考点22 直线与圆-2019-2020学年浙江数学学业水平测试之考点解密 (1)

考点22 直线与圆
考点梳理
1．直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角与斜率
①直线的倾斜角及其取值范围
当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
②直线的斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率，常用k 表示，k ＝tan α.
③经过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式(c )：k ＝y 2－y 1
x 2－x 1.
2．直线的方程 (1)直线的点斜式方程
①直线的点斜式方程：y －y 0＝k (x －x 0)； ②直线的斜截式方程：y ＝kx ＋b . (2)直线的两点式方程
①直线的两点式方程：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1
x 2－x 1；
②直线的截距式方程：x a ＋y
b ＝1；
③平面上两点连线的中点坐标公式
若点P 1
、P 2
的坐标分别为(x 1
，y 1
)、(x 2
，y 2
)，且线段P 1P 2
的中点M 的坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1
＋x 2
2
，y ＝y 1
＋y 2
2.
(3)直线的一般式方程
①直线的一般式方程：Ax ＋By ＋C ＝0；
②直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式化为一般式． 3．直线的交点坐标与距离公式 (1)两条直线的交点坐标 ①两条直线的交点坐标；
②根据直线方程确定两条直线的位置关系． (2)两点间的距离
平面上两点间的距离公式：两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2. (3)点到直线的距离
点到直线的距离公式：点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋C |
A 2＋
B 2.
(4)两平行线间的距离
两平行线距离的求法：直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0和直线l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2
.
4．圆的方程
(1)圆的标准方程：圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2. (2)圆的一般方程：形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程： 当
D 2＋
E 2－4
F >0
时，叫做圆的一般式方程，圆心坐标为(－D 2，－E
2)，半径为D 2＋E 2－4F 2
；
当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点，该点坐标为(－D 2，－E
2)；
当D 2＋E 2－4F <0时，该方程不表示任何图形．
(3)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪
⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF >0；而A ＝C ，B ＝0是
方程表示圆的必要不充分条件． 5．点与圆的位置关系
点A (x ，y )，圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，圆的半径为r ，判断点A 与圆的位置关系的依据如下： ①当|AC |>r 时，即x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F >0时，点在圆外； ②当|AC |＝r 时，即x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0时，点在圆上； ③当|AC |<r 时，即x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F <0时，点在圆内． 6．直线、圆的位置关系
(1)判断直线与圆的位置关系(b )：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心到直线l 的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |
A 2＋
B 2
.
若l 与圆C 相离⇔d >r ；l 与圆C 相切⇔d ＝r ；l 与圆C 相交⇔d <r .
若通过直线方程与圆的方程所组成的方程组，根据解的个数来研究，若有两解，即Δ>0，则相交；若有一解，即Δ＝0，则相切；若无解，即Δ<0，则相离．
(2)圆的弦和切线
圆的半径为r ，直线l 与圆相交于A ，B ，圆心到l 的距离为d ，则|AB |＝2r 2－d 2. 过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (3)判断圆与圆的位置关系
如果两圆的半径分别为R ，r (R >r )，两圆心之间距离为d ，则：
两圆相离⇔d >R ＋r ；外切⇔d ＝R ＋r ；相交⇔R －r <d <R ＋r ；内切⇔d ＝R －r ；内含⇔d <R . 7．空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系
①空间直角坐标系及相关概念；②三维空间的点的坐标表示． (2)空间两点间的距离公式
空间两点间的距离公式(b )：空间中，点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离为 |P 1P 2|＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2. 例题讲解
【例1】 (1)下列直线中倾斜角为45°的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝－x C ．x ＝1 D ．y ＝1 (2)直线y ＝2x ＋1在y 轴上的截距为( ) A ．1 B ．－1 C.12 D ．－1
2
【解析】(1)由斜率定义得k ＝tan45°＝1，所以选A.
(2)当x ＝0时，y ＝1，所以直线y ＝2x ＋1在y 轴上的截距为1.即选A. 【变式训练】 (1)直线y ＝x ＋2的倾斜角为( ) A.π4 B.π3 C.π2 D.3π
4
(2)已知点A (1，1)，B (2，4)，则直线AB 的方程为____________． 【答案】(1)A
【分析】直线的斜率k ＝tan α＝1，α＝π
4，故选A.
(2)3x －y －2＝0
【分析】由直线的两点式方程y －14－1＝x －1
2－1化简可得．
【例2】 下列直线中，与直线x －2y ＋1＝0垂直的是( )
A ．2x －y －3＝0
B ．x －2y ＋3＝0
C ．2x ＋y ＋5＝0
D ．x ＋2y －5＝0
【解析】因为直线x －2y ＋1＝0的斜率为1
2
，所以与该直线垂直的直线斜率为－2，所以选C.
