九年级数学上册一元二次方程章末练习卷(Word版 含解析)

九年级数学上册一元二次方程章末练习卷（Word版含解析）
一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）
1．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动，到达点C停止运动．设运动时间为t秒
（1）如图1，过点P作PD⊥AC，交AB于D，若△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积
的7
9
，求t的值；
（2）点Q在射线PC上，且PQ＝2AP，以线段PQ为边向上作正方形PQNM．在运动过程中，若设正方形PQNM与△ABC重叠部分的面积为8，求t的值．
【答案】（1）t1＝2，t2＝4；（2）t 4
7
7
58．
【解析】
【分析】
（1）先求出△ABC的面积，然后根据题意可得AP＝t，CP＝6﹣t，然后再△PBC与△PAD
的面积和是△ABC的面积的7
9
，列出方程、解方程即可解答；
（2）根据不同时间段分三种情况进行解答即可.【详解】
（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，∴S△ABC＝1
2
×6×6＝18，
∵AP＝t，CP＝6﹣t，
∴△PBC与△PAD的面积和＝1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t），
∵△PBC与△PAD的面积和是△ABC的面积的7
9
，
∴1
2t2+
1
2
×6×（6﹣t）＝18×
7
9
，
解之，得t1＝2，t2＝4；（2）∵AP＝t，PQ＝2AP，∴PQ＝2t，
①如图1，当0≤t≤2时，S＝（2t）2﹣1
2
t2＝
7
2
t2＝8，
解得：t1＝4
7
7
，t2＝﹣
4
7
7
（不合题意，舍去），
②如图2，当2≤t≤3时，S＝1
2
×6×6﹣
1
2
t2﹣
1
2
（6﹣2t）2＝12t﹣
2
5
t2＝8，
解得：t1＝4（不合题意，舍去），t2＝4
5
（不合题意，舍去），
③如图3，当3≤t≤6时，S＝1
2
6×6﹣
1
2
t2＝8，
解得：t1＝25，t2＝﹣25（不合题意，舍去），
综上，t的值为4
7
7或25时，重叠面积为8．
【点睛】
本题考查了三角形和矩形上的动点问题，根据题意列出方程和分情况讨论是解答本题的关键.
2．如图，在长方形ABCD中，边AB、BC的长（AB＜BC）是方程x2-7x+12=0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t （秒）．
（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为10时运动时间t的值；
（3）当点P运动到边AC上时，是否存在点P，使△CDP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或53
5
秒时，△CDP是等腰
三角形.
【解析】
试题分析：（1）解一元二次方程即可求得边长； （2）结合图形，利用勾股定理求解即可；
（3）根据题意，分为：PC ＝PD ，PD ＝PC ，PD ＝CD ，三种情况分别可求解. 试题解析：(1)∵x 2
－7x ＋12＝(x －3)(x －4)＝0 ∴1x ＝3或2x ＝4 . 则AB ＝3，BC ＝4
(2)由题意得(
)2
23t-3?+= ∴14t =，22t =(舍去) 则t ＝4时，AP
.
(3)存在点P ，使△CDP 是等腰三角形. ①当PC ＝PD ＝3时， t ＝
343
1
++ ＝10(秒). ②当PD ＝PC(即P 为对角线AC 中点)时，AB ＝3，BC ＝4.
＝5，CP 1＝ 1
2
AC ＝2.5 ∴t＝
34 2.5
1
++ ＝9.5(秒) ③当PD ＝CD ＝3时，作DQ⊥AC 于Q. 1
341221552
DQ ⨯⨯==⨯
，95PQ == ∴PC＝2PQ ＝18
5
∴18
3453515
t ++
=
=(秒) 可知当t 为10秒或9.5秒或53
5
秒时，△CDP 是等腰三角形.
