圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线晚练专题练习(三)含答案人教版高中数学高考真题汇编

高中数学专题复习
《圆锥曲线与方程椭圆双曲线抛物线》单元过关检
测
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
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得分
一、选择题
1．（汇编大纲文）已知12,F F 为双曲线2
2
2x y -=的左,右焦点,点P 在C 上,12||2||PF PF =,则12cos F PF ∠= （ ）
A ．
14
B ．
35 C ．
34
D ．
45
答案C 【解析】
2．1 ．（汇编福建文）已知双曲线22x a
-2
5y =1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 A 314
14
B ．
32
4
C ．
32
D ．
4
3
3．（汇编年高考全国卷3)已知双曲线
2
2
12
y x
-
=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线
上且120,MF MF ⋅=则点M 到x 轴的距离为（ ）
A ．
43 B ．5
3
C ．233
D ．3
4．（汇编江西理7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．1(0,]2 C ．2
(0,
)2
D ．2[,1)2 5．（汇编江西文7）连接抛物线2
4x y =的焦点F 与点(10)M ，所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为（ ） Ａ．12-+
Ｂ．
3
22
-
Ｃ．12+
Ｄ．
3
22
+ 6．（汇编全国卷2) 双曲线22
149
x y -=的渐近线方程是( )
A ． 2
3
y x =±
B ． 4
9
y x =±
C ． 3
2
y x =±
D ． 9
4
y x =±
7．（汇编全国2理11）设12F F ，分别是双曲线22
22x y a b
-的左、右焦点，若双曲线上
存在点A ，使1290F AF ∠=且123AF AF =，则双曲线的离心率为（ ）
A ．
5
2
B ．
102
C ．
152
D ．5
8．（汇编年高考全国理科8）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42
-=的焦点重合，则此椭圆方程为
( ）
A ．1342
2=+y x B ．16822=+y x C ．1222
=+y x D ．14
22
=+y x 9．（汇编山东卷理)设双曲线12222=-b
y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2
+1 只有一个
公共点，则双曲线的离心率为( ).
A. 4
5
B. 5
C. 25
D.5
10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心学率为32.双曲线22
1x y -=的渐近线
与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为
（A ）22182x y += （B ）221126x y += （C ）22
1164x y += （D ）22
1205
x y +=
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．若双曲线的渐近线方程为x y 3±=，它的一个焦点是)0,10(，则双曲线的方程是 .
12．已知过椭圆的左焦点F 1且倾斜角为60°的直线交椭圆于A 、B 两点，若F 1A ＝2F 1B ，则椭圆的离心率为________．
13．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是 14．抛物线y 2
= 8x 的焦点到双曲线x 212 – y 2
4 = 1的渐近线的距离为___▲___.
15． 有一抛物线型拱桥，当水面离拱顶2米时，水面宽4米，则水面下降1米后，水面宽度为 米
16．双曲线16
92
2y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 . （汇编全国，14）
评卷人
得分
三、解答题
17．（本小题满分15分）设椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左，右两个焦点分别为
1F ，2F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为P ，Q ，且12F PF Q 为正方
形。

