人教版九年级下期末复习《第28章锐角三角函数》单元试卷(有答案)

期末复习：人教版九年级数学下册第28章锐角三角函数
单元检测试卷
一、单选题（共10题；共30分）
1.sin60°的值为（）
A. √3
B. √3
2
C. √2
2
D. 1
2
，则∠B的值为（）．
2.在△ABC中，∠C =90o，若cosB= √3
2
A. 30°
B. 60°
C. 45°
D. 90°
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（）
A. 5
13
B. 12
13
C. 5
12
D. 12
5
4.在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，则sinA的值等于（）
A. 1
2
B. √2
2
C. √3
2
D. 1
5.在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝3
，则AB＝( )
5
A. 15
B. 12
C. 9
D. 6
6.一个物体从A点出发，沿坡度为1：7的斜坡向上直线运动到B，AB=30米时，物体升高（）米．
A. 30
7
B. 3√2
D. 以上的答案都不C. 30
6
对
7.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=26°，BC=5．若用科学计算器求边AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A. 5÷tan26°=
B. 5÷sin26°
= C. 5×cos26°
= D. 5×tan26°=
8.在△ABC 中，若|sinA ﹣12|+（√22
﹣cosB ）2=0，则∠C 的度数是（ ） A. 45° B. 75° C. 105° D. 120°
9.在RtΔABC 中，∠C =90°，a =5，b =12，则cosA 等于（ ） A. 512 B.
513 C.
125 D. 12
13
10.在学习解直角三角形以后，重庆八中数学兴趣小组测量了旗杆的高度．如图，某一时刻，旗杆AB 的影子一部分落在平台上的影长BC 为6米，落在斜坡上的影长CD 为4米，AB ⊥BC ，同一时刻，光线与旗杆的夹角为37°，斜坡的坡角为30°，旗杆的高度AB 约为（ ）米．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，√3 ≈1.73）
A. 10.61
B. 10.52
C. 9.87
D. 9.37
二、填空题（共10题；共30分）
11.如图所示，在建筑物AB 的底部a 米远的C 处，测得建筑物的顶端A 点的仰角为α，则建筑物AB 的高可表示为________．
12.如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为
________．
13.如图，从甲楼底部A处测得乙楼顶部C处的仰角是30°，从甲楼顶部B处测得乙楼底部D处的俯角是45°，已知甲楼的高AB是120m，则乙楼的高CD是________m（结果保留根号）
14.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，E为垂足，若cosB=4
， EC=2，P是AB边上的一个动点，则线段
5
PE的长度的最小值是________ ．
15.如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，点D是边BC上一点．若沿AD将△ACD翻折，点C 刚好落在AB边上点E处，则BD＝________．
16.如下图，在矩形ABCD中，BC=6，CD=3，将△BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C′处，BC′交
AD于点E，则线段DE的长为________．
17.如图，某城市的电视塔AB坐落在湖边，数学老师带领学生隔湖测量电视塔AB的高度，在点M处测得塔尖点A的仰角∠AMB为22.5°，沿射线MB方向前进200米到达湖边点N处，测得塔尖点A在湖中的倒影A′的俯角∠A′NB为45°，则电视塔AB的高度为________米（结果保留根号）．
18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，则tanA=________
19.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD 为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径
长是________．
20.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在A处测得岛礁
P在东北方向上，继续航行1．5小时后到达B处此时测得岛礁P在北偏东30∘方
向,同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60∘方向为了在台风到来之前用最短时间到达M处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达 (结果保留根号)
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，锐角△ABC中，AB=10cm，BC=9cm，△ABC的面积为27cm2．求tanB的值．
22.如图为护城河改造前后河床的横断面示意图，将河床原竖直迎水面BC改建为坡度1：0．5的迎水坡AB，已知AB=4√5米，则河床面的宽减少了多少米．(即求AC的长)
23.中考英语听力测试期间T需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一中考考点，在位于考点南偏西15°方向距离500米的C点处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，消防车需沿北偏东75°方向的公路CF前往救援．已知消防车的警报声传播半径为400米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶．试问：消防车是否需要改道行驶？
说明理由．（√3≈1.732）
24.热气球的探测器显示，从热气球底部A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为45°，已知楼高是120m，热气球若要飞越高楼，问至少要继续上升多少米？（结果保留根号）
25.如图:我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行,在A点观测到我渔船C在北偏东60°方向的我国某传统渔场捕鱼作业.若渔政310船航向不变,航行半小时后到达B点,观测到我渔船C在东北方向上.问:渔政310船再按原航向航行多长时间,离渔船C的距离最近?(渔船C捕鱼时移动距离忽略
不计,结果不取近似值)
26.如图，某煤矿因不按规定操作发生瓦斯爆炸，救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A，B两个探测点探测到地下C处有生命迹象．已知A，B两点相距8米，探测线与地面
的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度（结果保留根号）．
27.如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l的距离．（结果精确到0.1km）
28.如图，图①是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏AO可以绕点O旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端A与底座B的连线AB与水平线BC垂直时（如图②），人观看屏幕最舒适．此时测得∠BAO＝15°，AO＝30cm，∠OBC＝45°，求AB的长度．（结果精确到1 cm）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97， tan15°≈0.27，√2≈1.414）
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：sin60°= √3
2
．
故答案为：B．
【分析】由特殊角的三角函数值可求解。

