高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第9课对数与对数函数教师用书

第9课 对数与对数函数
[最新考纲]
1．对数的概念
如果a x
＝N (a ＞0且a ≠1)，那么x 叫作以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b
＝b (a ＞0，且a ≠1)． (2)换底公式：log a b ＝log c b
log c a
(a ，c 均大于0且不等于1，b ＞0)．
(3)对数的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：①log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；
②log a M N
＝log a M －log a N ，③log a M n
＝n log a M (n ∈R )． 3．对数函数的定义、图象与性质
4.反函数
指数函数y ＝a x
(a ＞0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2
＝2log 2x .( ) (2)当x ＞1时，log a x ＞0.( )
(3)函数y ＝lg(x ＋3)＋lg(x －3)与y ＝lg[(x ＋3)(x －3)]的定义域相同．( )
(4)对数函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
，－1，函
数图象不在第二、三象限．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(2017·启东中学高三第一次月考)函数f (x )＝
1
2
x
2
－1
定义域为________．
⎝ ⎛⎭⎪
⎫0，12∪(2，＋∞) [由⎩⎪⎨⎪⎧
2x 2
－1>0
x >0，
得0<x <1
2
或x >2.]
3．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知1log 2a ＋1
log 3a ＝2，则a ＝________.
6 [∵1log 2a ＋1
log 3a ＝2，
∴log a 2＋log a 3＝2， ∴log a 6＝2， ∴a 2
＝6，a >0， ∴a ＝ 6.]
4．已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图9­1，则下列结论成立的是________．(填序号)
图9­1
①a ＞1，c ＞1； ②a ＞1,0＜c ＜1； ③0＜a ＜1，c ＞1； ④0＜a ＜1,0＜c ＜1.
④ [由图象可知y ＝log a (x ＋c )的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移c 个单位得到的，其中0＜c ＜1.再根据单调性可知0＜a ＜1.]
5．(教材改编)若log a 3
4
＜1(a ＞0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是________．
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，34∪(1，＋∞) [当0＜a ＜1时，log a 34＜log a
a ＝1，∴0＜a ＜34； 当a ＞1时，log a 3
4
＜log a a ＝1，∴a ＞1.
即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，34∪(1，＋∞)．]
(1)设2a ＝5b
＝m ，且a ＋b
＝2，则m 等于________．
(2)(2017·南通第一次学情检测)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝103，a b ＝b a
，则a ＋b ＝
________.
(1)10 (2)4 3 [(1)∵2a
＝5b
＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2， ∴m ＝10.
(2)∵log b a ＝1
log a b
，
∴由log a b ＋log b a ＝103得log a b ＝3或log a b ＝1
3.
又∵a >b >1，∴log a b ＝13，即a ＝b 3
.
又a b
＝b a
，∴a ＝3b ，∴a ＝33，b ＝3， ∴a ＋b ＝4 3.]
[规律方法] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．
2．先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
3．a b ＝N ⇔b ＝log a N (a ＞0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
[变式训练1] (1)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x
，x ≥4，
f x ＋，x ＜4，则f (2＋lo
g 23)的值为
________．
(2)若a ＝log 43，则2a ＋2－a
＝________.
(1)24 (2)433 [(1)∵3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝2
3＋log 23
＝8×3＝24.
(2)∵a ＝log 43＝log 223＝1
2log 23＝log 23，
∴2a
＋2－a
＝2
log
2
3
＋2
－log
2
3
＝3＋2
log
23＝3＋
33＝433
.]
(1)(2017·南通二调)已知函数f (x )＝log a (x ＋b )(a ＞0，a ≠1，b ∈R )的图象
如图9­2所示，则a ＋b 的值是________．
图9­2
(2)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
3x
，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实
根，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172048】
(1)9
2
(2)(1，＋∞) [(1)由题图可知 ⎩
⎪⎨
⎪⎧
log a b －＝0，log a b ＝－2，解得b ＝4，a ＝12，∴a ＋b ＝9
2
.
(2)如图，在同一坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上截距，由图可知，当a ＞1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点．]
[规律方法] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点
(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
2．一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． [变式训练2] 如图9­3，点A ，B 在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，点C 在函数y ＝log 2x 的图象上，若△ABC 为等边三角形，且直线BC ∥y 轴，设点A 的坐标为(m ，n )，则m ＝________.
