安徽省黄山市屯溪第四中学2019-2020学年高一数学理期末试题含解析

安徽省黄山市屯溪第四中学2019-2020学年高一数学理
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如右图将正方形沿对角线折成直二面角，有如下四个结论：
①⊥；
②△是等边三角形；
③与所成的角为60°；
④与平面所成的角为60°．
其中错误的结论是（）
A．① B．② C．③ D．④
参考答案：
D
2. 在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB，AD的长分别为2，1，若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足=，则?的取值范围是（）
A．[1，4] B．[2，5] C．[2，4] D．[1，5]
参考答案：
B
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．
【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），
D（，），设==λ，λ∈[0，1]，则M（2+，），N（﹣
2λ，），
所以=（2+，）?（﹣2λ，）=5﹣4λ+λ﹣λ2+λ=﹣λ2﹣
2λ+5，
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣1，所以λ∈[0，1]时，﹣λ2﹣
2λ+5∈[2，5]．
故选：B．
3. 已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，则a等于（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
参考答案：
C
【考点】直线的截距式方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】直接把点（0，2）代入直线方程，求出a即可．
【解答】解：已知直线x﹣ay=4在y轴上的截距是2，
即直线过（0，2），代入得：﹣2a=4，
则a=﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，是一道基础题．
4. 如果α=450+ k·180°则α 是第
A、第一或第三象限角
B、第一或第二象限角
C、第二或第四象限角
D、第三或第四象限角
参考答案：
A
5. 若平面向量与平面向量的夹角等于，，，则与的夹角的余弦值等于
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
6. 函数y =sin的单调增区间是（）
A.，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
参考答案：
A
7. 样本的平均数为,样本的平均数为,则样本
的平均数为
( )
A. B. C.
2 D.
参考答案：
B
略
8. 已知函数，给出下列结论正确的是（）
A．f（x）的最小正周期是2πB．
C．D．
参考答案：
D
【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】利用二倍角的正弦公式化简函数的解析式，再正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于函数=sin（2x+），
它的最小正周期为=π，故排除A；
令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，可得它的对称轴方程为x=+，k∈Z，故排除B；
令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，可得它的对称中心为（﹣，0），k∈Z，故排除C；
根据f（x﹣）=sin[2（x﹣）+]=sin2x，为奇函数，
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的正弦公式，正弦函数的周期性、奇偶性、以及图象的对称性，属于基础题．
9. 设全集，，则
（）
A． B． C． D
．
参考答案：
D
略
10. （）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知非零向量，，若且，则
．
参考答案：
由题意，即，所以向量反向，
又由，所以，即，
所以，即，所以.
12. 设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈(－∞，0]时，f(x)＝．
参考答案：
13. 已知，则 ____________________．
参考答案：
1
略
14. 函数的单调递增区间是
参考答案：
15. 函数的图象必过定点, 点的坐标为_________.
参考答案：
略
16. 已知函数和定义如下表：
则不等式≥解的集合为。

参考答案：
17. （5分）若直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，则m的值为．．
参考答案：
或﹣2
考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系．
专题：直线与圆．
分析：由垂直关系可得（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，解方程可得．
解答：∵直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0互相垂直，
∴（m+2）（m﹣2）+3m（m+2）=0，
即（m+2）（m﹣2+3m）=0，解得m=或﹣2
故答案为：或﹣2
点评：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，属基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，在多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AD=AC，AB=DE，F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求证：平面BCE⊥平面CDE．
参考答案：
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【分析】（1）取CE的中点M，连结MF，MB，证明四边形ABMF是平行四边形得到AF∥BM，利用直线与平面平行的判定定理证明AF∥平面BCE．
（2）证明AF⊥平面CDE，推出BM⊥平面CDE，通过平面与平面垂直的判定定理证明平面BCE⊥平面CDE．
【解答】解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，
∵F是CD的中点
∴MF∥DE且MF=DE
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD
∴AB∥DE，MF∥AB
∵AB=DE，∴MF=AB
∴四边形ABMF是平行四边形
AF∥BM，AF?平面BCE，BM?平面BCE
∴AF∥平面BCE
（2）证明：∵AC=AD
∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF?平面ACD∴AF⊥DE，又CD∩DE=D
∴AF⊥平面CDE
又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE
∵BM?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE
19. 已知函数f（x）=log3（x+1）﹣log3（1﹣x）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）求使f（x）＞0的x的范围．
参考答案：
（1）f（x）=log3（x+1）﹣log3（1﹣x），
则，解得：﹣1＜x＜1．
综上所述：所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}；
（2）f（x）为奇函数，
由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，
且f（﹣x）=log3（﹣x+1）﹣log3（1+x）=﹣[log3（x+1）﹣log3（1﹣x）]=﹣f（x）、
综上所述：f（x）为奇函数．
（3）因为f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，
所以f（x）＞0?＞1，解得0＜x＜1．
综上所述：所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．
20. 已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下
数据：
为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q ＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klog a v＋b．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．参考答案：
（1）选择函数模型，函数解析式为
；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.
【分析】
（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；
（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.
【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，
这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．
若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，
所以不选择该函数模型．
从而只能选择函数模型，由试验数据得，
，即，解得
故所求函数解析式为：．
（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），
则所需时间为（小时），其中，
结合（1）知，
所以当时，．
答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．
【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.
21. 已知向量与不共线，且，.
（1）若与的夹角为120°，求；
（2）若向量与互相垂直，求k的值.
参考答案：
（1）－16（2）
【分析】
（1）根据平面向量的数量积即可解决。

（2）根据两个向量垂直，数量积为0即可解决。

【详解】解：（1）
（2）由题意可得：，即，
，.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，及两个向量垂直时数量积为0的情况，属于基础题。

22. (本题满分16分)设数列{a n}满足，.（1），；
（2）求数列{a n}的通项公式；
（3）设，求{b n}的前n项和 S n..
参考答案：
（1）
(2)
(3)。