三角函数诱导公式一-四

新知探究
题型探究
感悟提升
类型一 给角求值问题
【例 1】 求下列各三角函数式的值：
(1)sin 1 320°； (2)cos －316π； (3)tan (－945°)． [思路探索] 利用诱导公式将负角、大角的三角函数转化为锐角的 三角函数．
解 (1)法一 sin 1 320°＝sin (3×360°＋240°)＝sin 240°
新知探究
题型探究
感悟提升
课堂小结 1．诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角的三角函数
之间的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关 系“翻译”成三角函数之间的代数关系． 2．记忆诱导公式一～四的口诀是“函数名不变，符号看象 限”，其含义是公式两边的函数名称不变，符号则是将角α看 成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号． 3．利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基 本步骤是：
得：sin α＋cos α＝ 32，
对上式平方得：2sin α·cos α＝－79.
新知探究
题型探究
感悟提升
∵π2<α<π，∴sin α>0>cos α， 故 sin α－cos α＝ sin α－cos α2 ＝ sin2α＋cos2α－2sin α·cos α
＝
1－－79＝43.
(2)由(1)得：sin α·cos α＝－178，cos α－sin a＝－43，
新知探究
题型探究
感悟提升
类型三 三角函数式的化简
【例 3】 化简下列各式．
tan (1)
2π－coαssαin－－πs2iπn－5απ－coαs6π－α；
1＋2sin 290°cos 430° (2) sin 250°＋cos 790° .
[思路探索] (1)直接利用诱导公式化简即可． (2)可用诱导公式尽可能将角统一，去根号时注意三角函数值的正 负，从而达到化简目的．
新知探究
题型探究
感悟提升
课堂达标
1．计算 sin－π3的值为(
)．
A．－12
B．12
3 C. 2
D．－
3 2
解析
sin－π3＝－sin
π3＝－
3 2.
答案 D
新知探究
题型探究
感悟提升
2．如果角α、β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是 ( )． ①sin α＝sin β； ②sin α＝－sin β； ③cos α＝cos β； ④cos α＝－cos β. A．1 B．2 C．3 D．4 解析 ∵α＋β＝π，∴α＝π－β，∴sin α＝sin (π－β)＝sin β， 故①正确；②不正确；cos α＝cos (π－β)＝－cos β，故④正 确，③不正确． 答案 B
＝sin π－π3·cos π＋π3
＝sin
π3·－cos
π3＝－
3 4.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 给值求值问题 【例 2】 (2012·商丘高一检测)已知 cos (α－75°)＝－13，且 α 为第
四象限角，求 sin (105°＋α)的值．
[思路探索] 利用同角三角函数的基本关系式，由cos(α－75°)的值 求sin (α－75°)的值，再结合诱导公式求sin(105°＋α)的值．
sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)(cos2α＋sin αcos α＋sin2α)
＝－43×1－178＝－2227.
新知探究
题型探究
感悟提升
[题后反思] 本题体现了转化思想，解决本题可通过观察sin α＋ cos α与sin α－cos α的关系及cos3α－sin3α与cos α－sin α，sin αcos α的关系来解．通过这种转化，使复杂的问题变得简单明了，符 合处理数学问题时的简单化原则.
化简，再结合被求值的式子的特点，观察所给值的式子与被求式
的特点，找出它们之间的内在联系，特别是角之间的关系，恰当
地选择诱导公式．
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 2】 已知 cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求 sin(α－3π)＋ cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴32π<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α) ＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α) ＝－－45＋35＝15.
新知探究
题型探究
感悟提升
解
sin (1)原式＝cos
2π－α 2π－α·sin
－αcos
－α
cos π－αsin π－α
＝－cossinαα－－csoisnααscinosαα＝－csoins αα＝－tan α.
(2)原式＝
1＋2sin 360°－70°cos 360°＋70° sin 180°＋70°＋cos 720°＋70°
新知探究
题型探究
感悟提升
新知探究
题型探究
感悟提升
诱导公式一～四
新知导学
新知探究
题型探究
感悟提升
温馨提示：公式一～四可概括如下：k·2π＋α(k∈Z)，π＋α，－ α，π－α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，符号看象 限”(把α视为锐角)．
互动探究 探究点1 诱导公式中的角α只能是锐角吗？ 提示 角α不仅仅是锐角，可以是任意角．
新知探究
题型探究
感悟提升
解 ∵cos (α－75°)＝－13<0，且 α 为第四象限角，
∴α－75°是第三象限角．
∴sin (α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
＝－
1－－132＝－2
3
2 .
∴sin (105°＋α)＝sin 180°＋α－75°
＝－sin
(α－75°)＝2
3
2 .
