定积分的概念习题

定积分的概念习题(总4页)
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[学业水平训练]
1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( )
A ．y ＝x 2
B ．y ＝|x |
C ．y ＝x
D ．y ＝1
x
解析：选D ．由于函数y ＝1
x
的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故其图象不是连续不
断的曲线．
2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值( ) A ．可以是左端点的函数值f (x i ) B ．可以是右端点的函数值f (x i ＋1)
C ．可以是该区间内的任一函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])
D ．以上答案均正确
解析：选D ．由于当n 很大，即Δx 很小时，在区间[x i ，x i ＋1]上，可以认为函数f (x )的值变化很小，近似地等于一个常数，所以可以是该区间内的任一函数值(含端点函数值)．
3．直线y ＝2x ＋1与直线x ＝0，x ＝m ，y ＝0围成图形的面积为6，则正数m ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B.由题意，直线围成梯形的面积为S ＝1
2
(1＋2m ＋1)m ＝6，解得m ＝2，m ＝－
3(舍去)．
4．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3
所围成的曲边三角形，把区间3等分，则曲边三角形面积的近似值(取每个区间的左端点)是( )
C ．127
D ．130
解析：选A.将区间[0,1]三等分为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13，⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23，⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，1，各小矩形的面积和为s 1＝03
·13＋(13)3·13＋(23)3·13＝19
.
5．在求由曲线y ＝1
x
与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等
分，并且用每个区间的右端点的函数值近似代替，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )
C ．2n n ＋2i
D ．1
n ＋2i
解析：选A.每个小区间长度为2n
，第i 个小区间为⎣
⎢⎡⎦
⎥
⎤n ＋2i －1n
，n ＋2i n ，因此第i
个小曲边梯形的面积ΔS i ≈
1n ＋2i n
·2n ＝2
n ＋2i
. 6．如果汽车做匀变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2
＋2(单位：km/h)，则该汽车在1≤t ≤2这段时间内行驶的路程可用一个平面图形的面积来表示，则围成该图形的直线和曲线分别是________．
解析：围成该图形的直线和曲线分别是t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2
＋2.
答案：t ＝1，t ＝2，v ＝0，v ＝t 2
＋2
7．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________．
解析：在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤165，4. 答案：45 ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤165，4
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v (t )＝2t (t 的单位：h ，v 的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则这段时间运动的路程的近似值(每个ξi 均取值为小区间的右端点)为________km.
解析：以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得所求近似值为s ＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
答案：66
9．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积，并用梯形的面积公式加以验证．
解：f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n
，在[x i －1，x i ]＝⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤1＋i －1n
，1＋i n 上取ξi ＝x i －1
＝1＋i －1n
(i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而S n ＝∑i ＝1n f (ξi )Δx i ＝∑i ＝1
n
(2＋i －1n )·1
n
＝
∑i ＝1
n
(2n ＋i －1
n 2) ＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)]＝2＋1n 2·n n －12
＝2＋n －12n ＝52－1
2n
.
则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ (52－12n )＝5
2. 如下进行验证：
如图所示，由梯形的面积公式得：
S ＝12×(2＋3)×1＝52
.
10．汽车以v ＝(3t ＋2) m/s 做变速直线运动时，求在第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程．
解：将[1,2]n 等分，并取每个小区间左端点的速度近似代替，则Δt ＝1
n
，v (ξi )＝
v ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋
i －1n ＝3⎝
⎛⎭⎪⎫1＋
i －1n ＋2＝3
n
(i －1)＋5.
∴s n ＝∑i ＝1
n
⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤3n i －1＋5·1n
＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫3n
[0＋1＋2＋…＋n －1]＋5n ·1
n
＝3n
2·
n n －1
2
＋5＝32⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1n ＋5.
∴s ＝lim n →∞s n ＝3
2
＋5＝. [高考水平训练]
1．在等分区间的情况下，f (x )＝1
1＋x
2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形的面积和
式的极限形式正确的是( )
∑i ＝1
n
⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋i n 2·2n ∑i ＝1n
⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋2i n 2·2n C ．lim n →∞
∑i ＝1
n
⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋i 2·1n D ．lim n →∞∑i ＝1n
⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋i n 2·n 解析：选 B.将区间n 等分后，每个小区间的长度为Δx ＝2
n
，第i 个小区间为
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤2i －1n ，2i n (i ＝1,2,3，…，n )，则由求曲边梯形的面积的步骤可得曲边梯形的面积和式的极限形式为lim n →∞∑i ＝1n
⎣
⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＋2i n 2·2n . 2．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在
[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，πn (n ∈N *
)上的面积为2n
，则y ＝sin 3x 在
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，2π3上的面积为________． 解析：由于y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn (n ∈N *
)上的面积为2n ，则y ＝sin 3x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的面
积为23.而y ＝sin 3x 周期为2π3，所以y ＝sin 3x 在⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积为23×2＝43.
答案：4
3
3．求由抛物线y ＝x 2
与直线y ＝4所围成的图形的面积．
解：∵y ＝x 2
为偶函数，图象关于y 轴对称，
∴所求图形的面积应为抛物线y ＝x 2
(x ≥0)与直线x ＝0，y ＝4所围图形面积S 阴影
的2
倍，下面求S 阴影．
由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x 2
，y ＝4，x ≥0，
得交点为(2,4)．
如图，先求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝4和曲线y ＝x 2
围成的图形的面积．
(1)分割
将区间[0,2]n 等分，则Δx ＝2n
，则ξi ＝
2i －1
n
. (2)近似代替、求和
S n ＝∑i ＝1
n
⎣⎢
⎡⎦
⎥⎤2i －1n 2·2n ＝8n 3
[12＋22＋32＋…＋(n －1)2]＝83(1－1n )(1－12n )．
(3)取极限
S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 8
3(1－1
n )(1－1
2n )＝8
3
. ∴S 阴影＝2×4－83＝16
3.
∴2S 阴影＝32
3
，
即抛物线y ＝x 2
与直线y ＝4所围成的图形的面积为323
.
4．一辆汽车做变速直线运动，汽车在时刻t 的速度v (t )＝6
t
2，求汽车在t ＝1到t ＝2
这段时间内运动的路程．
解：(1)分割：将区间[1,2]n 等分，则第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤n ＋i －1n ，n ＋i n (i ＝
1,2,3，…，n )，每个小区间的长度为Δt ＝1
n
.
(2)近似代替：每个小曲边梯形的面积近似为
S i ＝v (n ＋i －1n )Δt ＝6(n n ＋i －1)2
·1n ＝
6n n ＋i －1
2
≈
6n
n ＋i －1
n ＋i
(i ＝
1,2,3，…，n )．
(3)求和：
∑i ＝1
n
6n
n ＋i －1
n ＋i
＝
6n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＝6n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1n －12n ＝3. (4)取极限：S ＝lim n →∞3＝3. 所以汽车在t ＝1到t ＝2这段时间内运动的路程为3.。