2018北京西城合格性考试二

2018北京西城合格性考练习题（二）
数 学
第一部分 选择题（每小题3分，共75分）
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的. 1. 已知全集{1,2,3}U =，集合{13}，=A ，那么集合C U A 等于 （ ） （A ）{1}
（B ）{2}
（C ）{3}
（D ）{1,2}
2. 点(1,1)-到直线10x y +-=的距离是 （ ）
（A ）
12
（B ）
22
（C ）2
（D ）
3
2
3. 函数()log (1)a f x x =-的定义域是 （ ） （A ）(1,0)- （B ）(0,1) （C ）(1,1)-
（D ）(,1)-∞
4. 已知向量(1,2)=-a 与向量(2)，=x b 平行，那么x 等于 （ ）
（A ）1-
（B ）2-
（C ）3-
（D ）4-
5. 已知点(3,4)A 是角α终边上的一点，那么cos α等于 （ ）
（A ）
34
（B ）
43 （C ）35
（D ）
45
6. 已知圆221x y +=与圆22(3)4x y -+=，那么两圆的位置关系 （ ） （A ）内切
（B ）相交
（C ）外切
（D ）外离
7. 在平面直角坐标系xOy 中，函数2sin()6y x π
=-的图象 （ ）
（A ）关于直线6x π
=
对称 （B ）关于点(,0)6π
对称
（C ）关于直线6x π
=-对称
（D ）关于点(,0)6
π
-对称
8. 给出下列四个函数：
①21y x =--； ②2y x =； ③ln y x =；④ 3y x =. 其中在定义域内是奇函数且单调递增函数的序号是 （ ）
（A ）①
（B ）②
（C ）③
（D ）④
9. 在ABC ∆中，60C ∠=︒，2AC =，3BC =，那么AB 等于 （ ） （A ）5
（B ）6
（C ）7
（D ）22
10. 已知某三棱锥的三视图如右图所示，那么该三棱锥的体积是 （ ）
（A ）1
3
（B ）1 （C ）32 （D ）
92
11. 如果幂函数()f x x α=的图象经过点1
9(3,)，则α= （ ）
（A ）2-
（B ）2
（C ）1
2-
（D ）12
12. 222
log +log 63等于 （ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
13. 在ABC ∆中，已知32a =，1
cos 3C =，43ABC S ∆=，则b = （ ）
（A ）3
（B ）23
（C ）43
（D ）32
14. 函数21()12 00，，⎧-≤⎪
=⎨->⎪⎩x x f x x x
零点的个数为 （ ）
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 15. 已知4sin 5α= ,且(,)2
απ
∈π那么cos2α等于 （ ）
（A ）725-
（B ）
725
（C ）
925
（D ）925
-
16. 设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①如果//,m n αα⊂，那么//m n ； ②如果,m m αβ⊥⊥，那么//αβ； ③如果,m αβα⊥⊥，那么//m β； ④如果,,m m n αβαβ⊥=⊥I ，那么n β⊥. 其中正确的命题是 （ ）
（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④
17. 如图，在ABC ∆中，45B =，D 是BC 边上一点，7AD =，3AC =，2DC =，则AB 的长为
( ) （A ）22
（B ）
36
2
（C ）
332 （D ）32
2
A
B
D C
18.某地第二季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：
行业 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280 行业 计算机 营销 机械 建筑 化工 招聘人数 124 620 102 935 89 115 76 516
70 436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就 业形势一定是 ( ) （A ）计算机行业好于化工行业 （B ）建筑行业好于物流行业 （C ）机械行业最紧张
（D ）营销行业比贸易行业紧张
19. 盒中装有大小形状都相同的5个小球，分别标以号码1,2,3,4,5，从中随机取出一个小球，其号码 为偶数的概率是 （ ）
（A ）1
5
（B ）
25 （C ）35
（D ）
45
20. 已知向量(0,2)=a ，(1,0)=b ，那么向量2-a b 与b 的夹角为 （ ） （A ）135︒
（B ）120︒
（C ）60︒
（D ）45︒
21. 某车站在春运期间为了改进服务，随机抽样调查了100名旅客从开始在购票窗口排队到购到车票
所用的时间t (以下简称购票用时，单位：min)．下面是这次抽样的频率分布表和频率分布直方图，则旅客购票用时的平均数可能落在哪一个小组 （ ）
分组
频数 频率
一组
05t ≤<
0 0 二组 510t ≤< 10 三组
1015t ≤<
10 0.10 四组 1520t ≤<
五组 2025t ≤<
30 0.30 合计
100
1.00
