2.3三角形的内切圆学案2021-2022学年浙教版九年级下册数学

2.3三角形的内切圆
课题 2.3三角形的内切圆单元第二单元学科数学年级九年级
下册
学习目标1. 掌握三角形的内切圆及内心的概念，能进行与内切圆有关的计算；
2．会作三角形的内切圆；
3．三角形的内切圆在实际生活中的应用．
重点三角形的内切圆的概念．
难点例2是内切圆的概念、切线的性质和全等三角形等知识的综合应用，辅助线较多，是本节教学的难点．
教学过程
导入新课【引入思考】
如图，要从一块三角形钢化玻璃上裁下一个半径尽可能大的圆来做一圆桌的桌面，应
该怎样画出裁剪的图样呢？
建议按下列步骤探索：
（1）当裁得的圆最大时，圆与三角形的各边有什么位置关系？
（2）与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里？
（3）如何确定这个圆的圆心和半径？
新知讲解提炼概念
定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
性质：内心到三角形三边的距离相等；内心与顶点连线平分内角．
典例精讲
【例1】如图，等边三角形ABC 的边长为3cm ．求△ABC 的内切圆⊙O 的半径．
【例2】已知：如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ．设△ABC 的周长为l ．
求证：AE ＋BC ＝1
2l ．
如例2图，设△ABC 的面积为S ，周长为l ，△ABC 的内切圆的半径为r ，则S ＝1
2lr ．请说明理由．
课堂练习
巩固训练
1、如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，D 、E 、F 是切点，∠A=50°，∠C=60°，则∠DOE=（ ）
（A ）70° （B ）110° （C ）120° （D ）130°
A
B
C
D
E
F
O
2.某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在( )
A ．△ABC 的三条内角平分线的交点处
B ．△AB
C 的三条高线的交点处 C ．△ABC 三边的中垂线的交点处
D ．△ABC 的三条中线的交点处
3.小兵手拿一张等腰三角形纸片△ABC ，AB ＝AC ＝10 cm ，BC ＝12 cm ，如图所示，他要同学小红求出这张纸片上裁剪出一个最大的圆的半径．小红说：“可以，但你要取一张最小的圆形纸片将△ABC 完全覆盖．”小兵说：“行，咱俩比一比！”聪明的同学，请你也来求一求这裁剪出的最大圆的半径与最小覆盖圆的半径．
4. 如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ．若AC ＝6，CD ＝2，求⊙O 的半径．
答案
引入思考
解：（1）圆与三角形的各边都相切． （2）圆心在这个角的角平分线上．
（3）两个内角的角平分线交点为圆心，以交点到三角形的任一边的距离为半径．
提炼概念
典例精讲
例1 解：如图，设⊙O 切AB 于点D ，连结OA ，OB ，OD ． ∵⊙O 是△ABC 的内切圆，
∴AO ，BO 是∠BAC ，∠ABC 的角平分线， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠OAB ＝∠OBA ＝30°． ∵OD ⊥AB ，AB ＝3cm ． ∴AD ＝BD ＝1
2AB ＝1.5（cm ）．
∴OD ＝AD ×tan30°＝1.5×33＝3
2（cm ）． 答：△ABC 的内切圆的半径为3
2cm ．
例2 证明：∵⊙O 是△ABC 的内切圆，E ，F 为切点， ∴AE ＝AF （切线长定理）． 同理，BD ＝BF ，CD ＝CE ．
∴AE ＋BC ＝AE ＋BD ＋CD ＝12(AE ＋AF ＋BD ＋BF ＋CD ＋CE )＝1
2l ．
如例2图，设△ABC 的面积为S ，周长为l ，△ABC 的内切圆的半径为r ，则S ＝1
2lr ．请说明理由．
解：如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别为D ，E ，F ．
连结OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，则OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，OF ⊥AB ，且OE ＝OF ＝OD ＝r ．
∵S ＝S △AOB ＋S △OBC ＋S △COA ，
∴S ＝12AB ×OF ＋12BC ×OD ＋12CA ×OE ＝12r (AB ＋BC ＋CA )＝12lr ． 巩固训练 1.B 2.A
3.解： 剪出的最大圆为△AB C 的内切圆，设圆心为I ，最小覆盖圆是△ABC 的外接圆，设圆心为O.
(1)连结IB ，过点A 作AD ⊥BC 于D ，IE ⊥AB 于E ，
∵AB ＝AC ＝10 cm ， ∴I ，O 均在AD 上，
BD ＝12BC ＝1
2×12＝6(cm)，
∴AD ＝
AB 2－BD 2＝102－62＝8(cm)．
设内切圆半径为r ，
∵I 为内心，∴IE ＝ID ＝r ，AI ＝8－r ， 又∵∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，EI ＝DI ， ∴Rt △BEI ≌Rt △BDI ， ∴BE ＝BD ＝6 cm ， ∴AE ＝AB －BE ＝4 cm.
4.解：过O 分别作AC ，BC 的垂线．
OE ，OF ，E ，F 为垂足，易证四边形OECF 为正方形，
设边长为x，即为⊙O的半径．∵∠AEO＝∠ACD＝Rt∠，
∴△AEO∽△ACD，
∴x
2＝
6－x
6，解得x＝1.5．
课堂小结 1.内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三
角形三个内角角平分线的交点．
2任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．
3三角形内心的性质：
三角形的内心到三角形三边的距离相等；
三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．。