[规律方法] 解答这类给值求值的问题，首先应把所给的值进行
新知探究
题型探究
感悟提升
【活学活用 1】 求 sin 2nπ＋23π·cos nπ＋43π的值(n∈Z)．
解
①当 n 为奇数时，原式＝sin
23π·－cos
4 3π
＝sin π－π3·－cos π＋π3
＝sin
π 3·cos
π3＝
23×12＝
3 4.
②当 n 为偶数时，原式＝sin 23π·cos 43π
＝sin
(180°＋60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
新知探究
题型探究
感悟提升
法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)
＝－sin
(180°－60°)＝－sin
60°＝－
3 2.
(2)法一 cos －316π＝cos 316π＝cos 4π＋76π
＝cos (π＋π6)＝－cos
数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如 1＝sin2α＋cos2α＝tan
π 4.
新知探究
题型探究
ห้องสมุดไป่ตู้
感悟提升
【活学活用 3】
化简下列各式．
(1)sincos－πα＋－απ··scions2－π＋π－αα；
cos 190°·sin －210° (2)cos －350°·tan －585°.
新知探究
题型探究
感悟提升
探究点2 诱导公式一～四主要有什么作用？ 提示 公式一的作用是：把不在0～2π范围内的角化为0～2π范围 内的角； 公式二的作用是：把第三象限角的三角函数化为第一象限角的三 角函数； 公式三的作用是：把负角的三角函数化为正角的三角函数； 公式四的作用是：把第二象限角的三角函数化为第一象限角的三 角函数． 因此，运用公式一～四可以将任一角的三角函数转化为锐角的三 角函数.
1．3 三角函数的诱导公式
第1课时 三角函数诱导公式一～四
【课标要求】 1．了解π＋α，π－α，－α的终边与角α的终边的关系，会推导π＋
α的正弦、余弦、正切公式． 2．掌握π＋α，π－α，－α的正弦、余弦、正切公式并能正确运
用． 【核心扫描】 1．理解诱导公式的推导．(难点) 2．诱导公式与同角三角函数基本关系的综合运用．(重点) 3．各种诱导公式的特点．(易混点)
＝
－1－sin2s7i0n°7＋0°ccooss7700°°＝|ccooss
70°－sin 70°－sin
70°| 70°
＝scions
70°－cos 70°－sin
7700°°＝－1.
新知探究
题型探究
感悟提升
[规律方法] 三角函数式的化简方法：
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函
化归思想．
新知探究
题型探究
感悟提升
【示例】
已知 sin (π－α)－cos (π＋α)＝
2π 3 2<α<π.
求：(1)sin α－cos α；
(2)sin3(2π－α)＋cos3(2π－α)的值．
[思路分析] 借助同角三角函数基本关系及立方差公式求解． 解 (1)已知 sin (π－α)－cos (π＋α)＝ 32，
新知探究
题型探究
感悟提升
3．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1＝________.
解析 原式＝(－sin α)2－(－cos α)cos α＋1＝sin2α＋cos2α＋1
＝2.
答案 2 4．设 tan(5π＋α)＝m，则sisninα－－α3π－＋cocsosπ＋π－αα ＝________.
π6＝－
3 2.
法二 cos －316π＝cos －6π＋56π
＝cos
π－π6＝－cos
π6＝－
3 2.
新知探究
题型探究
感悟提升
(3)tan (－945°)＝－tan 945°＝－tan (225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan (180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. [规律方法] 此问题为已知角求值，主要是利用诱导公式把任意 角的三角函数转化为锐角的三角函数求解．如果是负角，一般先 将负角的三角函数化为正角的三角函数．
方法技巧 转化与化归思想在求三角函数式值中的应用
利用诱导公式一、二、三、四，可以把任意角的三角函数值转
化为锐角的三角函数值．基本步骤：任意负角的三角函数
公式――三→或一相应的正角的三角函数公――式→一0 到 2π 角的三角函数
公式――二→、四锐角的三角函数―查―表→三角函数值．其步骤可简记
为“负化正，大化小”，充分体现了将未知化为已知的转化与
解析 tan(5π＋α)＝tan α＝m，
sisninα－－α3π－＋cocsosπ＋π－αα ＝－ －ssiinn
α－cos α＋cos
αα＝ssiinn
α＋cos α－cos
αα＝ttaann
α＋1 α－1
＝mm＋ －11.
答案
m＋1 m－1
新知探究
题型探究
感悟提升
5．化简：sin2πs－inα3πsi－nαπ＋·coαscπo－s－απ－α. 解 原式＝－ssininαπ－－sαin·α－ccoossπα＋ α＝ssiinn2αα·－－ccooss αα＝sin α.
解
(1)原式＝－sin－πc＋osαα··csoins
α π＋α
＝scionsαα·csions αα＝1.
新知探究
题型探究
感悟提升
(2)原式＝cocsos－138600°°＋＋1100°°[[－－stiann138600°°＋＋3202°5]°]
＝ cos
10－°·c[－os t1a0n°·s1i8n03°＋0°45°]＝－t－an1245°＝12.