高二上学期期末考试试卷-数学(文)含答案-精编

2017年重庆一中高二上期期末考试 数 学 试 题 卷（文科）
满分150分。

考试时间120分钟。

一.选择题(每小题5分,共60分，每小题只有一个选项是正确的,把正确答案填写在括号内)
1．设命题p ：2,2n n n ∃∈>N ，则p ⌝为（ ）
A ．2,2n n n ∀∈>N
B ．2,2n n n ∃∈≤N
C ．2,2n n n ∀∈≤N
D ．2,=2n n n ∃∈N 2．已知函数()sin ,()f x x f x 则=的导函数是（ ）
A ．cos x
B ．cos x -
C ．sin x
D ．sin x - 3．已知,p q 是两个命题，p q 若“”⌝∨是假命题，则（ ）
A ．p q 假假
B ．p q 真真
C ．p q 假真
D ．p q 真假 4．圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
5 ） A ．1y = B ．1y =- C ．116y =
D ．116
y =- 6．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，且n β⊂，下列叙述正确的是（ ）
A ．若m n ∥，m α⊂，则αβ∥
B ．若αβ∥，m α⊂，则m n ∥
C ．若m n ∥，m α⊥，则αβ⊥
D ．若αβ∥，m n ⊥，则m α⊥
82，则双曲线C 的渐近线方程
为（ ）
A ．y x =±
B ．3y x =±
C ．y =
D ．2
y x =± 9．若函数3()e x f x x ax =+-在区间[0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[0,1) B ．(0,1] C ．[1,)+∞ D ．(,1]-∞
10.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（ ） A ．203 B.163 C.86π- D.83
π
-
11．设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)(x f 在2-=x 处取得极
大值，则函数)(x f x y '=的图象可能是（ ）
12．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的
取值范围是（ ）
A ．(2,)+∞
B ．(1,)+∞
C ．(,2)-∞-
D ．(,1)-∞- 二.填空题(每小题5分,共20分，把正确答案填在横线上)
13．若直线1l ：012=--ay x 与直线2l ：02=+y x 垂直，则=a .
1415.已知双曲线()22
122:10,0x y C a b a b
-=>>的一个焦点F 与抛物线
2
2:2(0)
C y p x p => 的焦点相同，它们交于,A B 两点，且直线AB 过点F ,则双曲线1C 的离心率为___________
16. 已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，4BC CD ==,
AB AD ==,则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为___________________
三．解答题（共70分，每小题要求写出解答过程）
17（原创）．（本小题满分10分）已知以点C 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ,
且圆心在直线0153=-+y x 上. （1）求圆C 的方程；
（2）:10,,l x y C M N MN 设直线与圆交于点求弦的长。

++=
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，
60BCD ∠=,PA ABCD ⊥面,E 是AB 的中
点，F 是PC 的中点。