2.【答案】A
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，结合选项进行判断．
∵cos30°=√3
2
，
∴∠B=30°．
故选A．
3.【答案】B
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC= √AB2−AC2 =12，
∴sinA= BC
AB = 12
13
，
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理求出BC的长，再根据锐角三角函数的意义可求sinA的值。

4.【答案】B
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据已知条件先判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解即可．∵∠C=90°，AC=BC，
∴该三角形为等腰直角三角形，
∴sinA=sin45°=√2
2
．
故选B．
5.【答案】A
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据sinB等于∠B的对边与斜边之比可得AB的值．
【解答】∵sin B＝3
5
，AC=9，
∴AC
AB =3 5，
解得AB=15．
故选A．
【点评】考查锐角三角函数的定义；用到的知识点为：一个角的正弦值，等于这个角的对边与斜边之比．
6.【答案】B
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sinα=
√12+72=
52
=√2
10
，
∴上升的高度是：30×√210=3√2米． 故选B ．
【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解．
7.【答案】D
【考点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由tan ∠B= AC BC ，得
AC=BC •tanB=5×tan26．
故答案为：D ．
【分析】根据三角函数的定义tan ∠B=AC ：BC ，得到AC=BC •tanB ，得到正确的按键顺序.
8.【答案】C
【考点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：由题意得，sinA ﹣12=0，√22﹣cosB=0， 即sinA=12，√22=cosB ， 解得，∠A=30°，∠B=45°，
∴∠C=180°﹣∠A ﹣∠B=105°，
故选：C ．
【分析】根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出∠A 、∠B 的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
9.【答案】D
【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】根据勾股定理求出c 的长，再根据锐角三角函数的概念求出∠A 的余弦值即可． ∵在△ABC 中，∠C=90°，a =5,b =12，
∴c=√52+122=13，
cosA=b c =1213．
故选D ．
10.【答案】A
【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C 作CG ⊥EF 于点G ，延长GH 交AD 于点H ，过点H 作HP ⊥AB 于点P ，
则四边形BCHP 为矩形，
∴BC=PH=6，BP=CH ，∠CHD=∠A=37°，
∴AP= PH tan ∠A = 6
0.75 =8，
过点D 作DQ ⊥GH 于点Q ，
∴∠CDQ=∠CEG=30°，
∴CQ= 12 CD=2，DQ=CDcos ∠CDQ=4× √32
=2 √3， ∵QH= DQ tan ∠CHD =
2√30.75 = 8√33
， ∴CH=QH ﹣CQ= 8√33﹣2， 则AB=AP+PB=AP+CH=8+
8√33﹣2≈10.61，
故答案为：A ． 【分析】通过作垂线把特殊角放在直角三角形中，利用三角函数由边求边，即由PH 求AP ，由DQ 可求出QH ，最后AP+PB=AB 求出旗杆高度.
二、填空题
11.【答案】atan α
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵在直角△ABC 中，∠B=90°，∠C=α，BC=a ，
∴tan ∠C= AB BC ，
∴AB=BC •tan ∠C=a •tan α．
故答案为：atan α．
【分析】根据正切函数的定义进行变形可得结果.
12.【答案】34
【考点】锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图：， tanB= AD BD = 3
4．
故答案是：34．
【分析】根据在直角三角形中，正切为对边比邻边，可得答案．
13.【答案】40√3
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】由题意可得：∠BDA=45°，
则AB=AD=120m ，
又∵∠CAD=30°，
∴在Rt △ADC 中，
tan ∠CDA=tan30°= CD AD =√33， 解得：CD=40 √3（m ），
故答案为：40 √3．
【分析】在Rt △ABD 中，可得AD=AB=120m ；在Rt △ADC 中，由tan ∠CDA=tan30°=CD
AD 可求得CD 。