【变式训练】 若a ∈R ，设l 1：x ＋ay ＋1＝0，l 2：(a －1)x ＋2y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a ＝__________． 【答案】a ＝－1或2
【分析】由l 1∥l 2必有－1a ＝a －1
2
可得a ＝－1或2，检验均可．
【例3】 已知直线l 1：x －y ＋1＝0，l 2：x －y －3＝0，则两平行直线l 1，l 2间的距离为__________． 【解析】由两平行直线之间的距离公式知，l 1，l 2间的距离为d ＝|1＋3|
2
＝2 2.
【变式训练】 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为y ＝x ＋2，则原点O 到直线l 的距离是( ) A.12 B.2
2 C. 2 D ．2 【答案】2
【分析】l 的方程为x －y ＋2＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|0－0＋2|
12＋（－1）2＝ 2.
【例4】 以(2，0)为圆心，经过原点的圆方程为( )
A ．(x ＋2)2＋y 2＝4
B ．(x －2)2＋y 2＝4
C ．(x ＋2)2＋y 2＝2
D ．(x －2)2＋y 2＝2
【解析】设以(2，0)为圆心的圆为(x －2)2＋y 2＝r 2，又因为该圆过原点，所以r 2＝4，所以该圆的方程为(x －2)2＋y 2＝4.即选B.
【变式训练】 圆x 2＋y 2－4x ＋a ＝0的半径长为1，则实数a ＝____________． 【答案】3
【分析】圆的方程可化为(x －2)2＋y 2＝4－a ，由4－a ＝1可得a ＝3.
【例5】 已知直线2x ＋y ＋2＋λ(2－y )＝0与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为S (λ)，当λ∈(1，＋∞)时，S (λ)的最小值是( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．6
【解析】当x ＝0，y ＝2（λ＋1）λ－1，当y ＝0，x ＝－(λ＋1)，又λ∈(1，＋∞)，所以S (λ)＝（λ＋1）2λ－1，记λ－1
＝m ，则m >0，
S (λ)＝（m ＋2）2m ＝m ＋4
m ＋4≥8，当λ＝3时，取等号，即S (λ)的最小值是8.
【变式训练】 对任意的实数a ，直线ax ＋y －2＝0恒过定点( ) A ．(0，－2) B ．(0，2) C ．(－2，0) D ．(2，0) 【答案】B
【分析】由题意知定点与a 的取值无关，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y －2＝0，可得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2. 【例6】 在平面直角坐标系xOy 中，点A ，B 的坐标分别为(－1，0)，(1，0)．设曲线C 上任意一点P (x ，y )满足||P A ＝λ||PB (λ>0且λ≠1)．
(1)求曲线C 的方程，并指出此曲线的形状；
(2)对λ的两个不同取值λ1，λ2，记对应的曲线为C 1，C 2. ①若曲线C 1，C 2关于某直线对称，求λ1，λ2的积； ②若λ2>λ1>1，判断两曲线的位置关系，并说明理由．
【解析】(1)由两点间距离可得（x ＋1）2＋y 2＝λ（x －1）2＋y 2， 平方整理得：(λ2－1)x 2＋(λ2－1)y 2－2(λ2＋1)x ＋(λ2－1)＝0. 又λ＞0且λ≠1.
配方得曲线C 的方程(x －λ2＋1λ2－1)2＋y 2＝4λ2
（λ2－1）2.
因为λ＞0，λ≠1.
曲线C 表示的曲线为圆．
(2)①曲线C 1，C 2关于某直线对称，则两圆的半径相等，即2λ1|λ21－1|＝2λ1
|λ22－1|
.
平方化简得λ21λ42＋λ21－λ22λ41－λ22＝0， 即(λ21λ22－1)(λ22－λ21
)＝0. 因为λ1≠λ2，λ>0，λ≠1 所以λ1λ2＝1.
②两圆圆心的距离d 1＝|λ21＋1λ21－1－λ22＋1λ22－1|＝2（λ22－λ2
1）
（λ21－1）（λ22－1）＝2（λ2－λ1）（λ2＋λ1）（λ21－1）（λ2
2－1）
， 又两圆半径的差为：d 2＝|2λ2（λ22－1）－2λ1
（λ21－1）|＝2（λ2－λ1）（λ1λ2＋1）（λ21－1）（λ2
2－1）， 而(λ1λ2＋1)－(λ1＋λ2)＝(λ1－1)(λ2－1)>0， 所以d 2>d 1，两圆内含．
【变式训练】 一动圆M 截直线x －3y ＝0和3x －y ＝0所得的弦长分别为8，4，则动圆圆心M 的轨迹是( ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【答案】C
【分析】设M (x ，y )，动圆M 的半径为r ，则⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭
⎪⎫|x －3y |102
＋42
＝r 2
，
⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3x －y |102
＋22
＝r 2
.两式相减得x 2
－y 2
＝15，即动圆圆心M
的轨迹是双曲线．
巩固训练 一、选择题 1．下列四个结论：
①方程k ＝y －2
x ＋1与方程y －2＝k ()x ＋1可表示同一直线；
②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为π
2，则其方程为x ＝x 1；
③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程为y ＝y 1； ④所有直线都有点斜式和斜截式方程． 其中正确的命题序号为( )
A ．①④
B ．③④
C ．②③
D ．①② 【答案】C
【分析】①方程k ＝y －2
x ＋1与方程y －2＝k ()x ＋1不表示同一直线，前者不含点(－1，0)，命题①错误；命题②
③都正确；④∵直线的斜率不存在时，直线没有点斜式和斜截式方程，命题④错误．∴正确的命题是②③.故选C.