图9­3
3 [由题意知等边△ABC 的边长为2，则由点A 的坐标(m ，n )可得点B 的坐标为(m ＋3，
n ＋1)．又A ，B 两点均在函数y ＝log 2x ＋2的图象上，故有⎩⎨
⎧
log 2m ＋2＝n ，log 2m ＋3＋2＝n ＋1，
解得m ＝ 3.]
☞角度1
(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞0,0＜c ＜1，则下列选项中正确的是
________．(填序号)
①log a c ＜log b c ； ②log c a ＜log c b ； ③a c
＜b c
； ④c a
＞c b
.
② [对于①：log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg c
lg b ，∵0＜c ＜1，∴lg c ＜0.而a ＞b ＞0，∴lg a
＞lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，∴log a c 与log b c 的大小不能确定．对于②：log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a ＞lg b ，两边同乘一个负数1
lg c 不等号方向改变，∴log c a ＜log c b ，∴②正确．对于③：利用y ＝x c
(0＜c ＜1)在第一象限内是增函数，可得a c
＞b c
，∴③错误．对于④：利用y ＝c x
(0＜c ＜1)在R 上为减函数，可得c a
＜c b
，∴④错误．] ☞角度2 解简单的对数不等式
(2016·浙江高考改编)已知a ，b >0且a ≠1，b ≠1，若log a b >1，则下列说法
正确的是________．(填序号)
①(a －1)(b －1)<0； ②(a －1)(a －b )>0；
③(b －1)(b －a )<0； ④(b －1)(b －a )>0.
④ [法一：log a b ＞1＝log a a ， 当a ＞1时，b ＞a ＞1；
当0＜a ＜1时，0＜b ＜a ＜1.只有④正确． 法二：取a ＝2，b ＝3，排除①，②，③，故选④.] ☞角度3 探究对数型函数的性质
已知函数f (x )＝log a (3－ax )，是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区
间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 【导学号：62172049】
[解] 假设存在满足条件的实数a .
∵a ＞0，且a ≠1，∴u ＝3－ax 在[1,2]上是关于x 的减函数． 又f (x )＝log a (3－ax )在[1,2]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数， ∴a ＞1，x ∈[1,2]时，u 最小值为3－2a ，
f (x )最大值为f (1)＝lo
g a (3－a )，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－2a ＞0，
log a －a ＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a ＜3
2，a ＝3
2，
故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1. [规律方法] 利用对数函数的性质研究对数型函数性质，要注意以下四点：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是如果需将函数解析式变形，一定确保其等价性；四是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
[思想与方法]
1．对数值取正、负值的规律
当a＞1且b＞1或0＜a＜1且0＜b＜1时，log a b＞0；
当a＞1且0＜b＜1或0＜a＜1且b＞1时，log a b＜0.
2．利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决．
3．比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性．4．多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y＝1交点的横坐标进行判定．
[易错与防范]
1．在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y＝log a x的定义域应为(0，＋∞)．对数函数的单调性取决于底数a与1的大小关系，当底数a与1的大小关系不确定时，要分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论．
2．在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M>0的条件下应为log a Mα
＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数)．
3．解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．
课时分层训练(九) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、填空题
1．lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝________.
－1 [lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1
＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2
＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1.]
2．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________.
【导学号：62172050】
(－∞，－1) (－1，＋∞) [作出函数y ＝log 2x 的图象，将
其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．]
3．函数y ＝
log
2
3
x －的定义域是________．
⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log 23
(2x －1)≥0⇒0＜2x －1≤1⇒12＜x ≤1.] 4．已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．
a ＝
b ＞
c [因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝3
2
log 23＞1，b ＝log 29－log 23＝
log 233＝a ，c ＝log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c .]
5．若函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)的图象如图9­4所示，则下列函数图象中正确的是________．(填序号)
图9­4
① ② ③ ④
② [由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.
选项①，y ＝3－x
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x 在R 上为减函数，错误；
选项②，y ＝x 3
符合；
选项③，y ＝(－x )3
＝－x 3
在R 上为减函数，错误； 选项④，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．]
6．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2x ，x ＞0，
3－x
＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 312的值是________.
【导学号：62172051】
5 [由题意可知f (1)＝log 21＝0，
f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，
f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 312＝3－log
31
2＋1＝3log 32＋1＝2＋1＝3，
所以f (f (1))＋f ⎝
⎛⎭⎪⎫log 312＝5.]