（A ）第二组 （B ）第三组 （C ）第四组
（D ）第五组 22. 已知点(2,0)A -，(2,0)B ，如果直线340x y m -+=上有且只有一个点P 使得PA PB ⊥， 那么实数m 等于 （ ）
（A ）4±
（B ）5±
（C ）8±
（D ）10±
23. 某市的一个湿地公园有一个大型喷水池，在它的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的
水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的A 处测得水柱顶端的仰角为45︒，沿A 向北偏东30︒方向前 进100m 到达B 处，在B 处测得水柱顶端的仰角为30︒，则水柱的高度是 （ ） （A ）50m
（B ）100m （C ） 120m （D ）150m
0.1 0.02
0.06 5 10 15 20 25
时间 min
O
频率
组距
24. 如图，在圆O 中，已知弦4AC =，那么AO AC ⋅uuu r uuu r
的值为 （ ）
（A ）8 （B ）6 （C ）4 （D ）2
25. 2011年7月执行的《中华人民共和国个人所得税法》规定：公民全月工资、薪金所得不超过3500 元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段累进计算：
全月应纳税所得额（含税级距）
税率(%) 不超过1500元
3 超过1500元至4500元的部分 10 超过4500元至9000元的部分
20 …
…
某调研机构数据显示，纳税人希望将个税免征额从3500元上调至7000元．若个税免征额上调至 7000元（其它不变），某人当月少交纳此项税款332元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ） （A ）5000~6000元 （B ）6000~8000元 （C ）8000~9000元 （D ）9000~16000元
第二部分 解答题（共25分）
26．（本小题满分6分）
已知函数()3sin 2cos 2,f x x x x =+∈R .
（Ⅰ）()4f π
= ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及在[0,]2x π
∈的最大值和最小值.
27．（本小题满分6分）
如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面，=AB AC ，D 是BC 的中点 . （Ⅰ）求证：⊥BC 平面1A AD ；
（Ⅱ）若90BAC ∠=,14==BC A D ,求三棱柱111-ABC A B C 的体积 .
A 1
B 1
C 1
A
C
O
A
B
28．（本小题满分6分）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆经过点(1,0)A -. （Ⅰ）⊙O 的方程_______ ；（将结果直接填写在答题卡．．．
的相应位置上） （Ⅱ）设M 是直线340x y +-=上的一个动点，ME ,MF 是⊙O 的两条切线，切点为E ,F .
（ⅰ）如果60EMF ∠=，求点M 的横坐标； （ⅱ）求四边形MEOF 面积的最小值.
29.（本小题满分7分）
已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 满足：
①1x >时，()2f x >；
②对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有121212()()()()()2f x x f x f x f x f x =--+ （Ⅰ）则(1)f =_____；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求证：函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；
（Ⅲ）当(2)5f =时，求满足()17f x <的x 的取值范围.
数学试题答案
第一部分 选择题 (每小题3分，共75分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B D D C C B D C 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案 C A B B C A B B
B
题号 19 20 21 22 23 24 25 ———
答案
B
A
C
D
A
A
C
第二部分 解答题 (共25分)
26．（本小题满分6分）
已知函数()3sin 2cos 2,f x x x x =+∈R .
（Ⅰ）()4
f π
= ；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及在[0,]2
x π
∈的最大值和最小值.
（Ⅰ）解：()=4f π
3． ……………………2分
（Ⅱ）解：因为()3sin 2cos 2f x x x =+= 31
2(
sin 2cos 2)22
x x + =2(sin 2cos cos2sin )66x x ππ+ =2sin(2)6
x π
+.
所以函数()f x 的最小正周期22||2
T ωππ
===π.
由[0,]2x π∈，可得72[,]666x πππ+∈，所以1sin(2)126x π
-≤+≤.
