安徽省池州市高考数学二模试卷(理科).docx

2016年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．复数z（1+i）=2i，则z的共轭复数为（）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
2．集合A={x||x|≥2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁
R
A）∩B=（）
A．（﹣2，﹣1）B．[2，3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）
3．命题p：∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数，则￢p为（）
A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是奇函数
B．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数
C．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数
D．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数
4．已知sin（+α）=，则sin（+2α）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
5．dx=（）
A．﹣ln2 B．ln2 C．﹣2ln2 D．2ln2
6．数列{a
n }中，a
1
=1，a
n+1
=3a
n
+4，则数列{a
n
}的前n项和等于（）
A．B．C．D．3n+1﹣2n﹣1 7．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20+2B．20+2 C．18+2 D．18+2
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S
的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
9．下列函数：
（1）y=sin3x+3sinx；
（2）y=﹣；
（3）y=lg；
（4）y=；
其中是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AC交BD于O点，过O点的直线交AD、BC分别于E、F 点， =m， =n，则+=（）
A．2 B．C．1 D．
11．椭圆C： +y2=1，A（，），B（﹣，﹣），点P是椭圆C上的动点，直线
PA、PB的斜率为k
1，k
2
，则k
1
k
2
=（）
A．﹣4 B．C．4 D．﹣
12．函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）+2f（x）＞0，则（）
A．4f（﹣2）＜f（﹣1）B．4f（4）＜f（2）C．4f（2）＞﹣f（﹣1）D．3f（）＞4f（2）
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．二项式（x+2）5=a
0x5+a
1
x4+…+a
5
y，则a
1
+a
3
+a
5
= ．
14．若变量x ，y 满足z=+（a ≥b ＞0）的最大值2，则a+3b 的最小值为 ．
15．已知正△ABC 的边长为4，若在△ABC 内任取一点，则该点到三角形顶点A 、B 、C 距离都不小于2的概率为 ．
16．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边长分别为
a 、
b 、
c ，若a 2﹣a ﹣b ﹣c=0，a+b ﹣c+2=0，则△ABC 中最大角的余弦值为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n =2﹣．
（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3，a 4；
（Ⅱ）求数列{a n }的通项a n ．
18．近年来空气污染是生活中一个重要的话题，PM2.5就是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测．空气质量指数要求PM2.5 24小时浓度均值分：优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染六级．如图是某市2015年某月30天的PM2.5 24小时浓度均值数据．
（Ⅰ）根据数据绘制频率分布表，并求PM2.5 24小时浓度均值的中位数；
空气质量 指数类别 优 [0，35] 良 （35，75] 轻度污染 （75，115] 中度污染 （115，150] 重度污染 （150，250] 严重污染 （250，500]
合计 频数 30 频率 1
（Ⅱ）专家建议，空气质量为优、良时可以正常进行某项户外体育活动，轻度污染及以上时，不宜进行该项户外体育活动．若以频率作为概率，用统计的结果分析，在2015年随机抽取6天，正常进行该项户外体育活动的天数与不宜进行该项户外体育活动的天数的差的绝对值为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
19．如图，在四棱锥A ﹣BCDE 中，侧面ABC 为正三角形，DC=BC=2BE ，BE ∥CD ，DC ⊥BC ，且侧面ABC ⊥底面BCDE ，P 为AD 的中点．
（Ⅰ）证明：PE ∥平面ABC ；
