＝|m －4|5
， 所以当m ＝22时，d 最小，此时点P 的坐标为⎝⎛⎭
⎫2，22.
高≧考试≌题⌒库。