（1）求椭圆的离心率；
（2）若过点B 作此正方形的外接圆的切线在x 轴上的一个截距为32
4
-，求此椭圆方程。

18．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ． （
1）求椭圆的方程；
（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；
（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．
x
y
O
A
B
F
P l
第19题图
19．（16分）已知椭圆具有性质：若A，B是椭圆C：=1（a＞b＞0且a，b
为常数）上关于原点对称的两点，点P是椭圆上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为k PA，k PB，那么k PA与k PB之积是与点P位置无关的定值
．试对双曲线=1（a＞0，b＞0且a，b为常数）写出类似的性质，并加
以证明．
20．（汇编年高考重庆卷（文））(本小题满分12分,(Ⅰ)小问4分,(Ⅱ)小问8分)
如题(21)图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率
2
2
e=,过左焦点
1
F作x轴
的垂线交椭圆于A、A'两点,4
AA'=.
(Ⅰ)求该椭圆的标准方程;zhangwlx
(Ⅱ)取平行于y轴的直线与椭圆相较于不同的两点P、P',过P、P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.求PP Q'
∆的面积S的最大值,并写出对应的圆Q的标准方程.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．由题意可知,
2,2a b c ==∴=,设12||2,||PF x PF x ==,则
12||||222PF PF x a -===,故12||42,||22PF PF ==,124F F =,利用余弦定理可得
22222212121212(42)(22)43
cos 2422242
PF PF F F F PF PF PF +-+-∠===⋅⨯⨯.
2．C
【解析】由223
5322
c a a e a +=⇒=⇒==,C 答案正确. 3．C 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A 9．D
解析：D 双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21
b y x
a y x ⎧
=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得
210b x x a -
+=有唯一解,所以△=2()40b
a
-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a
+===+=,故选D.
10．D 【汇编高考真题山东理10】 【解析】因为椭圆的离心率为
23，所以23==a c e ，224
3
a c =，222243
b a a
c -==
，所以224
1
a b =，即224b a =，双曲线的渐近线为x y ±=，代
入椭圆得12222=+b x a x ，即14542
22222==+b x b x b x ，所以b x b x 52,5422
±==，2
254b y =
，b y 52±
=，则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ，所以四边形的面积为165165
2
52
42==⨯⨯
b b b ，所以52
=b ，所以椭圆方程为152022=+y x ，选D. 第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人
得分
二、填空题
11．
12．解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知E 为AC 的中点，
，故e=.
解析： 2
3 解析：如图，过B 作AC 的垂线，垂足为E ，由题意和椭圆第二定义可知
E 为AC 的中点，
AE AB =DB 3BF 1=13e ，故e =23
.
13．
55
14．1 15．26
16．解析：设|PF1|＝M ，|PF2|＝n （m ＞n ）a ＝3b ＝4c ＝5∴m －n ＝６m2＋n2＝4c2m2＋n2－（m －n ）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64mn ＝32 解析：
5
16
解析：设|PF 1|＝M ，|PF 2|＝n （m ＞n ） a ＝3 b ＝4 c ＝5
∴m －n ＝６ m 2＋n 2＝4c 2
m 2＋n 2－（m －n ）2＝m 2＋n 2－（m 2＋n 2－2mn ）＝2mn ＝4×25－36＝64 mn ＝32.
又利用等面积法可得：2c ·y ＝mn ，∴y ＝
5
16 评卷人
得分
三、解答题
17． （1）由题意知：(0,)3
b P ，设1(,0)F
c -
因为12F PF Q 为正方形，所以3
b c =
4分 即3b c =，∴229b c =，即2210a c =，
所以离心率1010
e =
7分
（2）因为B （0，3c ），由几何关系可求得一条切线的斜率为22 10分
所以切线方程为223y x c =+ 因为在轴上的截距为32
4
-
，所以1c =， 14分
所求椭圆方程为
22
1109
x y += 15分 18． （1）因为椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，
所以1b =，1c =，2
2a =，所以椭圆的方程为2
212
x y += (4)
分
（2）准线方程为2x =，直线AB 的方程为1y x =-+，代入2
212
x y +=
得2340x x -=，解得0x =或4
3
x =
， …………………………………………6分 41(,)33B -，1
2
AP k =-，1
0()
134223
BP
k --==-AP k =-， 所以PF 是APB ∠的平分线． ………………………………………10分
（3）设(2,)()Q t t R ∈，1
2
AQ t k -=
，FQ k t =，1
3423BQ t k +
=
-312t +=， 因为131
222
AQ BQ t t k k t -++=
+==2FQ k ， 所以直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列． …………………………………………16分
19． 椭圆的简单性质；双曲线的简单性质． 专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
由椭圆到双曲线进行类比，不难写出关于双曲线的结论：k PA •k PB =，其中点
A 、
B 是双曲线上关于原点对称
的两点，P 是双曲线上的任意一点．然后设出点P 、A 、B 的坐标，代入双曲线方程并作差，变形整理即可得到
是与点P 位置无关的定值．
解答：
解：双曲线类似的性质为： 若A ，B 是双曲线
且a ，b 为常数）上关于原点对称
的两点，点P 是双曲线上的任意一点，若直线PA 和PB 的斜率都存在，并分别记为k PA ，k PB ，那么k PA 与k PB 之积是与点P 位置无关的定值．
证明：设P （x 0，y 0），A （x 1，y 1），则B （﹣x 1，﹣y 1），
且①，②，
两式相减得：，∴
即，是与点P位置无关的定值．
点评：本题给出椭圆上的点满足的性质，求一个关于双曲线的类似性质并加以证明．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
20．。