（Ⅱ）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；
（Ⅲ）求二面角P ﹣CE ﹣B 的正弦值．
20．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F（0，），且椭圆C经过点P（，）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，1）的斜率不为0的直线与椭圆交于A、B两点，A关于y轴的对称点为A′，求证：A′B恒过y轴上的一个定点．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．
请考在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE，分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．
（Ⅰ）求证：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）若E为CB的中点，EG=1，GA=3，求线段CD的长．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为
ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，
求tanα的值．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）恒成立，求m的取值范围．
2016年安徽省池州市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．复数z（1+i）=2i，则z的共轭复数为（）
A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】先化简z，从而求出z的共轭复数即可．
【解答】解：∵z（1+i）=2i，
∴z===1+i，
则z的共轭复数为1﹣i，
故选：A．
2．集合A={x||x|≥2}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（∁
R
A）∩B=（）
A．（﹣2，﹣1）B．[2，3）C．（3，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）
【考点】交、并、补集的混合运算．
【分析】由已知可得∁
R A={x|﹣2＜x＜2}，解不等式求出∁
R
A，和集合B，结合集合交集运
算的定义，可得答案．
【解答】解：∵A={x||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}，
∴∁
R
A={x|﹣2＜x＜2}，
B={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＞3或x＜﹣1}，
则（∁
R
A）∩B=（﹣2，﹣1），
故选：A．
3．命题p：∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数，则￢p为（）
A．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是奇函数
B．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数
C．∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数
D．∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数
【考点】命题的否定．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：命题p：∀φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）不是偶函数，
则￢p为：∃φ∈R，函数f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，
故选：D．
4．已知sin（+α）=，则sin（+2α）=（）
A．B．﹣C．D．﹣
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】由已知利用诱导公式化简可得cosα的值，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵sin（+α）=，
⇒﹣cosα=，
⇒cosα=﹣，
∴sin（+2α）=cos2α=2cos2α﹣1=2×（﹣）2﹣1=﹣．
故选：B．
5．dx=（）
A．﹣ln2 B．ln2 C．﹣2ln2 D．2ln2
【考点】定积分．
【分析】由dx=﹣dx，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：dx=﹣dx=﹣2lnx|=﹣2ln2，
故选：C．
6．数列{a
n }中，a
1
=1，a
n+1
=3a
n
+4，则数列{a
n
}的前n项和等于（）
A．B．C．D．3n+1﹣2n﹣1 【考点】数列的求和．
【分析】由a
n+1=3a
n
+4，变形为：a
n+1
+2=3（a
n
+2），利用等比数列的通项公式、前n项和公式
即可得出．
【解答】解：由a
n+1=3a
n
+4，变形为：a
n+1
+2=3（a
n
+2），
∴数列{a
n
+2}是等比数列，首项为3，公比为3．
∴a
