成才之路高二数学人教B必修 同步精练：第三章 概率 章末归纳总结 含解析

第三章章末归纳总结
一、选择题
1．从装有m个红球，n个白球(m、n≥2)的袋中任取2个球，则互为对立事件的是() A．至少有1个白球和至多有1个白球
B．至少有1个白球和至少有1个红球
C．恰有1个白球与恰有2个白球
D．至少有1个白球与都是红球
[答案] D
[解析]取得一红一白时，A中两个事件都发生，故不互斥；取得一红一白时，B中两个事件都发生，故也不互斥；取得两个红球时，C中两个事件都不发生，故不对立；只有D 中的两个事件不同时发生又有一个发生，是对立事件．
2．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
时间范围1年内2年内3年内4年内
新生婴儿数 5 5449 01313 52017 191
男婴数 2 716 4 899 6 8128 590
A．0.4B．0.5
C.0.6D．0.7
[答案] B
[解析]由表格可知，男婴出生的频率分别为0.49，0.54，0.50,0.50，故这一地区男婴出生的概率约是0.5.
3．(2015·河南南阳市高一期末测试)把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()
A．对立事件B．必然事件
C．不可能事件D．互斥但不对立事件
[答案] D
[解析]“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
4．(2015·河北邯郸市高一期末测试)某中学高一有21个班、高二有14个班、高三有7个班，现采用分层抽样的方法从这些班中抽取6个班对学生进行视力检查，若从抽取的6个班中再随机抽取2个班做进一步的数据分析，则抽取的2个班均为高一的概率是()
A.15 B ．13
C.35 D ．23
[答案] A
[解析] 抽取的6个班中，高一、高二、高三分别有3个班、2个班、1个班，记高一的3个班分别为A 1、A 2、A 3，高二的2个班分别为B 1、B 2，高三的1个班为C ，从6个班中随机抽取2个班的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 1，B 1)、(A 1，B 2)、(A 1，C )、(A 2，A 3)、(A 2，B 1)、(A 2，B 2)、(A 2，C )、(A 3，B 1)、(A 3，B 2)、(A 3，C )、(B 1，B 2)、(B 1，C )、(B 2，C )共15个，抽取的2个班均为高一的基本事件有(A 1，A 2)、(A 1，A 3)、(A 2，A 3)共3个，
∴所求概率P ＝315＝1
5
.
5．在数轴上的区间[0,3]内任取一点，则此点落在区间[2,3]内的概率是( ) A.13 B ．12
C.23 D ．34
[答案] A
[解析] 区间[2,3]的长度为1，区间[0,3]的长度为3，由几何概型的计算公式可知所求概率为13
.
6．在一底面半径和高都是2 m 的圆柱形容器中盛满小麦种子，但有一粒带麦锈病的种子混入了其中，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率是( )
A.14 B ．1
8π
C.14π D ．1－1
4π
[答案] C
[解析] 所有小麦种子的体积为πR 2h ＝π×4×2＝8π(m 3)，现从中随机取出2m 3的种子，则取出带有麦锈病的种子的概率为28π＝1
4π
.
二、填空题
7．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．
[答案] 12 000
[解析] 设保护区内有这种动物x 只，每只动物被逮到的概率是相同的，所以1 200
x
＝100
1 000
，解得x ＝12 000. 8．欧阳修《卖油翁》中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3 cm 的圆面，中间有边长为1 cm 的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油正好落入孔中的概率为________(油滴的大小忽略不计)．
[答案]
49π
[解析] 记事件A 为“油正好落入孔中”，由题意可知μA ＝1 cm 2, μΩ＝9π
4 cm 2，所以由
几何概型的概率计算公式可得P (A )＝μA μΩ＝4
9π
.
三、解答题
9．将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，将得到的点故分别记为a ，b .
(1)求直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率；
(2)将a ，b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率． [解析] 先后两次抛掷一颗骰子，将得到的点故分别记为a 、b ，事件总数为6×6＝36. (1)因为直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，所以有5a 2＋b 2
＝1
即：a 2＋b 2＝25， 由于a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，
所以，满足条件的情况只有a ＝3、b ＝4和a ＝4、b ＝3两种情况， 所以，直线ax ＋by ＋5＝0与圆x 2＋y 2＝1相切的概率是236＝118
. (2)∵三角形的一边长为5， ∴当a ＝1时，b ＝5， 当a ＝2时，b ＝5， 当a ＝3时，b ＝3、5， 当a ＝4时，b ＝4、5，
当a ＝5时，b ＝1、2、3、4、5、6， 当a ＝6时，b ＝5、6. ∴满足条件的情况共有14种．
故三条线段能围成等腰三角形的概率为1436＝7
18
.
10．(2015·陕西文，19)随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨．．．
的概率； (2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．
[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315
.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78
.
一、选择题
1．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A ＝{抽到一等品}，事件B ＝{抽到二等品}，事件C ＝{抽到三等品}，且已知P (A )＝0.65，P (B )＝0.2，P (C )＝0.1，则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( )
A ．0.7
B ．0.65 C.0.35 D ．0.3
[答案] D
[解析] 本题主要考查互斥事件概率的求解方法．由题意知事件A 、B 、C 互为互斥事件，记事件D ＝{抽到的是二等品或三等品}，则P (D )＝P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.2＋0.1＝0.3，故选D.