（1）求证：//BF PDE 面； （2）求证：DE PAB ⊥面；
19（原创）（本小题满分12分）设函数3()12f x x x c =-+的图象经过原点． （1）求c 的值及函数()f x 的单调区间； （2）求函数[]()-1,3f x 在上的最大值和最小值．
20．（本小题满分12分）如图1,在直角梯形ABCD 中，90ADC ∠=︒，CD AB ∥，
点E 为AC 的中点．将ADC △沿AC 折起，使平面ADC ⊥
平面ABC ，得到几何体D ABC -如图2所示．
（1）在CD 上找一点F ,使AD ∥平面EFB ； （2）求点C 到平面ABD 的距离．
21（改编） （本小题满分12分）设椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点
分别为12,F F ，过点2F 作垂直于12F F 的直线交椭圆于,A B 两点，1F AB ∆的面积为
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）动直线:l y kx m =+与椭圆C 交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥，那么原点到直线l
的距离是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22（改编）（本小题满分12分）已知函数()ln x
x k
f x e
+=
（k 为常数， 2.71828e =是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行． （1）求k 的值；
（2）求证：当01x x e x 时，>>+
（3）()()()2g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：
()20,1x g x e -∀><+．
数 学 答 案
一．选择题
二．填空题
13.1 14. 1
-2 15. 136p
三．解答题：
17．（本小题满分12分）
解（1）由题知所求圆的圆心C 为线段AB 的垂直平分线和直线0153=-+y x 的交点，
∵线段AB 的中点为)2,1(，直线AB 的斜率为
∴线段AB 的垂直平分线的方程为2(1)y x -=--，即30x y +-=．
联立方程得30
3150x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得⎩⎨⎧=-=63y x ，即圆心(3,6)C -，
半径
， ∴所求圆的方程为22(3)(6)40x y ++-=．
（2）圆心（-3,6）到直线的距离l 的距离
d =
==则：2
2
402MN d ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，解得MN =18. 证明：画出图象，如图示： （Ⅰ）取PD 的中点G ，连结FG ，GE ，
∵F ，G 是中点，∴FG ∥CD 且FG=CD ，∴FG 与BE 平行且相等，
∴BF ∥GE ，∵GE ⊂面PDE ∴BF ∥面PDE ．
（Ⅱ）∵底面ABCD 是菱形，∠BCD=60° ∴△ABD 为正三角形E 是AB 的中点，DE ⊥AB ， ∵PA ⊥面ABCD ，DE ⊂面ABCD ∴DE ⊥AP ，
∵AB∩AP=A ∴DE ⊥面PAB
19. 解：3()12f x x x c =-+，则/22()31234f x x x （）=-=-
当()/
,2,()0,()x f x f x 单调递增∈-∞->
()/22,()0,()x f x f x ，单调递减∈-< ()/2,()0,()x f x f x ，单调递增∈+∞>
（2）[)1
2,()x f x ，单调递减∈-，(]2,3,()x f x 单调递增∈ min max ()(2)16,()(1)11f x f f x f ==-=-= 20．（本小题满分12分）
解：（1）取CD 的中点F ，连接,EF BF 在ACD ∆中，EF 为ACD ∆的中位线，
//AD EF ∴EF EFB 平面⊂,AD EFB 平面⊄
//AD EFB 平面
（2）设点C 到平面ABD 的距离为h ，在直角梯形ABCD 中
由090ADC ∠=，//CD AB ,,BC AC ∴⊥ 又平面ADC ⊥平面ABC
∴BC ADC ⊥平面,∴BC AD ⊥,又DC AD ⊥ ∴AD ⊥平面BCD ，∴AD BD ⊥.
又2,4AD AB ==，∴BD =
又三棱锥B ACD -∴由B ACD C ADB V V --=，得
∴h =
，即点C 到平面ABD 的距离为.
21. 解：（1）设12(,0),(,0)F c F c -，∵12AB F F ⊥， ∴0(,)A c y ，0(,)B c y -，其中00y >.
又∵,A B 在椭圆上，∴2
20
221y c a b
+=，解得20b y a =.
∵椭圆离心率为
2
，1F AB ∆
的面积为
∴222221222c a b c a a b c ⎧=⎪
⎪⎪∙∙
=⎨⎪=+⎪⎪⎩22
8,4a b ==.∴22:184x y C +=. （2）设1122(,),(,)P x y Q x y ，将:l y kx m =+代入22
:184x y C +
=得 222(12)4280k x kmx m +++-=，
∵0∆>，∴2
2
840k m -+>，且122412km x x k +=-+，2122
28
12m x x k
-=-+， ∴22
2
2
121212122
8()()()12m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+，
∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=，即
222
22
28801212m m k k k --+=++， ∴22
388m k -=，2
83m 代入，即可∆
≥3d 原点到直线的距离∴==
22.解：（1）()ln x x k f x e +=，得()()/
1ln ,0,x
kx x x f x x xe --=∈+∞ 由已知：()/110,1k
f k e
-=
=∴= （2）.设()()1x x e x ϕ=-+，则()()10,0,x x e x ϕ'=->∈+∞， ∴()x ϕ在()0,+∞上是增函数，
∴()()00x ϕϕ>=， ∴当01x x e x 时，>>+ （3）由（1），得()()
()()21ln 1
1ln ,0,x
x x x x x g x x x x x x x xe e
--+=+=--∈+∞， 设()1ln h x x x x =--，则()()ln 2,0,h x x x '=--∈+∞． 令()0h x '=，得2x e -=．
当20x e -<<时，()0h x '>，∴()h x 在()20,e -上是增函数； 当2x e ->时，()0h x '<，∴()h x 在()2,e -+∞上是减函数． 故()h x 在()0,+∞上的最大值为()221h e e --=+，即()21h x e -≤+． 由（2）知∴1
01x x e
+<<． ∴()()21
1x x g x h x e e
-+=<+．∴对任意0x >，()21g x e -<+。