3．如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y kx b =+的图象1l 分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点A 坐标为()9,0，正比例函数1
2
y x =
的图象2l 与1l 交于点(),3C m ，点(),0N n 在x 轴上一个动点，过点N 作x 轴的垂线与直线1l 和2l 分别交于P 、Q 两点．
（1）求m 的值及直线1l 所对应的一次函数表达式； （2）当03PQ <时，求n 的取值范围； （3）求出当n 为何值时，PQC ∆面积为12？
【答案】（1）6m =；9y x =-+；（2）46n <或68n <；（3）2n =或10． 【解析】 【分析】
（1）直接将点C 代入正比例函数，可求得m 的值，然后将点C 和点A 代入一次函数，可求得一次函数解析式；
（2）用含n 的式子表示出PQ 的长，然后解不等式即可；
（3）用含有n 的式子表示出△PQC 的底边长和高的长，然后求解算式即可得． 【详解】
（1）将点C(m ，3)代入正比例函数1
2
y x =
得： 3=
1
m 2
，解得：m=6 则点C(6，3) ∵A(9，0)
将点A ，C 代入一次函数y kx b =+得：
0936k b
k b =+⎧⎨
=+⎩
解得：k=－1，b=9
∴一次函数解析式为：y=－x+9 （2）∵N(n ，0) ∴P(n ，9－n)，Q(n ，1
2
n ) ∴PQ=192
n n --
∵要使03PQ < ∴0＜1
932
n n --
≤ 解得：46n <或68n <
（3）在△PQC 中，以PQ 的长为底，则点C 到PQ 的距离为高，设为h 第（2）已知：PQ=139922
n n n --=- 由图形可知，h=6n - ∵△PQC 的面积为12 ∴12=
1
3692
2
n
n -- 情况一：当n ＜6是，则原式化简为：12=()
136922n n ⎛⎫--
⎪⎝⎭ 解得：n=2或n=10(舍)
情况二：当n ≥6时，则原式化简为：12=()
13692
2n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
解得：n=2(舍)或n=10 综上得：n=2或n=10． 【点睛】
本题考查一次函数的综合，用到了解一元二次方程，求三角形面积等知识点，解题关键是用含n 的算式表示出PQ 的长度，注意需要添加绝对值符号．
4．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011 年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20% （2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆 【解析】 【分析】
（1）设年平均增长率x ，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．
（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．
【详解】
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为
（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．
根据题意得（108×90%+y）×90%+y≤125.48，
解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
5．阅读下列材料
计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，
则：
原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝
在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：
（1）计算：（1﹣﹣）×（+）﹣（1﹣﹣）×
（+）
（2）因式分解：（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4
（3）解方程：（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3
【答案】（1）；（2）（a2﹣5a+5）2；（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2
【解析】
【分析】
（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．
（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．
（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．
【详解】
（1）令+
＝t ，则： 原式＝（1﹣t ）（t +
）﹣（1﹣t ﹣
）t ＝t +﹣t 2﹣
﹣t +t 2+
＝
（2）令a 2﹣5a ＝t ，则：
原式＝（t +3）（t +7）+4＝t 2+7t +3t +21+4＝t 2+10t +25＝（t +5）2＝（a 2﹣5a +5）2 （3）令x 2+4x ＝t ，则原方程转化为： （t +1）（t +3）＝3 t 2+4t +3＝3 t （t +4）＝0 ∴t 1＝0，t 2＝﹣4 当x 2+4x ＝0时， x （x +4）＝0 解得：x 1＝0，x 2＝﹣4 当x 2+4x ＝﹣4时， x 2+4x +4＝0 （x +2）2＝0 解得：x 3＝x 4＝﹣2 【点睛】
本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．
6．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB 的长度； （2）计算S △AOB ；
（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．
【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是
43π、83π、103π． 【解析】
试题分析：（1）OA 和AB 的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB 的长度；
（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可求出面积；
（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．
试题解析：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根，
∴OA+AB=﹣
4
1
-
=4，
∵OA=2，
∴AB=2；
（2）过点C作OC⊥AB于点C，
∵OA=AB=OB=2，∴△A OB是等边三角形，∴AC=1
2
AB=1，
在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=3，∴S△AOB=1
2
AB﹒OC=
1
2
×2×3=3；
（3）延长AO交⊙O于点D，由于△AOB与△POA有公共边OA，
当S△POA=S△AOB时，∴△AOB与△POA高相等，
由（2）可知：等边△AOB的高为3，∴点P到直线OA的距离为3，这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1，∴∠BOP1=60°，
∴此时点P经过的弧长为：1202
180
π⨯
=
4
3
π
，
②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称，∴∠P2OD=60°，
∴此时点P经过的弧长为：2402
180
π⨯
=
8
3
π
，
③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，∴∠P3OP2=60°，
∴此时P经过的弧长为：3002
180
π⨯
=
10
3
π
，
综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是4
3
π
、
8
3
π
、
10
3
π
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．
7．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以
3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？
(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）PQ=62cm；（2）8
5
s或
24
5
s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为
12cm2．
【解析】
试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．
则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，
∴2cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是2；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴x1=8
5
，x2=
24
5
；
∴经过85s 或
24
5
sP 、Q 两点之间的距离是10cm ； （3）连接BQ ．设经过ys 后△PBQ 的面积为12cm 2． ①当0≤y≤16
3
时，则PB=16-3y ， ∴
12PB•BC=12，即1
2×（16-3y ）×6=12， 解得y=4；
②当
163
＜x≤223时，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y ，则
12BP•CQ=1
2
（3y-16）×2y=12， 解得y 1=6，y 2=-2
3
（舍去）； ③
22
3
＜x≤8时， QP=CQ-PQ=22-y ，则
12QP•CB=1
2
（22-y ）×6=12， 解得y=18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ 的面积为 12cm 2． 考点：一元二次方程的应用．
8．在等腰三角形△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中ɑ＝4，若b 、c 是关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +4（k ﹣
1
2
）＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 【答案】△ABC 的周长为10． 【解析】 【分析】
分a 为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k 值，将k 值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC 的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k 值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c 的值，由b+c=a 可得出此种情况不存在．综上即可得出结论． 【详解】
当a ＝4为腰长时，将x ＝4代入原方程，得：()2
14421402k k ⎛⎫
-++-
= ⎪⎝⎭
解得：5
2
k =
当52
k =
时，原方程为x 2﹣6x +8＝0， 解得：x 1＝2，x 2＝4，
∴此时△ABC 的周长为4+4+2＝10； 当a ＝4为底长时，△＝[﹣（2k +1）]2﹣4×1×4（k ﹣
12）＝（2k ﹣3）2＝0， 解得：k ＝32
， ∴b +c ＝2k +1＝4．
∵b +c ＝4＝a ，
∴此时，边长为a ，b ，c 的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC 的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a 为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD 中，6AB = ，10BC = ，将矩形沿直线EF 折叠．使得点A 恰好落在BC 边上的点G 处，且点E 、F 分别在边AB 、AD 上（含端点），连接CF .
