演绎推理讲分析

问2：你能再举一些用“三段论”推 理的例子吗？
高一（1）班的同学都是少数民族， 小李是高一（1）班的， 所以他是少数民族。
不能被2整除的数是奇数， 13不能被2整除， 所以13是奇数。
例1.用三段论的形式写出下列演绎推理
（1)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以， 正方形的对角线相等。
矩形的对角线相等 （大前提）
要思维过程．数学结论、证明思路等的发现，
主要靠合情推理．
4 合情推理与演绎推理的区别与联系.
合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理
类比推理
演绎推理
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的
形式 别到一般的推理 推理
推理
区
别 推理 结论不一定正确，有待进一 结论 步证明
在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确
-3是自然数.
(3)自然数是整数， -3是自然数，
-3是整数. 小前提错误
(4)自然数是整数， －3是整数，
－3是自然数. 推理形式错误
错误的前提和推理形式可能导致错误的结论；
演绎推理错误的主要原因：
①大前提错误；(大前提不成立) ②小前提错误；(小前提不成立或不符合大前提的条件) ③推理形式错误
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
结论
例4 证明函数 f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
证明：
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
( x2 x1 )( x2 x1 2) x1 x2 , 所以x2 x1 0; x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
联系
合情推理的结论需要演绎推理的验证，而演绎 推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的
பைடு நூலகம்
谢谢！
因为2007是奇数,
特殊情况
所以2007不能被2整除. 结论
演绎推理的定义
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下 的结论，这种推理称为演绎推理． １．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理；
２．演绎推理的一般模式“三段论” ⑴大前提---已知的一般原理 ⑵小前提---所研究的特殊情况 ⑶结论---根据一般原理，对特殊情况做出的判断
C ED
∴△ABD是直角三角形. 同理△ABE是直角三角形
结论
A
M
B
(2)∵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半, 大前提
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线. 小前提
∴DM=12 AB.
结论
同理 EM= 1 AB. 请同学们找出证明△ABD是直角三角形 2 的大前提、小前提及结论。
∴DM = EM.
一个古老的少数民族——白族，那里的 人们都把未婚女孩叫做“金花”，未婚 男孩叫做“阿鹏哥”。小李家在大理， 大家平时都叫她“金花”，那么小C 李 （）
A：是个女孩，已婚 B：是个男孩，已婚
C：是个女孩，未婚 D：是个男孩，未婚
上述推理是合情推理吗？为什么？
如果房间有张三的脚印， 那么张三进过房间
勘察发现， 房间有张三的脚印
特殊情况 结论
4.全等的三角形面积相等
如果三角形ABC与三角形A1B1C1全等, 那么三角形ABC与三角形A1B1C1面积相等.
案例分析2：
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况 下的结论，这种推理称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理
那么S中所有元素也 都具有性质P.
例2:完成下面的推理过程
“函数y=x2 + x + 1的图象是一条抛物线 .”
试将其恢复成完整的三段论．
解：
大前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线,
小前提 函数y = x2 + x + 1是二次函数,
结论
∴函数y = x2 + x + 1的图象是一
条抛物线.
演绎推理（练习）
小前提
∴函数f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
结论
回顾小结：
１ 演绎推理的定义;
演绎推理的一般模式——三段论. 2 演绎推理错误的主要原因是：
①大前提错误；②小前提错误；③推理形式错误 正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论！
数学证明主要运用演绎推理
3 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重
所以 S—P（S是P）
（结论）
三角函数是周期函数 y＝sinx是三角函数 y＝sinx是周期函数
M……P S……M S……P
4. 用集合的观点来理解: 演绎推理
矩形的对角线相等 （大前提） 若集合M的所有元素
正方形是矩形
（小前题） 都具有性质P,
正方形的对角线相等 （结论）
S是M的一个子集,
M
p
•S
张三进过房间
完成下列推理， 它们有什么特点？
1.所有的金属都能导电,
一般性的原理
因为铜是金属,
特殊情况
所以铜能够导电.
结论
2.一切奇数都不能被2整除, 因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.
3.三角函数都是周期函数,
因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数
一般性的原理
正方形是矩形
（小前题）
正方形的对角线相等 （结论）
（2) y＝sinx是三角函数，三角函数是周期函数，
y＝sinx（x为R）是周期函数。
三角函数是周期函数（大前提） y＝sinx是三角函数（小前题） y＝sinx是周期函数（结论）
3.三段论的基本格式
M—P（M是P） S—M（S是M）
（大前提） （小前提）
-3是整数，
3是整数.
-3是自然数.
(3)自然数是整数， -3是自然数，
-3是整数. 小前提错误
(4)自然数是整数， －3是整数，
－3是自然数. 推理形式错误
错误的前提和推理形式可能导致错误的结论；
演绎推理错误的主要原因： 大前提错误
①大前提错误； ②小前提错误； ③推理形式错误
(2)整数是自然数， -3是整数，
函数y 2x 5的图象是一条直线
（结论）
（2）因为ABC三边长依次为3，4，5，所以ABC 是直角三角形；
一条边的平方等于其它两条边的平方和的三角形是直角三角形 （大前提）
ABC的三边长依次为3，4，5，而52 42 32 （小前提）
ABC是直角三角形
（结论）
例3
因为指数函数 y a x 是增函数（大前提）
大前提
任取x1 , x2 (,1),且x1 x2 , f ( x1 ) f ( x2 ) ( x12 2 x1 ) ( x22 2 x2 )
( x2 x1 )( x2 x1 2) x1 x2 , 所以x2 x1 0; x1 , x2 1, 所以x2 x1 2 0. f ( x1 ) f ( x2 ) 0, f ( x1 ) f ( x2 ).
而 y ( 1 ) x 是指数函数（小前提）
所以
y
2
(
1
)
x
是增函数（结论）
2
（1)上面的推理形式正确吗？
（2)推理的结论正确吗？为什么？
推理形式正确，但推理结论错误，因为 大前提错误。
练习2 分析下列推理模式是否正确，结论正
确吗？为什么？
大前提错误
(1)自然数是整数，
(2)整数是自然数，
3是自然数，
练习1：把下列推理恢复成完全的三段论:
（1）函数y 2x 5的图象是一条直线 .
（2）因为ABC三边长依次为3，4，5，所以ABC 是直角三角形；
（1）函数y 2x 5的图象是一条直线 .
一次函数y kx b(k 0)的图象是一条直线 （大前提）
函数y 2x 5是一次函数
（小前提）
☆但是
正确的前提和推理形式一定能得到正确的结论！
因而，演绎推理可以作为数学中严格证明的工具 所以，我们主要运用演绎推理来证明数学命题
例3 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是
垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵有一个内角是直角
的三角形是直角三角形,
大前提
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提
例3 在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,D,E是
垂足.求证AB的中点M到D,E的距离相等.
证明:(1)∵
C ED
在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=90o 小前提
∴△ABD是直角三角形. 同理△ABE是直角三角形
结论
A
M
B
(2)∵,
M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线.
∴DM=12 AB. 同理 EM= 1 AB.
2
∴DM = EM.
作为一般性原理的大前提被人们 熟知，是显然的，所以书写时 可以省略不写。
小前提 结论
例4 证明函数 f (x)=－x2＋2 x在(-∞,1)是增函数.
证明：满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2，有 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x) 是区间D上的增函数.
§2.1.2演绎推理
复习:合情推理
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想；
⑶ 检验猜想。
类比推理的一般步骤：
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似
特征；
⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对 象的特征，从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。
问题1：在美丽的云南大理，居住着