2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二下学期期末数学试题(文科)(解析版)

2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）期末数
学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）
A．2 B．﹣1 C．5 D．
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0
B．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0
C．“”是“”的必要而不充分条件
D．命题“cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题
3．（5分）下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；
③线性回归方程必经过点；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（5分）抛物线的准线方程是（）
A．B．C．y=2 D．y=﹣2
5．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）
A．B．C．D．
6．（5分）下列函数f（x）中，满足“∀x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）
[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）
A．f（x）=﹣x B．f（x）=x3C．f（x）=lnx+e x D．f（x）=﹣x2+2x 7．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）
A．2e B．e C．2 D．1
8．（5分）不等式＞0的解集是（）
A．（，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）
9．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设正确的是（）
A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0
C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为0
10．（5分）下列说法正确的是（）
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数（a∈R）
C．如果复数x+yi（x，y∈R）是实数，则x=0，y=0
D．复数a+bi（a，b∈R）不是实数
11．（5分）已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是﹣2+i，3+2i，则向量所表示的复数的模为（）
A．B． C． D．
12．（5分）运行如图所示的程序框图．若输入x=5，则输出y的值为（）
A．49 B．25 C．33 D．7
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为．
14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为．
15．（5分）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x最大是．
16．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l 与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．（10分）（1）已知（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x，y∈R，求x与y．（2）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x，y的值．
18．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（9），f（27）的值
（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．
19．（12分）（Ⅰ）求下列各函数的导数：
（1）；
（2）；
（Ⅱ）过原点O作函数f（x）=lnx的切线，求该切线方程．
20．（12分）设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，
上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．
（Ⅰ）求证：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
22．（12分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．
2016-2017学年陕西省延安市黄陵中学重点班高二（下）
期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）若复数z的共轭复数，则复数z的模长为（）
A．2 B．﹣1 C．5 D．
【分析】由共轭复数的定义，可得复数z，再由复数的模的公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：复数z的共轭复数，
可得z=2﹣i，
则|z|==．
故选：D．
【点评】本题考查复数的共轭复数的定义和模的公式的运用，考查运算能力，属于基础题．
2．（5分）下列命题正确的是（）
A．命题“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1＜0
B．命题“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0
C．“”是“”的必要而不充分条件
D．命题“cosx=cosy，则x=y”的逆否命题是真命题
【分析】根据四种命题之间的关系，对每一个命题判断真假性即可．
【解答】解：对于A，“∃x∈R，使得x2﹣1＜0”的否定是：∀x∈R，均有x2﹣1≥0，命题A错误；
对于B，“若x=3，则x2﹣2x﹣3=0”的否命题是：若x≠3，则x2﹣2x﹣3≠0，命题B正确；
对于C，时，，充分性成立；
时，α=kπ+或α=kπ+，k∈Z，必要性不成立；
是充分不必要条件，命题B错误；
对于D，命题“cosx=cosy，则x=y”是假命题，
则它的逆否命题也是假命题，∴命题D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了四种命题之间的关系以及命题真假的判断问题，是基础题．
3．（5分）下列说法：
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值与方差都不变；
②设有一个回归方程，变量x增加一个单位时，y平均增加3个单位；
③线性回归方程必经过点；
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说现有100人吸烟，那么其中有99人患肺病．其中错误的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据线性回归方程与对立性检验的知识，对选项中的命题判断正误即可．【解答】解：对于①，将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，均值改变，方差不变，∴①错误；
对于②，回归方程中，变量x增加1个单位时，y平均减少3个单位，∴②错误；
对于③，线性回归方程必经过样本中心点，∴③正确；