14.【答案】4.8
【考点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB=BC=x ，又EC=2，所以BE=x ﹣2，
因为AE ⊥BC 于E ，
所以在Rt △ABE 中，cosB=x−2x ，又cosB=45， 于是x−2x =4
5，
解得x=10，即AB=10．
所以易求BE=8，AE=6，
当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值．
故由三角形面积公式有：12AB •PE=1
2BE •AE ，
求得PE 的最小值为4.8．
故答案为 4.8．
【分析】设菱形ABCD 的边长为x ，则AB=BC=x ，又EC=2，所以BE=x ﹣2，解直角△ABE 即可求得x 的值，即可求得BE 、AE 的值，根据AB 、PE 的值和△ABE 的面积，即可求得PE 的最小值．
15.【答案】2.5
【考点】勾股定理，轴对称的性质
【解析】【解答】∵AC ＝3，AB ＝5，
∴BC= √AB 2−AC 2 =4，
设BD=x ，则CD=4﹣x ，
∴ED=4﹣x ，
∵AE=AC=3，
∴BE=2，
∵BE 2+DE 2=BD 2，
∴22+（4﹣x ）2=x 2，
解得x=2.5，
∴BD=2.5.
故答案为：2.5.
【分析】在Rt △ABC 中应用勾股定理可求得BC=4，设BD=x ，则结合轴对称的两个三角形全等可用x 表示出ED=4﹣x ，在Rt △BED 中应用勾股定理即可得到关于x 的方程，解方程即可求得x 即BD 的长.
16.【答案】3.75
【考点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设ED=x ，则AE=6﹣x ， ∵四边形ABCD 为矩形，
∴AD ∥BC ，
∴∠EDB=∠DBC ；
由题意得：∠EBD=∠DBC ，
∴∠EDB=∠EBD ，
∴EB=ED=x ；
由勾股定理得：
BE 2=AB 2+AE 2，
即x2=9+（6﹣x）2，
解得：x=3.75，
∴ED=3.75．
故答案为：3.75．
【分析】首先根据题意得到BE=DE，然后根据勾股定理得到关于线段AB、AE、BE的方程，解方程即可解决问题．
17.【答案】100 √2
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，连接AN，
由题意知，BM⊥AA'，BA=BA'
∴AN=A'N，
∴∠ANB=∠A'NB=45°，
∵∠AMB=22.5°，
∴∠MAN=∠ANB﹣∠AMB=22.5°=∠AMN，
∴AN=MN=200米，
在Rt△ABN中，∠ANB=45°，
∴AB= √2
2
AN=100 √2（米），
故答案为100 √2．
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，得到AN=A'N，再根据勾股定理求出AB的值.
18.【答案】2
3
【考点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，a=2，b=3，
∴tanA=a
b =2 3．
故答案为2
3
．
【分析】根据三角函数可得tanA=a
b
，再把a=2，b=3代入计算即可．
19.【答案】8
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形【解析】【解答】解：如图，∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=60°，
过D点作DE′⊥AB，则BE′= 1
2
BD=2，
∴点E ′与点E 重合，
∴∠BDE=30°，DE= √3 BE=2 √3， ∵△DPF 为等边三角形，
∴∠PDF=60°，DP=DF ，
∴∠EDP+∠HDF=90°
∵∠HDF+∠DFH=90°，
∴∠EDP=∠DFH ，
在△DPE 和△FDH 中，
{∠PED =∠DHF
∠EDP =∠DFH DP =FD
，
∴△DPE ≌△FDH ，
∴FH=DE=2 √3，
∴点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为2 √3， 当点P 在E 点时，作等边三角形DEF 1， ∠BDF1=30°+60°=90°，则DF 1⊥BC ，
当点P 在A 点时，作等边三角形DAF 2，作F 2Q ⊥BC 于Q ，则△DF 2Q ≌△ADE ，所以DQ=AE=10﹣2=8， ∴F 1F 2=DQ=8，
∴当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长为8．
【分析】过F 点作FH ⊥BC ，过D 点作DE ′⊥AB ，点E ′与点E 重合，根据已知条件可以求出DE 的长，接着证明△DPE 和△FDH ，得出FH=DE ，就可以判断点F 的运动轨迹是一条线段，此线段到BC 的距离为就是FH 的长，分别作出点P 在E 、A 两点时的等边△DEF 1，等边DAF 2，再去证明△DQF 2≌△ADE ，得到DQ=AE=F 1F 2，即可求出点F 的运动的路径长。