n +2=3n，即a
n
=3n﹣2，
∴数列{a
n
}的前n项和=﹣2n=．
故选：A．
7．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（）
A．20+2B．20+2 C．18+2 D．18+2
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．利用三角形与矩形面积计算公式即可得出．
【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，其中后面的侧面与底面垂直．
∴该几何体的表面积=4×2+2×+
×4+=2+18，
故选：D．
8．执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S
的值为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求的值．
出S
【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，
﹣1，i=2；
∵第一次循环得到：S=S
﹣1﹣4，i=3；
第二次循环得到：S=S
第三次循环得到：S=S
﹣1﹣4﹣9，i=4；
﹣1﹣4﹣9=﹣4，
∴S
解得S
=10
故选：D．
9．下列函数：
（1）y=sin3x+3sinx；
（2）y=﹣；
（3）y=lg；
（4）y=；
其中是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．
【分析】（1）容易判断该函数在（0，1）上为增函数，不满足（0，1）上为减函数；（2）通分得出，从而判断出该函数为奇函数，根据指数函数y=e x的单调性及减函数的定义即可判断该函数在（0，1）上为减函数，从而该函数满足条件；
（3）容易判断该函数为奇函数，分离常数得到，这样根据复合函数和反
比例函数的单调性即可判断出该函数在（0，1）上的单调性；
（4）可以说明该函数不是奇函数，这样便可最后得出满足是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数．
【解答】解：（1）y=sinx和y=sin3x在（0，1）上都是增函数；
∴y=sin3x+sinx在（0，1）上是增函数；
（2），；
∴该函数为奇函数；
y=e x在（0，1）上为增函数；
∴在（0，1）上为减函数；
（3）解得，﹣1＜x＜1；
且；
∴为奇函数；
设，y=lgt为增函数，t=在（0，1）上为减函数；
∴在（0，1）上为减函数；
（4）根据解析式知，x=0时，y=1≠0；
∴该函数不是奇函数；
∴是奇函数且在（0，1）上是减函数的个数为2．
故选B．
10．梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，AC交BD于O点，过O点的直线交AD、BC分别于E、F 点， =m， =n，则+=（）
A．2 B．C．1 D．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】根据题意，画出图形，得出==，不妨设EF∥AB，则EF∥DC，由此求出m、n的值，从而计算+的值．
【解答】解：如图所示，
梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，
则==，
不妨设EF∥AB，则EF∥DC；
所以==，
所以=，同理=；
又=m， =n，
所以m=n=，
所以+=+=．
故选：B．
11．椭圆C： +y2=1，A（，），B（﹣，﹣），点P是椭圆C上的动点，直线
PA、PB的斜率为k
1，k
2
，则k
1
k
2
=（）
A．﹣4 B．C．4 D．﹣
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】设P（m，n），代入椭圆方程，运用直线的斜率公式，化简整理代入，即可得到定值．
【解答】解：设P（m，n），可得m2+4n2=4，
即有m2=4﹣4n2，
又k
1=，k
2
=，
则k
1k
2
=•=
==﹣．
故选：D ．
12．函数f （x ）的导函数f′（x ）满足xf′（x ）+2f （x ）＞0，则（ ）
A ．4f （﹣2）＜f （﹣1）
B ．4f （4）＜f （2）
C ．4f （2）＞﹣f （﹣1）
D ．3f （）＞4f （2）
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据题目给出的条件2f （x ）+xf′（x ）＞0，想到构造函数g （x ）=x 2f （x ），求导后分析该函数的单调性，从而能判出函数的极小值点，进一步得到函数g （x ）恒大于0，则有f （x ）恒大于0，再利用函数的单调性，分别比较大小，即可得到答案．
【解答】解：令g （x ）=x 2f （x ），
则g′（x ）=2xf （x ）+x 2f′（x ），
=x[2f （x ）+xf′（x ）]，
∵2f （x ）+xf′（x ）＞0，
∴当x ＞0时，g （x ）＞0，所以函数g （x ）在（0，+∞）上为增函数．
当x ＜0时，g （x ）＜0，所以函数g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数．
∴当x=0时函数g （x ）有极小值，也就是最小值为g （0）=0．
所以g （x ）=x 2f （x ）恒大于等于0，
当x ≠0时，由x 2f （x ）恒大于0，可得f （x ）恒大于0．
又对可导函数f （x ），恒有2f （x ）+xf′（x ）＞0，
