高中数学：与不等式相关的概念

高中数学：与不等式相关的概念
一、“同向相加”与“同向相乘”
两个不等式“相加”或“相乘”，要注意施行的前提条件，两个不等式“相加”，只要同向就可以，如，，则。

而两个不等式“相乘”，不仅要求同向，而且两端还必须同号，如，，则，若，，则。

切记：同向不等式可以相加，不能相减；同向正值（负值）不等式可以相乘，不能相除。

二、不等式中的“分类讨论”与“分段讨论”
解不等式时的讨论可分为两种类型：分类讨论和分段讨论。

当讨论的对象与求解的对象不一致时，称为分类讨论，它主要针对不等式中的参数讨论：当讨论的对象与求解的对象一致时，称为分段讨论，它主要针对不等式中的未知数讨论。

因此对这两种类型的讨论结果的处理也不一样，分类讨论的结果应分情况进行分别表达，而分段讨论则要求各分段内部先求交集（即讨论对象的范围与求解出的范围求交集），然后再对所有各段的结果求并集，即为所求解的结果。

例如：在解不等式时，对x分三段讨论，每段的结果是：（1）当时，；（2）当时，；（3）当
时，恒成立。

最后的结果应为其并集，即为。

又如：在解关于x的不等式时，对参数分两类讨
论，分类的结果是：（1）时，；（2）时，。

三、均值定理“证明不等式”与“求函数最值”
利用均值定理证明不等式时，只需满足一个条件，即。

但利用均值定理求函数的最值时，要满足通常所说的“一正、二定、三相等”。

例如：当时，（1）证明；（2）求函数
的最小值。

（1）可以直接利用均值定理证明；而（2）求最
小值时，中的等号不成立，因此2不是最小值，事实上，因为，所以。

当且仅当，且，取等号，因此的最小值为。

四、“有解”与“对一切恒成立”借助数轴可知函数的值域为，“不等式有解”等价于“的最小值”，因此，只要求出的最小值即可，即。

而
“对一切恒成立”等价于“的最大值”，只要求出的最大值即可，即。

例如：不等式有解时，实数的范围是；而不等式对一切恒成立时，实数的取值范围是。

五、“差值比较法”与“商值比较法”
差值比较法与商值比较法是比较法的两种基本形式，也是比较实数大小的一种最根本方法。

要正确使用这两种方法，就必须清楚这两种方法的应用原理。

差值比较法的理论依据是不等式的基本性质“；
”；商值比较法的理论依据是“若且
；若，且”。

两者不同的是：差值比较法可以针对任意的两个数（或式子）；商值比较法针对两个正实数（或式子）。