对于④，从独立性检验知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，
是指有1%的可能性使推断出现错误，∴④错误．
综上，错误的命题个数是3．
故选：D．
【点评】本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题．
4．（5分）抛物线的准线方程是（）
A．B．C．y=2 D．y=﹣2
【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．
【解答】解：整理抛物线方程得x2=﹣8y，∴p=4，
∵抛物线方程开口向下，
∴准线方程是y=2，
故选C．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程及简单性质．属基础题．
5．（5分）甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】对立事件的概率之和为1，相互独立事件的概率用乘法法则．
【解答】解：∵甲、乙两人各射击一次，目标没被命中的概率为（1﹣）×（1﹣）=，
∴甲、乙两人各射击一次，目标被命中的概率为1﹣=．
故选A．
【点评】本题考查了概率的基本性质及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题．
6．（5分）下列函数f（x）中，满足“∀x1x2∈（0，+∞）且x1≠x2有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0”的是（）
A．f（x）=﹣x B．f（x）=x3C．f（x）=lnx+e x D．f（x）=﹣x2+2x 【分析】由已知可得满足条件的函数在（0，+∞）上为减函数，分析四个答案中函数的单调性，可得结论．
【解答】解：若“∀x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]
＜0”，
则函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，
A中，f（x）=﹣x在（0，+∞）上为减函数，
B中，f（x）=x3在（0，+∞）上为增函数，
C中，f（x）=lnx+e x在（0，+∞）上为增函数，
D是，f（x）=﹣x2+2x在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答的关键．
7．（5分）曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率等于（）
A．2e B．e C．2 D．1
【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率即可．
【解答】解：曲线y=x•e x，可得y′=e x+xe x，
曲线y=x•e x在x=1处切线的斜率：e+e=2e．
故选：A．
【点评】本题考查导数的应用，切线的斜率的求法，考查计算能力．
8．（5分）不等式＞0的解集是（）
A．（，+∞）B．（4，+∞）C．（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）
【分析】首先转化为整式不等式，（2x﹣1）（x+3）＞0，然后求解集．
【解答】解：原不等式等价于（2x﹣1）（x+3）＞0，
所以不等式的解集为（﹣∞，﹣3）∪（，+∞）；
故选D．
【点评】本题考查了分式不等式的解法，关键是正确转化为整式不等式解之．
9．（5分）用反证法证明命题“若a2+b2=0（a，b∈R），则a，b全为0”，其反设
正确的是（）
A．a，b至少有一个为0 B．a，b至少有一个不为0
C．a，b全部为0 D．a，b中只有一个为0
【分析】把要证的结论否定之后，即得所求的反设．
【解答】解：由于“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，故选B．
【点评】本题考查用反证法证明数学命题，得到“a、b全为0（a、b∈R）”的否定为：“a、b至少有一个不为0”，是解题的关键．
10．（5分）下列说法正确的是（）
A．如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等
B．ai是纯虚数（a∈R）
C．如果复数x+yi（x，y∈R）是实数，则x=0，y=0
D．复数a+bi（a，b∈R）不是实数
【分析】利用复数相等的条件判断A的正误；纯虚数的定义判断B的正误；复数的基本概念判断C、D的正误；
【解答】解：如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等；满足复数相等的条件，所以A正确；
ai是纯虚数（a∈R）；a=0时复数是实数，所以B不正确；
复数x+yi（x，y∈R）是实数，如果则x=0，y=0；只需y=0，复数x+yi（x，y∈R）是实数，所以C不正确；
复数a+bi（a，b∈R）不是实数，当b=0时，复数是实数，所以D不正确．
故选：A．
【点评】本题考查复数的基本概念的应用，基本知识的考查．
11．（5分）已知复平面内的平面向量，表示的复数分别是﹣2+i，3+2i，则向量所表示的复数的模为（）
A．B． C． D．
【分析】向量=+，可得所表示的复数=﹣2+i+3+2i，利用公式即可得出
模．
【解答】解：向量=+，
∴所表示的复数=﹣2+i+3+2i=1+3i，
||==．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．（5分）运行如图所示的程序框图．若输入x=5，则输出y的值为（）
A．49 B．25 C．33 D．7
【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y的值，第三次执行循环体得到y=33，执行是，则输出y=33．
【解答】解：若输入x=5，第一次执行循环体得到y=9，执行否，则x=9；
第二次执行循环体得到y=17，执行否，则x=17；
第三次执行循环体得到y=33，执行是，则输出y=33．
故选：C．
【点评】本题主要考查了算法和程序框图，属于基本知识的考查．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）设x、y满足约束条件，则z=x+4y的最大值为5．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得C（1，1）．
化目标函数z=x+4y为直线方程的斜截式，得．
由图可知，当直线过C点时，直线在y轴上的截距最大，z最大．
此时z max=1+4×1=5．
故答案为：5．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14．（5分）曲线y=xe x+2x+1在点（0，1）处的切线方程为y=3x+1．
【分析】根据导数的几何意义求出函数y在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可；
【解答】解：y′=e x+x•e x+2，y′|x=0=3，
∴切线方程为y﹣1=3（x﹣0），∴y=3x+1．
故答案为：y=3x+1
【点评】本题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题．
15．（5分）某工程由A，B，C，D四道工序组成，完成它们需用时间依次为2，5，x，4天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A，B可以同时开工；A完成后，
C可以开工；B，C完成后，D可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x最大是3．
【分析】这是一个简单的合情推理问题，我们可以根据四道工序的先后顺序及相互关系，计算出完成整个工序需要的最少工作时间，再结合该工程总时数为9天构造方程，易得到完成工序C需要的天数x的最大值．
【解答】解：因为A完成后，C才可以开工，
C完成后，D才可以开工，