取x=0时，有2f （0）+0×f （0）＞0，所以f （0）＞0．
综上有f （x ）恒大于0．
g （x ）在（﹣∞，0）上为减函数．
∴g （﹣2）＞g （﹣1），即4f （﹣2）＞f （﹣1），故A 错误；
g （x ）在（0，+∞）上为增函数．
∴g （4）＞g （2），即4f （4）＞f （2），故B 错误；
∵f （x ）恒大于0，
∴﹣f （﹣1）＜0，4f （2）＞0，
∴4f （2）＞﹣f （﹣1），故C 正确；
对于D ，g （x ）在（0，+∞）上为增函数．
g （）＜g （2），即3f （）＜4f （2），故D 正确．
故答案选：C ．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．二项式（x+2）5=a 0x 5+a 1x 4+…+a 5y ，则a 1+a 3+a 5= 122 ．
【考点】二项式定理的应用．
【分析】在所给的等式中，分别令x=﹣1，y=1；x=﹣1，y=1；可得两个等式，再把这两个等式相加，化简可得要求式子的值．
【解答】解：令x=y=1，可得（x+2）5=35=a 0+a 1+…+a 5，
令x=﹣1，y=1，可得﹣a 0+a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5=1，
两式相加可得2（a 1+a 3+a 5）=244，∴a 1+a 3+a 5=122，
故答案为：122．
14．若变量x，y满足z=+（a≥b＞0）的最大值2，则a+3b的最小值为16 ．【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，结合z=+（a≥b＞0）的最大值为2，可得+=1，
然后利用基本不等式求最值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
，
联立，解得A（2，6），
化目标函数z=+，
为y=﹣x+bz，
由图可知，当直线y=﹣x+bz过A时，直线在y轴上的截距最大，
z有最大值为+=2，
即+=1，
a+3b=（a+3b）（+）=10++≥10+6=16，
故答案为：16．
15．已知正△ABC的边长为4，若在△ABC内任取一点，则该点到三角形顶点A、B、C距离
都不小于2的概率为1﹣π．
【考点】几何概型．
【分析】先求出满足条件的正三角形ABC的面积，再求出满足条件正三角形ABC内的点到三角形的顶点A、B、C的距离均不小于1的图形的面积，然后代入几何概型公式即可得到答案．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：
其中正三角形ABC的面积S
==4
三角形
满足点到三角形顶点A、B、C距离都小于2的区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为2的半圆，
则S
=π×22=2π，
阴影
则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是
P===1﹣π．
故答案为：1﹣π
16．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若a2﹣a﹣b﹣c=0，a+b﹣c+2=0，则△ABC中最大角的余弦值为﹣．
【考点】余弦定理．
【分析】分别将两式相加减得出a与b，a与c的关系，使用作差法判断最大边，利用余弦定理解出cosC．
【解答】解：∵a2﹣a﹣b﹣c=0，a+b﹣c+2=0，
两式相加得：a2﹣2+2=0，∴c=．
两式相减得：a2﹣2a﹣2﹣2=0，∴b=．
显然c＞b．
由b=＞0得a2﹣2a﹣2＞0，解得a＞1+或a（舍）．
∴c﹣a=﹣a=＞0．
∴c＞a．
∴△ABC中，C为最大角．
∴cosC====﹣．
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） 17．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n +a n =2﹣．
（Ⅰ）求a 1，a 2，a 3，a 4； （Ⅱ）求数列{a n }的通项a n ． 【考点】数列递推式．
【分析】（Ⅰ）将n=1，2，3，4依次代入S n +a n =2﹣，从而求得； （Ⅱ）猜想a n =
，再利用数学归纳法证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵S n +a n =2﹣．
∴当n=1时，S 1+a 1=2﹣1， 解得，a 1=，
同理可求得，a 2=，a 3=，a 4=； （Ⅱ）猜想a n =
，证明如下，
①当n=1时，显然成立； ②假设当n=k 时成立，即a k =，
S k +a k =2﹣， 故S k =2﹣
﹣a k =2﹣
﹣
=2﹣
，
∵S k+1+a k+1=2﹣， ∴S k +2a k+1=2﹣， ∴2a k+1=2﹣﹣（2﹣
）=
，
∴a k+1=
，即n=k+1时，猜想也成立；
综上所述，a n =
．
18．近年来空气污染是生活中一个重要的话题，PM2.5就是空气质量的其中一个重要指标，各省、市、县均要进行实时监测．空气质量指数要求PM2.5 24小时浓度均值分：优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染六级．如图是某市2015年某月30天的PM2.5 24小时浓度均值数据．
（Ⅰ）根据数据绘制频率分布表，并求PM2.5 24小时浓度均值的中位数；
空气质量指数类别优
[0，35]
良
（35，75]
轻度污染