2．教室有4扇编号分别为a 、b 、c 、d 的窗户和2扇编号分别为x 、y 的门，窗户d 敞开，其余门和窗户均被关闭．为保持教室空气流通，班长在这些关闭的门和窗户中随机地敞开2扇，则至少有1扇门被敞开的概率为( )
A.23 B ．4
9
C.710 D ．712
[答案] C
[解析] 本题主要考查古典概型的概率求解问题．记“随机地敞开2扇门或窗”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：(a ，b )、(a ，c )、(a ，x )、(a ，y )、(b ，c )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共10种．记“至少有1扇门被敞开”为事件B ，则事件B 包含的基本事件有：(a ，x )、(a ，y )、(b ，x )、(b ，y )、(c ，x )、(c ，y )、(x ，y )，共7种，所以P (B )＝7
10
，故选C. 3．有五根细木棒，长度分别为1、3、5、7、9(cm)，从中任取三根，能搭成三角形的概率是( )
A.320 B ．25
C.15 D ．310
[答案] D
[解析] 以5根木棒中取3根有10种取法，而构成三角形只能有3种，3、5、7；5、7、9；3、7、9，∴P ＝3
10
.
4．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x 、y ，则log 2x y ＝1的概率为( )
A.16 B ．536
C.112 D ．12
[答案] C
[解析] 骰子朝上的面的点数x 、y 构成的有序数对(x ，y )共有36个，满足log 2x y ＝1，即2x ＝y 的有(1,2)、(2,4)、(3,6)，共3个，故所求概率P ＝336＝1
12
.
二、填空题
5．将一个各个面上均涂有红漆的正方体锯成27个大小相同的小正方体，从这些正方体
中任取一个，其中恰有2面涂有红漆的概率是________．
[答案] 4
9
[解析] 在27个小正方体中，有8个(8个顶点上)三面涂漆；12个(在12条棱上，每条棱上一个)，两面涂漆；6个(在6个面上，每个面上1个)一面涂漆，1个(中心)各面都不涂漆，∴所求概率为1227＝4
9
.
6．一个员工需在一周内值班两天，其中恰有一天是星期六的概率为____________． [答案] 2
7
[解析] 基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(1,7)，(2,3)，(2,4)(2,5)，(2,6)，(2,7)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(3,7)，(4,5)，(4,6)，(4,7)，(5,6)(5,7)，(6,7)}，恰有一天是星期六含6个基本事件，概率P ＝621＝2
7
，选B.
三、解答题
7．某外语学校英语班有A 1、A 2两位同学，日语班有B 1、B 2、B 3、B 4四位同学，俄语班有C 1、C 2两位同学共8人报名奥运会志愿者，现从中选出懂英语、日语、俄语的志愿者各1人，组成一个小组．
(1)写出一切可能的结果组成的基本事件空间并求出B 4被选中的概率； (2)求A 1和C 1不全被选中的概率．
[解析] (1)基本事件空间Ω＝{(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 1，C 2)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 2，C 2)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 3，C 2)，(A 1，B 4，C 1)，(A 1，B 4，C 2)，(A 2，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 2)，(A 2，B 2，C 1)，(A 2，B 2，C 2)，(A 2，B 3，C 1)，(A 2，B 3，C 2)，(A 2，B 4，C 1)，(A 2，B 4，C 2)}共16个．
其中B 4被选中的事件有4个． ∴B 4被选中的事件的概率为
416＝14
. (2)A 1和C 1全被选中的事件有(A 1，B 1，C 1)，(A 1，B 2，C 1)，(A 1，B 3，C 1)，(A 1，B 4，C 1)4个，
∴A 1和C 1全被选中的概率为
416＝14
. 故A 1和C 1不全被选中的概率为1－14＝3
4
.
8.(2015·山东潍坊高一期末测试)某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．
(1)求频率分布直方图中x的值；
(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；
(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．
[解析](1)由题意，得(0.010＋0.020＋0.030＋0.020＋x＋0.005)×10＝1，
解得x＝0.015.
(2)估计这次竞赛成绩的合格率为：
(0.030＋0.020＋0.015＋0.005)×10×100%＝70%.
(3)成绩在区间[40,50)人数为0.1×20＝2人，记为A1、A2；
成绩在区间[50,60)人数为0.2×20＝4人，记为B1、B2、B3、B4.
从成绩在[40,60)的学生中任选2人的所有基本事件有：(A1，A2)、(A1，B1)、(A1，B2)、(A1，B3)、(A1，B4)、(A2，B1)、(A2，B2)、(A2，B3)、(A2，B4)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共15个．
根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．
事件“2人的成绩在同一分组区间”所包含的基本事件是：
(A1，A2)、(B1，B2)、(B1，B3)、(B1，B4)、(B2，B3)、(B2，B4)、(B3，B4)共7个．
∴此2人的成绩在同一分组区间的概率为P＝7
15.。