2019-2020年高中数学4.1圆的方程2教案新人教A版必修2

教学目标：
1 •掌握圆的一般方程并由圆的一般方程化成圆的标准方程
2 •能分析题目的条件选择圆的一
般方程或标准方程解题
3•解题过程中能分析和运用圆的几何性质
教学重点：圆的一般方程的认识和圆的两种方程的选择使用
教学难点：
圆的一般方程的认识过程和判断二元二次方程是否为圆方程
教学过程：
1 •问题情境
(1)情境：方程表示怎样的图形？
(2)问题：方程是几元几次方程？二元二次方程一定表示圆吗？(3)观察方程整理后的形式，
得到是关于的二元二次方程，且项的系数相等不为零，不含有项；反过来，像这样的二元二次方程x2 y2 Dx Ey F =0 —定表示圆吗？
2•圆的一般方程
D E 1
将方程x2 y2 Dx Ey F = 0配方，得(x )2 (y )2(D2 E^ 4F)与圆的标准方
2 2 4
程进行比较得到：
(1)当时，方程表示以为圆心，为半径的圆；
(2)当时，方程表示一个点；
(3)当时，方程无实数解，即方程不表示任何图形；
方程x y Dx Ey ^0(D E -4F 0)叫做圆的一般方程.
3.圆的一般方程的特点
当二元二次方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F =0具有条件：
(1)和的系数相同，不等于零，即；
⑵没有项，即；
⑶•
它才表示圆•条件(3)通过将方程同除以或配方不难得出.
4•例题讲解
例1 .求过三点的圆的方程；
分析：由于不在同一条直线上，因此经过三点有唯一的圆.
解：法一：设圆的方程为x2 y2 Dx Ey F =0 ,
•••三点都在圆上，
•••三点坐标都满足所设方程，把代入所设方程，
F =0 D = -8
I I
得：D E F ^0 解之得：E =6
4D 2E F 20 =0 F =0
所以，所求圆的方程为.
法二：也可以求和中垂线的交点即为圆心，圆心到的距离就是半径也可以求的圆的方程：•
法三：也可以设圆的标准方程：将点的坐标代入后解方程组也可以解得.
例2 •若方程x2• y2-2mx亠〔2m-2 y 2m^ 0表示一个圆，且该圆的圆心位于第一象限，求实数的取值范围.
2 _ 「2
解：将圆方程配方得，x-m：：：|y，m-1 1 - 2m ,
则，.
又圆心在第一象限，，
综上：.
例3•圆过点，且在轴上截得的弦长为，求圆的方程.
解：设所求圆为x2 y2 Dx Ey F = 0 ,令得，，
则，由X2 —Xi | = J(Xi +X2 $ —4X I X2 =6 得，，
将点代入X2 y2 D X Ey F ^0，
得D 2E F 5,3D 4E F 25，解方程组得，或，
则所求圆为X y・12x _22y • 27 =0或所求圆为.
思考：是否有其他方法？
例4 .求圆心在直线上，且过两圆C1: x2y2-2X• 10 y - 24 = 0和
交点的圆的方程.
略解：联立两圆方程解得交点为，从而可求圆方程.
思考：类似直线系，能否用圆系方程来解？
5.课堂小结
⑴圆的一般方程x2 y2 D X Ey F = 0及其条件
(2)方程思想求圆的一般方程
2019-2020年高中数学4.1圆的方程教案新人教A版必修2
三维目标：
知识与技能：1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程。

2、会用待定系数法求圆的标准方程。

过程与方法：进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题、发现问题和解决问
题的能力。

情感态度与价值观：通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣。

教学重点：圆的标准方程
教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程。

教学过程：
1、情境设置：
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方
程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？探索研究：2、探索研究：
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。

(其中a、b、
r都是常数，r>0 )设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己
列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件①
化简可得：②
引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。

方程②就是圆心为A（a,b）,半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。

3、知识应用与解题研究
例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。

分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。

探究：点与圆的关系的判断方法：
（1）＞，点在圆外
（2）=，点在圆上
（3）＜,点在圆内
例（2）：的三个顶点的坐标是A（5,1）, B（7, —3）,C（2, —8）,求它的外接圆的方程师生共同分析：从圆的标准方程可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确
定三个参数•（学生自己运算解决）
例（3）:已知圆心为的圆经过点和，且圆心在上，求圆心为的圆的标准方程
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小•圆心为的圆经过点和，由于
圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因
此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。