（75，
115]
中度污染
（115，
150]
重度污染
（150，
250]
严重污染
（250，
500]
合计
频数30
频率 1
（Ⅱ）专家建议，空气质量为优、良时可以正常进行某项户外体育活动，轻度污染及以上时，不宜进行该项户外体育活动．若以频率作为概率，用统计的结果分析，在2015年随机抽取6天，正常进行该项户外体育活动的天数与不宜进行该项户外体育活动的天数的差的绝对值为随机变量X，求X的分布列和数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【分析】（Ⅰ）由折线图数据能绘制频率分布表，由此能求出PM2.5 24小时浓度均值的中位数．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及E（X）．
【解答】解：（Ⅰ）由折线图数据绘制频率分布表，得：
空气质量指数类别优
[0，35]
良
（35，75]
轻度污染
（75，
115]
中度污染
（115，
150]
重度污染
（150，
250]
严重污染
（250，
500]
合计
频数7 13 6 3 1 0 30 频率0 1 PM2.5 24小时浓度均值的中位数为： ==47.5．
（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，2，4，6，
P（X=0）==，
P（X=2）=+==，
P（X=4）===
P（X=6）==，
∴X的分布列为：
X 0 2 4 6
P
E（X）==．
19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，侧面ABC为正三角形，DC=BC=2BE，BE∥CD，DC⊥BC，且侧面ABC⊥底面BCDE，P为AD的中点．
（Ⅰ）证明：PE∥平面ABC；
（Ⅱ）证明：平面ADE⊥平面ACD；
（Ⅲ）求二面角P﹣CE﹣B的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．
【分析】（Ⅰ）取AC中点O，推导出四边形OPEB是平行四边形，从而PE∥OB，由此能证明PE∥平面ABC．
（Ⅱ）推导出DC⊥OB，OB⊥AC，从而OB⊥面ACD，进而PE⊥面ACD，由此能证明平面ADE ⊥平面ACD．
（Ⅲ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣B的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取AC中点O，OP∥CD，OP=，
∵OP∥BE，OP=BE，∴四边形OPEB是平行四边形，
∴PE∥OB，
∵PE⊄平面平面ABC，OB⊂平面ABC，
∴PE∥平面ABC．
（Ⅱ）∵DC⊥BC，且面ABC⊥面BCDE，
∴DC⊥面ABC，∵BO⊂面ABC，∴DC⊥OB，
∵OB⊥AC，又AC∩DC=C，∴OB⊥面ACD，
∵PE∥OB，∴PE⊥面ACD，
∵PE⊂ADE，∴平面ADE⊥平面ACD．
解：（Ⅲ）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
P（0，0，1），C（﹣1，0，0），B（0，，0），E（0，，1），
设平面PCE的一个法向量为=（x，y，z），
=（0，），=（1，0，1），
则，取x=1，得=（1，0，﹣1），
设平面BCE的一个法向量=（a，b，c），
=（﹣1，﹣，0），=（0，0，1），
则，取a=﹣，得=（﹣，1，0），
设二面角P ﹣CE ﹣B 的平面角为θ， 则cosθ=
=
，
∴sinθ==，
∴二面角P ﹣CE ﹣B 的正弦值为
．
20．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点为F （0，），且椭圆C 经过点P （，）．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点M （0，1）的斜率不为0的直线与椭圆交于A 、B 两点，A 关于y 轴的对称点为A′，求证：A′B 恒过y 轴上的一个定点． 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为
+
=1（a ＞b ＞0），由题意可得c=
，将P 的坐标代入
椭圆方程，由a ，b ，c 的关系可得a ，b ，进而得到椭圆方程； （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），即有A'（﹣x 1，y 1），直线AB 的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，求得直线A'B 的方程，令x=0，求得y ，化简整理，即可得到定值4，即有直线A'B 恒过定点． 【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为+
=1（a ＞b ＞0），
由题意可得c=
，将P 的坐标代入椭圆方程可得：
+
=1，又a 2﹣b 2=3，
解得a=2，b=1， 即有椭圆的方程为x 2+
=1；
（Ⅱ）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），即有A'（﹣x 1，y 1），
直线AB的方程设为y=kx+1，代入椭圆方程4x2+y2=4，可得：
（4+k2）x2+2kx﹣3=0，可得x
1+x
2
=﹣，x
1
x
2
=﹣，
直线A'B的方程为y﹣y
1=（x+x
1
），
令x=0，可得y==
=+1==1=4．
则A′B恒过y轴上的一个定点（0，4）．