2．在x ，y 轴上的截距分别是－3，4的直线方程是( )
A ．4x ＋3y －12＝0
B ．4x －3y ＋12＝0
C ．4x ＋3y －1＝0
D ．4x －3y ＋1＝0 【答案】B
【分析】根据直线方程的截距式“x a ＋y b ＝1”，可写出直线方程x －3＋y
4＝1，化简得4x －3y ＋12＝0，故选B.
3．过点P (－1，3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 【答案】A
【分析】直线x －2y ＋3＝0的斜率为1
2，所以所求直线斜率为－2.所以设所求直线的方程为2x ＋y ＋c ＝0，又
过点P (－1，3)，则－2＋3＋c ＝0，c ＝－1， 即2x ＋y －1＝0.故选A.
4．若直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )的位置是( ) A ．在圆上 B ．在圆外 C ．在圆内 D ．以上都有可能 【答案】B
【分析】圆心到直线的距离d ＝
1
a 2＋b
2
<1，∴a 2＋b 2>1，∴点P (a ，b )在圆外．故选B. 5．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和圆x 2＋y 2－6x ＝0交于A ，B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是( ) A ．x ＋y ＋3＝0 B ．2x －y －5＝0 C ．3x －y －9＝0 D ．4x －3y ＋7＝0 【答案】C
【分析】由题意可知两圆圆心所在直线即为所求，化简两圆的方程得(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，(x －3)2＋y 2＝9.所以两圆的圆心分别为(2，－3)，(3，0)，将两圆圆心代入验证可得答案为C ，故选C. 6．圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋c ＝0与y 轴交于A ，B 两点，圆心为P ，若∠APB ＝90°，则c ＝( ) A ．－3 B ．3 C ．8 D ．22 【答案】A
【分析】配方得(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－c ，所以圆心为(2，－1)，因为∠APB ＝90°，所以2r 2－d 2＝r 2＋r 2.即8＝5－c ，所以c ＝－3.故选A.
二、填空题
7．已知a ≠－3，A (－3，2)，B (a ，3)，则直线AB 的斜率为____________． 【答案】1
a ＋3
【分析】由直线斜率的知识知，当a ＝－3时，斜率不存在；当a ≠－3时，斜率k ＝3－2a ＋3＝1
a ＋3.
8．已知直线l ：(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6在x 轴上的截距是－3，则m ＝____________． 【答案】－5
3
【分析】令y ＝0，得x ＝2m －6m 2－2m －3＝－3，即3m 2－4m －15＝0.解得m ＝3或m ＝－5
3.当m ＝3时，m 2－2m
－3＝0，故m ＝3舍去，故m ＝－5
3
.
9．点P (x ，y )在圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上，则x ＋1
y 的最小值是____________．
【答案】3
4
【分析】将圆方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，
y
x ＋1
可以看作是点A (－1，0)与圆上一点P (x ，y )连线的斜率k ，由图知0≤k ≤k P A .设AP 所在的直线方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.圆心到切线的距离|k －1＋k |
k 2＋（－1）2＝1，解得k ＝0或k ＝43，k ∈.因此，x ＋1y 的最小值为3
4.
三、解答题
10．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同交点； (2)设l 与圆C 交于不同两点A ，B . ①求弦AB 的中点M 的轨迹方程；
②若定点P (1，1)满足AP →＝12
PB →
，求此时直线l 的方程．
【解】(1)证明：圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的圆心为C (0，1)，半径为5， ∴圆心C 到直线l ：mx －y ＋1－m ＝0的距离d ＝
|－m |
m 2＋1≤||m ||
m ＝1< 5. ∴直线l 与圆C 相交，即直线l 与圆C 总有两个不同交点．
(2)①已知直线l 恒过定点，设为P (1，1)，当M 与P 不重合时，连接CM 、CP ，则CM ⊥MP ， ∴|CM |2＋|MP |2＝|CP |2.
设M (x ，y )(x ≠1)，则x 2＋(y －1)2＋(x －1)2＋(y －1)2＝1， 化简得：x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0(x ≠1)， 当M 与P 重合时，x ＝1，y ＝1也满足上式． 故弦AB 中点的M 轨迹方程是x 2＋y 2－x －2y ＋1＝0. ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵AP →＝12PB →，
∴1－x 1＝1
2(x 2－1)，
化简得x 2＝3－2x 1，①
又由⎩
⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5， 消去y 得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，(*) ∴x 1＋x 2＝2m 21＋m 2
，②
由①②解得x 1＝3＋m 2
1＋m 2，代入(*)式解得m ＝±1，
∴直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0.。