20.【答案】18+6√35
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】如图，过点P 作PQ ⊥AB 交AB 延长线于点Q ，过点M 作MN ⊥AB 交AB 延长线于点N ，
在直角△AQP 中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ （海里），
所以 BQ=PQ-90．
在直角△BPQ 中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ •tan30°= √3
3 PQ （海里）， 所以 PQ-90= √3
3 PQ ， 所以 PQ=45（3+ √3）（海里）
所以 MN=PQ=45（3+ √3）（海里）
在直角△BMN 中，∠MBN=30°，
所以 BM=2MN=90（3+ √3）（海里）
所以90(3+√3）
75=18+6√3
5
（小时）
故答案是：18+6√3
5
．
【分析】根据题意，添加辅助线：过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长
线于点N，在Rt△AQP和Rt△BPQ中，利用解直角三角形分别求出BQ=PQ-90，及BQ=√3
3
PQ，建立方程求出PQ及MN的长，从而可求出MB的长，再根据路程除以速度=时间，即可求解。

三、解答题
21.【答案】解：过点A作AH⊥BC于H，
∵S△ABC=27，
∴1
2
×9×AH=27，
∴AH=6，
∵AB=10，
∴BH= √AB2−AH2 = √102−62 =8，
∴tanB= AH
BH = 6
8
= 3
4
．
【考点】三角形的面积，勾股定理，锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于H，根据△ABC的面积为27可求出AH的长，在直角三角形ABH 中用勾股定理求出BH的长，则tanB的值可求。