21．已知函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，由题意可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，由参数分离和构造函数，求出导数和单调区间，可得最大值，即可得到a的范围；
（Ⅱ）设h（x）=xlnx﹣x2，求出导数，判断单调性，可得x≥2时，xlnx＜x2﹣，即＞，则n≥2时，＞=﹣，再由裂项相消求和，化简整
理，即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=xlnx﹣ax2的导数为f′（x）=1+lnx﹣2ax，
函数f（x）=xlnx﹣ax2是减函数，可得f′（x）≤0在x＞0恒成立，
即为2a≥在x＞0恒成立，
设g（x）=，g′（x）=，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，g（x）递增；
当x＞1时，g′（x）＜0，g（x）递减．
可得g（x）在x=1处取得极大值，且为最大值1．
则2a≥1，解得a≥；
（Ⅱ）证明：设h（x）=xlnx﹣x2，
h′（x）=1+lnx﹣x，h″（x）=﹣1，
当x＞1时，h″（x）＜0，h′（x）＜h′（1）=0，
h（x）在（1，+∞）递减，即有h（x）＜h（1）=﹣，
即x＞1时，xlnx﹣x2＜﹣，
x≥2时，xlnx＜x2﹣，
即＞，
则n≥2时，＞=﹣，
即有++…+＞1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣
=1+﹣﹣=．
故对任意n∈N，n＞1，都有++…+＞．
请考在第22-24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，AB是⊙O的直径，CB与⊙O相切于B，E为线段CB上一点，连接AC、AE，分别交⊙O于D、G两点，连接DG交CB于点F．
（Ⅰ）求证：△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）若E为CB的中点，EG=1，GA=3，求线段CD的长．
【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．
【分析】（Ⅰ）连接BD，证明∠C=∠EGF，∠DFC=∠EFG，即可证明：△CDF∽△GEF；（Ⅱ）利用切割线定理，求线段CD的长．
【解答】（Ⅰ）证明：连接BD，则BD⊥AD，
∵CB与⊙O相切于B，∴AB⊥CB，
∴∠C=∠ABD
∵∠AGD=∠ABD=∠EGF，
∴∠C=∠EGF，
∵∠DFC=∠EFG，
∴△CDF∽△GEF；
（Ⅱ）解：∵EG=1，GA=3，
∴由切割线定理EG•EA=EB2，得EB=2
∴AB=2，
∵CB=4，
∴AC=2，
∵CB2=CA•CA，
∴CD=．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l的参数方程为为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程为
ρsin2θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点P的直角坐标为P（2，1），直线l与曲线C相交于A、B两点，并且，
求tanα的值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（I）对极坐标方程两边同乘ρ，得到直角坐标方程；
（II）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，利用参数意义和根与系数的关系列出方程解出α．
【解答】解：（I）∵ρsin2θ=4cosθ，∴ρ2sin2θ=4ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为y2=4x．
（II）将代入y2=4x，得sin2α•t2+（2sinα﹣4cosα）t﹣7=0，
所以，
所以，或，即或．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|x﹣3|．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）恒成立，求m的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．
【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，求出f（x）的最小值即可；
（Ⅱ）问题转化为＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）对任意的y∈R恒成立，设t=|y+1|﹣|y﹣1|，求出t的范围，得到关于m的不等式组，解出即可．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）=，
∴f（x）的最小值是；
（Ⅱ）若任意x，y∈R，不等式f（x）＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）恒成立，
由题意得：＞m（|y+1|﹣|y﹣1|）对任意的y∈R恒成立，
设t=|y+1|﹣|y﹣1|，|t|=||y+1|﹣|y﹣1||≤2，
∴﹣2≤t≤2，
∴，解得m∈（﹣，）．
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