高中数学 2.3 数学归纳法课后知能检测 苏教版选修22(1)

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.3 数学归纳
法课后知能检测 苏教版选修2-2
一、填空题
1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1
，则当n ＝1时f(n)为________． 【解析】 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13＝116
. 【答案】 116
2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起
始值n 0应取值________．
【解析】 ∵当n ＝1时，21＝12＋1，由n ＝2时，22<22＋1，当n ＝3时，23<32
＋1，当n ＝4时，24<42＋1，当n≥5时，2n >n 2＋1恒成立．
∴n 0＝5.
【答案】 5
3．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n
，则从“n＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上________．
【解析】 当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k
，当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2
. 比较以上两式发现，从“n＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上
12k ＋1－12k ＋2. 【答案】 12k ＋1－12k ＋2 4．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n
，则a 2 014＝________． 【解析】 a 2＝1－2＝－1，a 3＝1＋1＝2，a 4＝1－12＝12
， ∴以3为一个周期，∴a 2 014＝a 1＝12
.
【答案】 12
5．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2
)n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________．
【解析】 要想办法出现a
k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的(a ＋b 2)k ＋1. 【答案】 a ＋b 2
6．用数学归纳法证明：n∈N *，3
4n ＋2＋52n ＋1一定能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．
【解析】 3
4(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋2·34＋52k ＋1·52＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋2.
【答案】 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×3
4k ＋2 7．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n∈N *)，某学生证明过程如下：
(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；
(2)假设n ＝k(k∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1(k∈N *)，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题成立．
上述证法的错误在于________．
【解析】 在(2)中，不是由n ＝k 命题成立推证n ＝k ＋1时命题成立．
【答案】 没用归纳假设
8．用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f(n)＝12
n(n －3)(n≥4)时，f(k ＋1)与f(k)的关系是________．
【解析】 假设n ＝k(k≥4，k ∈N *)时成立，则f(k)＝12
k(k －3)， 当n ＝k ＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k ＋1－2＝k －1条，所以f(k ＋1)＝f(k)＋k －1.
【答案】 f(k ＋1)＝f(k)＋k －1
二、解答题
9．设n∈N *，利用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9是36的倍数．
【证明】 (1)当n ＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，结论显然成立．
(2)假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；
那么，当n ＝k ＋1时，有f(k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k
－1－1)．
由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除．
这就是说，当n ＝k ＋1时，f(n)也能被36整除．
由(1)(2)可知对一切n∈N *，都有f(n)＝(2n ＋7)·3n
＋9是36的倍数．
10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n
(n≥2，n ∈N *)． 【证明】 (1) 当n ＝2时，左式＝122＝14
， 右式＝1－12＝12
. 因为14＜12
，所以不等式成立． (2)假设n ＝k(k≥2，k ∈N *)时，不等式成立．
即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k
， 则当n ＝k ＋1时，
122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2＜1－1k ＋1
（k ＋1）2 ＝1－k 2＋k ＋1k （k ＋1）2＜1－k （k ＋1）k （k ＋1）2＝1－1k ＋1
， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．
综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．
11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明． 【解】 由a n ＋1＝12－a n
，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23
＝34， a 5＝12－34
＝45，…. 归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n
(n ＝1，2，3，…)． 下面用数学归纳法证明这个猜想：
(1)当n ＝1时，猜想显然成立．
(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k
，
那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k －1k ＝k k ＋1＝（k ＋1）－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．
根据(1)和(2), 可知猜想a n ＝n －1n
对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式．。