22.【答案】解：设AC的长为x，那么BC的长就为2x．
x2+（2x）2=AB2，
x2+（2x）2=（4√5）2，
x=4．
答：河床面的宽减少了4米．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】因为坡度为1：0.5，可知道= ，设AC的长为x，那么BC的长就为2x，根据勾股定理可列出方程求解．
23.【答案】解：过A作AD⊥CF于D，
由题意得∠CAG=15°，∴∠ACE=15°，
∵∠ECF=75°，∴∠ACD=60°，在Rt △ACD 中，sin ∠ACD= AD AC ，
则AD=AC •sin ∠ACD=250 √3 ≈433米，433米＞400米，∴不需要改道．
答：消防车不需要改道行驶．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】方向角问题需要首先构造直角三角形，所以过A 作AD ⊥CF 于D ，易得∠ACD=60°利用三角函数易得AD=433>400,所以可得结果。

24.【答案】解:设BD=x 米，则CD=（120-x ）米
因为∠DAC=45°
所以AD=CD=（120-x ）米
∠BAD=30°
BD =tan30∘，即x =√3，解得x =(60√3−60)m 答：热气球若要飞越高楼，至少要继续上升(60√3−60)m
【考点】特殊角的三角函数值，解直角三角形，解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】将实际问题转化为数学问题，可知∠DAC=45°，∠BAD=30°，BC=120，因此设BD=x 米，则CD=（120-x ）米，在Rt △ADC 中，可表示出AD 的长，再在Rt △ABD 中，利用解直角三角形,建立关于x 的方程，求解即可。

25.【答案】解:作CD ⊥AB,交AB 的延长线于D,则当渔政310船航行到D 处时,离渔船C 的距离最近.设CD 长为x,在Rt △ACD 中,AD=CD tan 60°= √3 x,在Rt △BCD 中,BD=CD=x,∴AB=AD-BD= √3 x-x=( √3 -1)x,设渔政船从B 航行到D 需要t 小时,则(√3-1)x 0.5 t=BD=x,解得t= 2√31 = √3+14 . 答:渔政310船再按原航向航行√3+1
4小时后,离渔船C 的距离最近
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】先找出渔政船310离渔船C 的距离的位置：因为渔政船310的航线是在直线AB 上，点C 到直线AB 上的垂线段最短，所以作CD ⊥AB,交AB 的延长线于D,CD=x ，再用x 表示出AB 的长，根据行程关系列方程即可解出。

26.【答案】解：作CD ⊥AB 交AB 的延长线于点D ，如右图所示，
由已知可得，
AB=8米，∠CBD=45°，∠CAD=30°，
∴AD= CD tan30°，BD= CD tan45°，
∴AB=AD ﹣AB= CD tan30°−CD tan45°，
即8= √33−
CD 1，
解得，CD= (4√3+4)米，
即生命所在点C 的深度是(4√3+4)米．
【考点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据特殊角的三角函数值，即可求得生命所在点C的深度.
27.【答案】解：如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，
在△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，
∴AD= √3 CD= √3 xkm。

在△BCD中，∵∠BDC=90°，∠CBD=45°，
∴BD=CD=xkm。

∵AD﹣BD=AB，∴√3 x﹣x=2，∴x= √3 +1≈2.7（km）。

答：景点C到观光大道l的距离约为2.7km．
【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【分析】如图，过点C作CD⊥l于点D，设CD=xkm，在△ACD中，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系表示出AD，在△BCD中，利用等腰直角三角形的性质得出BD=CD=xkm。

根据AD ﹣BD=AB建立方程，求解得出x的值。

28.【答案】解：过O点作OD⊥AB交AB于D点．
在Rt△ADO中，
∵∠A=15°，AO=30，
∴OD=AO•sin15°≈30×0.26=7.8（cm）
AD=AO•cos15°≈30×0.97=29.1（cm）
又∵在Rt△BDO中，∠OBC=45°，
∴BD=OD=7.8（cm），
∴AB=AD+BD≈36.9（cm）．
答：AB的长度为36.9cm．
【考点】解直角三角形
【解析】【分析】根据角的度数，以及提供的数据构造直角三角形过O点作OD⊥AB交AB于D点，则AB=AD+BD=AD+OD，即要求出AD和OD，在Rt△BDO中，∠A=15°，AO=30，可求得AD和OD.。