7．已知函数y ＝log 2(ax －1)在(2,4)上单调递增，则a 的取值范围是____________．
⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [由函数y ＝log 2
(ax －1)在(2,4)上单调递增，得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，a ·2－1＞0，
解得a
＞12
， 则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞.] 8．(2017·苏锡常镇调研二)已知函数f (x )＝x 3
＋2x ，若f (1)＋f (log 1a
3)>0(a >0且
a ≠1)，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172052】
(0,1)∪(3，＋∞) [∵f ′(x )＝3x 2
＋2>0， ∴f (x )为R 上的递增函数， 又f (－x )＝－x 3
－2x ＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．
由f (1)＋f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫log 1a 3>0得f (1)>－f (log 1a
3)＝f ()log a 3，
∴log a 3<1，即a >3或0<a <1.]
9．(2017·盐城期中)设函数f (x )＝lg(x ＋1＋mx 2
)是奇函数，则实数m 的值为________．
1 [∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝0，
∴lg(－x ＋1＋mx 2
)＋lg(x ＋1＋mx 2
)＝lg(1＋mx 2
－x 2)＝0， ∴(m －1)x 2
＝0，即m ＝1.]
10．(2017·无锡期中)若函数f (x )＝ln|x －a |(a ∈R )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )在(－∞，m )单调递减，则实数m 的最大值等于________．
3 [由f (3＋x )＝f (3－x )可知，f (x )关于x ＝3对称，又f (x )＝ln|x －a |的图象关于x ＝a 对称，
所以a ＝3，
结合题意可知，实数m 的最大值为3.] 二、解答题
11．设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a ＞0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；
(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值． [解] (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a ＞0，a ≠1)， ∴a ＝2.
由⎩⎪⎨⎪⎧
1＋x ＞0，3－x ＞0，
得x ∈(－1,3)，
∴函数f (x )的定义域为(－1,3)． (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )
＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2
＋4]， ∴当x ∈(－1,1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，
故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.
12．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝x .
(1)求函数f (x )的解析式；
(2)解不等式f (x 2
－1)＞－2. 【导学号：62172053】 [解] (1)当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝log 1
2
(－x )．
因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )，
所以函数f (x )的解析式为
f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 12x ，x ＞0，0，x ＝0，log 12－x ，x ＜0. (2)因为f (4)＝4＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)＞－2可化为f (|x 2－1|)＞f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|＜4，解得－5＜x ＜5， 即不等式的解集为(－5，5)． B 组 能力提升 (建议用时：15分钟) 1．已知点(n ，a n )(n ∈N ＋)在y ＝e x 的图象上，若满足当T n ＝ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a n
＞k 时，n 的最小值为5，则k 的取值范围是________．
10≤k ＜15 [因为点(n ，a n )在y ＝e x 的图象上，所以a n ＝e n ，所以T n ＝ln(e 1e 2…e n )＝n n ＋2，由n n ＋
2＞k 时n 的最小值为5，即⎩⎪⎨⎪⎧ ＋2＞k ，＋
2≤k ，解得10≤k ＜15.]
2．(2017·南京模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，
＋∞)，则实数a 的取值范围是________．
(1,2] [当x ≤2时，y ＝－x ＋6≥4.∵f (x )的值域为[4，＋∞)，
∴当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，∴log a 2≥1，
∴1<a ≤2；
当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2，不合题意．
故a ∈(1,2]．]
3．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0且a ≠1)．
(1)求f (x )的定义域；
(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；
(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集．
[解] (1)要使函数f (x )有意义，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＞0，1－x ＞0，解得－1＜x ＜1.
故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)．
(2)证明：f (x )为奇函数，由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，
且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )
＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，
故f (x )为奇函数．
(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，
所以f (x )＞0⇔x ＋11－x
＞1，解得0＜x ＜1， 所以使f (x )＞0的x 的解集是(0,1)．
4．已知函数f (x )＝log 4(ax 2
＋2x ＋3)．
(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间；
(2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
[解] (1)∵f (1)＝1，
∴log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，a ＝－1，
这时f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．
由－x 2＋2x ＋3＞0，得－1＜x ＜3，
函数f (x )的定义域为(－1,3)．
令g (x )＝－x 2＋2x ＋3，
则g (x )在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减．
又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，
∴f (x )的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)．
(2)假设存在实数a 使f (x )的最小值为0，
则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1， 因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，3a －1a ＝1，解得a ＝12
. 故存在实数a ＝12
使f (x )的最小值为0.。