（1）当32BG = 时，求AE 的长；
（2）当AF 取得最小值时，求折痕EF 的长；
（3）连接CF ，当△FCG 是以CG 为底的等腰三角形时，直接写出BG 的长.
【答案】（1）92AE =
；（2）62EF =3）185
BG =. 【解析】
【分析】 （1）根据折叠得出AE=EG ，据此设AE=EG=x ，则有BE=6-x ，由勾股定理求解可得；
（2）由FG ⊥BC 时FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，显然四边形AEGF 是正方形，从而根据勾股定理可得答案；
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：①FG=FC ；②FG=GC ；分别求解可得．
【详解】
（1）由折叠易知，AE EG =，设AE EG x ==，则有6BE x =-，
由勾股定理，得()(222632x x =-+，解得92x =，即92
AE =
（2）由折叠易知，AF FG =，而当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，FG 的值最小，即此时AF 能取得最小值，
当FG BC ⊥时，点E 与点B 重合，
此时四边形AEGF 是正方形，
∴折痕226662EF =+=.
（3）由△CFG 是以FG 为一腰的等腰三角形，可知应分两种情况讨论：
①当FG=FC 时，如图2，过F 作FH ⊥CG 于H ，
则有：AF=FG=FC ，CH=DF=GH
设AF=FG=FC=x ，则DF=10-x=CH=GH
在Rt △CFH 中
∵CF 2=CH 2+FH 2
∴x 2=62+（10-x ）2
解得：x=345
， ∴DF=CH=GH=10-
165， 即BG=10-165×2=185
， ②当FG=GC 时，则有：AF=FG=GC=x ，CH=DF=10-x ；
∴GH=x-（10-x ）=2x-10，
在Rt △FGH 中，由勾股定理易得：x 2=62+（2x-10）2，
化简得：3x 2-40x+136=0，
∵△=（-40）2-4×3×136=-32＜0，
∴此方程没有实数根．
综上可知：BG=
185
． 【点睛】
本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握矩形和翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程根与系数的关系等知识点，也考查了分类讨论的数学思想．
10．已知关于x 的方程230x x a ++=①的两个实数根的倒数和等于3，且关于x 的方程
2
(1)320k x x a -+-=②有实数根，又k 为正整数，求代数式2216
k k k -+-的值． 【答案】0.
【解析】
【分析】 由于关于x 的方程x 2+3x +a =0的两个实数根的倒数和等于3，利用根与系数的关系可以得到关于a 的方程求出a ，又由于关于x 的方程（k -1）x 2+3x -2a =0有实数根，分两种情况讨论，该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，又k 为正整数，利用判别式可以求出k ，最后代入所求代数式计算即可求解．
【详解】
解：设方程①的两个实数根分别为x 1、x 2
则12123940x x x x a a +-⎧⎪⎨⎪-≥⎩
＝＝＝ ， 由条件，知121212
11x x x x x x ++==3， 即
33a -=，且94
a ≤， 故a ＝－1， 则方程②为(k -1)x 2+3x +2=0，
Ⅰ.当k -1=0时，k =1,x =23-，则22106
k k k -=+-. Ⅱ.当k -1≠0时，∆=9-8（k -1）=17-6-8k ≥0，则178
k ≤， 又k 是正整数，且k ≠1，则k =2，但使2216
k k k -+-无意义. 综上，代数式2216
k k k -+-的值为0 【点睛】
本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解方程时一定要注意所求k 的值与方程判别式的关系．要注意该方程可能是一次方程、有可能是一元二次方程，。