（教师板书解题过程。

）
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例（3）可得出外接圆的标准方程的两种求
法：
①、根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
练习：课本第1、3、4 题
提炼小结：
1、圆的标准方程。

2、点与圆的位置关系的判断方法。

3、根据已知条件求圆的标准方程的方法。

作业：课本习题4.1 第2、3、4 题
4.1.2 圆的一般方程
三维目标：
知识与技能：（1）在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方
程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方
22
程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0 表示圆的条件．
（2）能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方
程．能用待定系数法求圆的方程。

（3）: 培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

过程与方法：通过对方程X2+ y2+ Dx+ Ey+ F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。

情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。

教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
教具：多媒体、实物投影仪
教学过程：课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。

利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形
式一一圆的一般方程。

探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(X — a)2
+ (y - b)2
=r 2
，圆心(a , b)，半径 r .
把圆的标准方程展开，并整理：
2 2 2 2 2
x + y — 2ax — 2by + a + b — r =0.
取 D 二-2a,E 二-2b, F =a 2 b 2 -r 2 得
2 2
x y Dx Ey F = 0
①
这个方程是圆的方程.
反过来给出一个形如 x 2
+ y 2
+ Dx + Ey + F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗?
把 x 2
+ y 2
+ Dx + Ey + F=0 配方得
是表示圆？
(1) 当+ E 2
— 4F > 0时，方程②表示 (1)当时，表示以(-,-)为圆心，为半径的 圆； (2) 当时，方程只有实数解，，即只表示一个点(-,-)；
(3) 当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 综上所述，方程x 2 y 2 Dx Ey F =0表示的曲线不一定是圆
2 2
只有当时，它表示的曲线才是圆，我们把 形如x y Dx Ey ^0的表示圆的方程
称为圆的一般方程
我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)
(1) ①X 和y 2的系数相同，不等于0.
② 没有xy 这样的二次项.
(x
2)2 (y F
2 2
D E -4F
4
②(配方过程由学生去完成)这个方程是不
(2) 圆的一般方程中有三个特定的系数D E、F,因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了.
（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

知识应用与解题研究：
例1:判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。

2 2
1 4x 4y -4x 12y 9=0
2 2
2 4x 4y -4x 12y 11=0
学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。

②、运用圆的
一般方程的判断方法求解。

但是，要注意对于 1 4x24y2-4x • 12y • 9二0来说，这
里的
9=十冃
D - -1,
E =3,
F 而不是D=-4,E=12,F=9 .
4
例2:求过三点A（0，0），B（1，1），C（4, 2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程
解：设所求的圆的方程为：x2■ y2 Dx Ey F =0
•••在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于
的三元一次方程组，
F =0
即《D+E+F+2=0
4D +2E +F 十20 =0
解此方程组，可得：
•••所求圆的方程为：
r = 1、D2 E2 -4F =5；
2
得圆心坐标为（4，-3 ）.
或将左边配方化为圆的标准方程，，从而求出圆的半径，圆心坐标为（4,-3）
学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：
①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；
③、解出a、b、r或D E、F，代入标准方程或一般方程。

例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上运动，求线段AB的中点M 的轨迹方程。

分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程。

建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条件，求出点M的轨迹方程。

于是有 X 。

二 2x 「4, y o = 2y 「3
上运动，所以点 A 的坐标满足方程，即 ②
把①代入②，得
课堂练习：课堂练习第1、2、3题 小结
2
2
1 •对方程x y Dx Ey F =0的讨论（什么时候可以表示圆）
2 •与标准方程的互化 3•用待定系数法求圆的方程 4•求与圆有关的点的轨迹。

课后作业：习题4.1第2、3、6题
M 的坐标是 （x,y ） 点 A 的坐标
X o ,y o .由于点B 的坐标是
4,3且M 是线段AB 的重点，所以
X o 4 2
y 」3
2 2 2
2x -4 1 2y -3
=4,整理，得 y
=1
I 2丿C 2丿
所以，点M 的轨迹是以
-5。