完成A、C、D需用时间依次为2，x，4天，
且A，B可以同时开工，
该工程总时数为9天，
∴2+x max+4=9⇒x max=3．
故答案为：3
【点评】这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．
16．（5分）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l
与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），则E的方程式为
﹣=1．
【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（3，0）是E的焦点，过F 的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N（﹣12，﹣15），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．
【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为
∵F（3，0）是E的焦点，∴c=3，∴a2+b2=9．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：
①；②
由①﹣②得：=
∵AB的中点为N（﹣12，﹣15），
∴
又AB的斜率是
∴，即4b2=5a2
将4b2=5a2代入a2+b2=9，可得a2=4，b2=5
∴双曲线标准方程是
故答案为：
【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，应出写文字说明或演算步骤）17．（10分）（1）已知（2x﹣1）+i=y﹣（3﹣y）i，其中x，y∈R，求x与y．（2）已知x2﹣y2+2xyi=2i，求实数x，y的值．
【分析】直接利用复数相等的条件列方程组求解（1）（2）中的x，y值．
【解答】解：（1）根据复数相等的充要条件得，解得x=，y=4．（2）∵x2﹣y2+2xyi=2i，
∴，解得或．
【点评】本题考查复数相等的条件，是基础的计算题．
18．（12分）已知函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1
（1）求f（9），f（27）的值
（2）解不等式f（x）+f（x﹣8）＜2．
【分析】（1）从分利用条件f（xy）=f（x）+f（y），f（3）=1，
（2）利用条件：函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，列出不等式组，解出此不等式组．
【解答】解：（1）f（9）=f（3）+f（3）=2，
f（27）=f（9）+f（3）=3
（2）∵f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]＜f（9）
而函数f（x）是定义在（0，+∞）上为增函数，
∴
即原不等式的解集为（8，9）
【点评】本题考查抽象函数的定义域、单调性及函数值．
19．（12分）（Ⅰ）求下列各函数的导数：
（1）；
（2）；
（Ⅱ）过原点O作函数f（x）=lnx的切线，求该切线方程．
【分析】（Ⅰ）分别运用幂函数和函数的除法的求导法则，计算即可得到所求导数；
（Ⅱ）设切点为T（x0，lnx0），求出函数的导数，可得切线的斜率，求出切点，即可得到所求切线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）（1），∴y′=x=；
（2）；
（Ⅱ）设切点为T（x0，lnx0），
∵，，解x0=e，
所以切点为T（e，1），切线的斜率为，
故切线方程为．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．
20．（12分）设点O为坐标原点，椭圆的右顶点为A，上顶点为B，过点O且斜率为的直线与直线AB相交M，且．
（Ⅰ）求证：a=2b；
（Ⅱ）PQ是圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=5的一条直径，若椭圆E经过P，Q两点，求椭圆E的方程．
【分析】（Ⅰ）运用向量的坐标运算，可得M的坐标，进而得到直线OM的斜率，进而得证；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，椭圆方程设为x2+4y2=4b2（1），设PQ的方程，代入方程（1），运用韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式，解方程即可得到a，b 的值，进而得到椭圆方程．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵A（a，0），B（0，b），，
即为（a﹣x M，0﹣y M）=（x M﹣0，y M﹣b），
即有a﹣x M=x M，﹣y M=（y M﹣b），
所以，
∴，解得a=2b；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a=2b，∴椭圆E的方程为，即x2+4y2=4b2（1）
依题意，圆心C（2，1）是线段PQ的中点，且．
由对称性可知，PQ与x轴不垂直，设其直线方程为y=k（x﹣2）+1，
代入（1）得：
（1+4k2）x2﹣8k（2k﹣1）x+4（2k﹣1）2﹣4b2=0
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则，，
由得，解得．
从而x1x2=8﹣2b2．
于是
解得b2=4，a2=16，∴椭圆E的方程为．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查向量共线的坐标表示，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题．
21．（12分）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），l与C交与A，B两点，|AB|=，求l的斜率．
【分析】（Ⅰ）把圆C的标准方程化为一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圆C的极坐标方程．
（Ⅱ）由直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线距离，由此能求出直线l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的方程为（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的极坐标方程为ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程是（t为参数），
∴t=，代入y=tsinα，得：直线l的一般方程y=tanα•x，
∵l与C交与A，B两点，|AB|=，圆C的圆心C（﹣6，0），半径r=5，
圆心到直线的距离d=．
∴圆心C（﹣6，0）到直线距离d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l的斜率k=±．
【点评】本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线公式、圆的性质的合理运用．
22．（12分）已知关于x的方程x2+（k+2i）x+2+ki=0有实根，求这个实根以及实数k的值．
【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
【解答】解：设x=x0是方程的实根，代入方程并整理得（+kx0+2）+（2x0+k）i=0．
由复数相等的条件得+kx0+2=2x0+k=0，
解得，或．
∴方程的实根为x=或x=﹣，
相应的k的值为k=﹣2或k=2．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．。