所以12sin(2)26
x π
-≤+≤，
所以当7266x ππ+=，即2
x π
=时，函数()f x 的最小值为1-； 当262x ππ+
=，即6
x π
=时，函数()f x 的最大值为2. ……………………6分27．
（本小题满分6分） 如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点 . （Ⅰ）求证：BC ⊥平面1A AD ；
（Ⅱ）若90BAC ∠=,14BC A D ==,求三棱柱111ABC A B C -的体积 . （Ⅰ）证明：因为 D 是BC 的中点，AB AC =， 所以 BC AD ⊥．
因为 1A A ⊥底面ABC ，BC ABC ⊂平面，
A 1
B 1
C 1
所以 1A A BC ⊥，又因为 1
AA AD D =，
所以 BC ⊥平面1A AD . …………………3分 （Ⅱ）证明：因为 90BAC ∠=,14BC A D ==，D 是BC 的中点， 所以 1
22
AD BC =
=,22AB AC ==． 因为 1A A ⊥底面ABC ，
所以 2222114223AA A D AD =-=-=． 所以三棱柱111ABC A B C -的体积
11
222223
2
8 3.
ABC V S AA ∆=⋅=⨯⨯⨯= ………………………6分
28．（本小题满分6分）
在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆经过点()1,0-A . （Ⅰ）⊙O 的方程_______ ；（将结果直接填写在答题卡．．．
的相应位置上） （Ⅱ）设M 是直线340x y +-=上的一个动点，ME ,MF 是⊙O 的两条切线，切点为E ,F .
（ⅰ）如果60EMF ∠=，求点M 的横坐标； （ⅱ）求四边形MEOF 面积的最小值.
（Ⅰ）解：因为1OA =，所以圆O 的方程为221x y +=. ……………………2分 （Ⅱ）解：（ⅰ）如图，连接OM ，由题意可知OEM ∆为直角三角形. 因为60EMF ∠=，所以30OME ∠=.
所以22OM OE ==.因为M 是340x y +-=直线上的动点， 所以设点M 的坐标为(,34)t t -+.
所以OM =22(0)[(34)0]t t -+-+-=2，解得665t -=
，或66
5
t +=. 所以点M 的横坐标为
665-或66
5
+. ……………………3分
E F
O
4
M
x
y A
1
（ⅱ）因为原点O 到直线340x y +-=的距离2
|4|410
31
d -=
=
+，
所以OM 的最小值是410
.
因为OEM ∆为直角三角形，所以2
2
21ME OM =-≥35
. 所以ME 最小值是
155
. 因为2MEO S S ∆==四边形MEOF 1
212ME ME ⨯⨯⨯=,
所以四边形MEOF 面积的最小值是15
5
. ……………………6分 29.（本小题满分7分）
已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且()f x 满足：
①1x >时，()2f x >；
②对任意的12,(0,)x x ∈+∞，都有121212()()()()()2f x x f x f x f x f x =--+ （Ⅰ）则(1)f =_____；（将结果直接填写在答题卡．．．的相应位置上） （Ⅱ）求证：函数()f x 在(1,)+∞上单调递增；
（Ⅲ）当(2)5f =时，求满足()17f x <的x 的取值范围.
解. （Ⅰ）则(1)f =2 ……………………2分
（Ⅱ）任取121x x <<， 2
21111
2211111
2
11
()()()()()(
)()()2()[()1][(
)2].x f x f x f x f x x x x
f x f f x f f x x x x f x f x -=⋅
-=⋅--+-=-- 因为2111,
1x x x >>，所以211
()2,()2x
f x f x >>， 所以21()()0f x f x ->，
所以函数()f x 在(1,)+∞上单调递增. ……………………5分 （Ⅲ）由(2)5f =得2(4)(2)2(2)217f f f =-+=，由第二问及(1)2f =. 所以当14x ≤<时，()17f x <， 当01x <<时，易知
11x
>，所以1
()2f x >.
又111
(1)()()()()()2f f x f x f f x f x x x
=⋅=--+，
所以11
()()()()0f x f f x f x x --=，1()12171()1f x f x
=+<<-.
综上{|04}
<<. ……………………7分x x。