惠州市第一中学立体几何(异面直线)测试题

惠州市第一中学立体几何（异面直线）测试题
一．选择题：
1．直线a , b 是异面直线是指
① a ∩b =∅, 且a 与b 不平行；② a ⊂面α，b ⊂面β，且平面α∩β=∅；③ a ⊂
面α，b ⊂面β，且a ∩b =∅；④ 不存在平面α，能使a ⊂α且b ⊂α成立。

上述
结论正确的有
（A ）①④ （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④
2．直线a , b 都垂直于直线l ，则直线a , b 的位置关系是
（A ）平行 （B ）相交 （C ）异面 （D ）三种可能都有
3．两条异面直线的距离是
（A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的线段
（C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段长 （D ）两条直线上任意两点间的距离
4．若a , b 是异面直线，c 是a , b 的公垂线，d //c , 则d 和a , b 的公共点的个数是
（A ）1 （B ）最多为1 （C ）2 （D ）1或2
5．若两条直线a , b 异面垂直，两条直线b , c 也异面垂直，则a , c 的位置关系是
（A ）平行 （B ）相交、异面 （C ）平行、异面 （D ）相交、平行、异面
6．若a , b , c 是两两互相垂直的异面直线(每两条成异面直线)，直线d 是a , b 的公
垂线，那么c 与d 的位置关系是
（A ）相交 （B ）平行 （C ）相交或垂直 （D ）垂直
7．已知a , b 是一对异面直线，且a , b 成60°角，则在过P 点的直线中与a , b 所
成的角均为60°的直线有
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条
8．空间四边形ABCD 的各边与两条对角线的长均为1，点P 在边AB 上移动，
点Q 在边CD 上移动，则点P 和点Q 的最短距离为
（A ）21 （B ）22 （C ）43 （D ）2
3
9．在正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’的各个面上的对角线中，与面对角线AB ’成60°角
的异面直线有
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条
10．在棱长a 为的正方体AC ’中，与其中一条棱所在的直线异面，并且距离为a
的棱共有
（A ）4条 （B ）5条 （C ）6条 （D ）7条
二．填空题：
11．异面直线所成的角为θ，则θ的取值范围是 。

12．和两条异面直线都垂直的直线有 条；和两条异面直线既垂直又
相交的直线有 条。

13．在正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’中，异面直线AA ’和BC ’所成的角为 ；
AC 与BC ’所成的角为 。

14．在棱长a 为的正方体AC ’中，异面直线BD ’与AA ’的距离为 ；BD ’
与AC 的距离为 。

15．AB 是异面直线a , b 的公垂线段，AB =2cm ，a , b 所成的角为90°，A , C ∈a ，
B ,D ∈b ，A
C =4cm , B
D =4cm ，那么C , D 两点间的距离为 。

16．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的12条棱中，与对角线AC 1所成的角的正弦值
为63
的棱共有 条。

17．空间四边形ABCD 中，E F , G , H 分别是AB , BC , CD ,
DA 的中点，若AC =BD =a ，且AC 与BD 所成的角为60°，
则四边形EFGH 的面积为 .
18．如图，若正方体ABCD －A ’B ’C ’D ’的棱长为a ，P 为棱A ’B ’上的动点，Q 为
BC ’上的动点，则P ，Q 两点距离的最小值为 .
19．若异面直线AB , CD 都与直线l 垂直，垂足为B , D ，AB =4, CD =2, AC =10, 且
AB , CD 成60°角，则AC 与直线l 所成的角的正弦值为 .
三．解答题：
20．如图，AB 和CD 是两条异面直线，AB =CD =3，
E ,
F 分别为线段AD , BC 上的点，且
AE BF ED FC =2
1, EF =7，求AB 和CD 所成的角。

11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2a , AA 1=a ，E ,H 分别是A 1B 1和BB 1
的中点，求EH 与AD 1所成角的余弦值。

综合练习卷
一．选择题：
1．空间四点A , B , C , D ，每两点的连线长都等于a ，动点P 在线段AB 上，动点
Q 在线段CD 上，则点P 与Q 的最小距离是
（A ）a （B ）23a （C ）2
2a （D ）21a 2．若异面直线a , b 所成的角为80°，则过空间任一点P 可做不同的直线与a , b
所成的角都是50°，可做直线的数目为
（A ）1条 （B ）2条 （C ）3条 （D ）4条
3．ABCD 是空间四边形，边AB , BC , CD , DA 所在直线中，
互相垂直的直线至多有
（A ）3对 （B ）4对 （C ）5对 （D ）6对
4．如图， ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1, E 1
分别是A 1B 1, A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AE 1
所成的角的余弦值是
（A ）1510
（B ）3015 （C ）21 （D ）3010 5．异面直线a , b ，a ⊥b ，c 与a 成30°角，则c 与b 所成的角的大小范围是
（A ）[60°, 90°] （B ）[30°, 90°] （C ）[60°, 120°] （D ）[30°, 120°]
6．在正方体AC 1中，E , F 分别是AB , BB 1的中点，则A 1E 与C 1F 所成的角的余
弦值是
（A ）21 （B ）2
2 （C ）52 （D ）215 二．填空题：
7．在空间四边形ABCD 中，E , F , G , H 分别是AB ,BC , CD , DA 的中点，如果
AC =BD ，则四边形EFGH 是 ；如果EG =FH ，则AC 与BD 的位
置关系是 ；如果∠EFG =130°，则异面直线AC 与BD 所成的角
是 。

8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E , F , G , H , M , Q 分别是棱AB , BC , CD , CC 1,
C 1
D 1, DD 1的中点，CM 则AA 1与所成的角的正切值等于 ；EF
与GH 所成的角为 ；BH 与HQ 所成的角为 。

9．空间四边形ABCD 连对角线构成一个正四面体，E , F 分别是AB , CD 上的点，并且(0)AE CF EB FD
λλ==>，若EF 分别与AC , BD 所成的角为α和β，则α+β的大小为 。

10．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的各面的12条对角线中，与正方体的对角线A 1C
垂直的共有 条。

三．解答题：
11．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2a , AA 1=a ，E ,H 分别是A 1B 1和BB 1
的中点，求EH 与AD 1所成角的余弦值。

12．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知AB =AD =2, AA 1=1，E 是AA 1的中点，
（1）求证：AC 1, BD 1, CA 1, DB 1共点于O ，且互相平分；
（2）求证：EO ⊥BD 1, EO ⊥AA 1；
（3）求异面直线AA 1和BD 1所成
角的余弦值；
（4）求异面直线AA 1和BD 1间的距离。

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