2021-2022学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第三次月考数学(理)试题(解析版)

2021-2022学年陕西省咸阳市武功县普集高中高二下学期第
三次月考数学（理）试题
一、单选题
1．若复数z 满足()12i 5z -=，则z =（ ）
A
B ．5
C D ．3
【答案】A
【分析】根据复数的运算法则，求得i 12z =+，结合复数模的公式，即可求解. 【详解】由题意，复数z 满足()12i 5z -=，可得()()()
512i 512i 12i 12i 12i z +=
==+--+，
所以z =故选：A.
2．已知()4
2340123421x a a x a x a x a x -=++++，则1234a a a a +++=（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
【答案】B
【分析】利用赋值法计算可得；
【详解】解：因为()4
2340123421x a a x a x a x a x -=++++， 令0x =则01a =，令1x =则012341a a a a a ++++=， 所以12340a a a a +++=； 故选：B 3．
()20
cos x x dx π
-=⎰（ ）
A ．2
18
π-
B ．2
18
π- C ．2
18
π--
D ．
2
18
π+
【答案】B
【分析】根据微积分基本定理即可直接求出答案.
【详解】222222
00
111(cos )(sin )|()sin (0sin 0) 1.222228x x dx x x π
π
πππ--⎡⎤-==⨯-⨯=-⎢⎥⎣⎦
-⎰
故选：B.
4．天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法．天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支有十二，即：子、丑、
寅、卯、辰、已、午、未、申、西、戌、亥．干支纪年法中，天干地支对应的规律如表：
2021年是中国共产党成立100周年，这一百年，中国由贫穷落后到全面建成了小康社会．到2049年，新中国成立100年，我们国家将建成富强、民主、和谐、美丽的社会主义现代化国家．使用干支纪年法，2021年是辛丑年，2049年是（ ）年．A ．甲申
B ．丙戌
C ．戊寅
D ．己巳
【答案】D
【分析】分析天干地支纪年法的规律，即得解.
【详解】解：根据题意，天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．
由天干地支纪年法中，对应的规律可得，2021年是辛丑年，可以推知2049年时，天干中对应的是“已”，地支中对应的是“巳”，所以2049年是己巳年． 故选：D ．
5．已知随机变量X 服从二项分布X ~B (4，1
3)，()2P X ==（ ）
A ．13
B ．23
C ．89
D ．
827
【答案】D
【分析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项. 【详解】∵随机变量X 服从二项分布X ~B (4，1
3
)，
∴()2
2
24
118213327
P X C ⎛⎫
⎛⎫
==⋅⋅-=
⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭. 故选：D.
6．用数学归纳法证明()
()33112332
n n n n +++++
+=
∈N ，则当1n k =+时，等式的左边应在n k =的基础上增加的项数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【分析】分析n k =、1n k =+时等式的左边的代数式，可得结果. 【详解】当n k =时，等式的左边是1233k ++++，等式左边共3k 项，
当1n k =+时，等式的左边是()()()1233313231k k k k +++
+++++++，等式左边共
33k +项，
增加了31k +、32k +、()31k +，共3项. 故选：C.
7．函数()ln(1)f x x x =--，当x =m 时函数()f x 取得极大值n ，则m +n 的值为（ ） A ．－2 B ．2 C ．0 D ．1
【答案】C
【分析】利用导数探讨函数()f x 的极值点、求出极大值即可计算作答. 【详解】函数()ln(1)f x x x =--的定义域为(1,)+∞，求导得1
()11
f x x '=--，由()0f x '=得2x =，
当12x <<时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，因此，函数()f x 在2x =处取得极大值
(2)2f =-，
所以2,2m n ==-，则0m n +=. 故选：C
8．如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A ．72
B ．48
C ．36
D ．24
【答案】A
【分析】分两种涂色方法：涂4种颜色和3种颜色，首先确定可涂相同颜色的区域，再应用分类分步计数求不同的涂色方案数.
【详解】
由图知：(1,3),(2,4)两组颜色可以相同，
若涂4种颜色：(1,3)颜色相同，则4种选一种涂(1,3)有1
4C ，余下3种颜色涂3个区域
有3
3A ，共1343C A 24=种，同理(2,4)颜色相同也有24种；
若涂3种颜色，则(1,3)、(2,4)分别涂相同的颜色，首先4种颜色选3种有3
4C 种，再所
选3种中选一种涂5有1
3C 种，余下2种颜色涂(1,3)、(2,4)个区域有22A ，
共有312432C C A 24=种；
综上，共有72种. 故选：A
9．已知21
4
xy =-，则6(2)x y -的展开式中常数项为（ ）
A ．60
B ．-60
C ．-15
D ．15
【答案】D
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】二项式6(2)x y -的通项公式为：()616
C 2r
r r
r T x y -+=-， 因为2
14
xy =-，所以24116x y =，所以令4r =，得42446651C 21615216x y ⨯=
⨯⨯=， 故选：D
10．目前国家为进一步优化生育政策，实施一对夫妻可以生育三个子女的政策．假定生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么在此条件下该家庭也有男孩的概率是（ ）． A ．1
2
B ．23
C ．34
D ．67
【答案】D
【分析】利用列举法及古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】解：因为随机选择一个有三个小孩的家庭，知道这个家庭有女孩，基本事件有：（女女女），（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共7个，
其中该家庭也有男孩包含的基本事件有：（女女男），（女男女），（男女女），（女男男），（男女男），（男男女），共6个，
所以已经知道这个家庭有女孩的条件下该家庭也有男孩的概率是67
P =， 故选：D ．
11．曲线y =x ＝1以及坐标轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为（ ）
A ．π
B ．
2
π C ．2π
D ．
32
π 【答案】D
【分析】利用微积分基本定理求得正确结果. 【详解】旋转体的体积为(
)
()221
1
1000
11|2x x dx x dx x πππ⎛⎫
+=+=+ ⎪⎝⎭
⎰⎰ 13122
ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.
故选：D
12．若函数()e ,[2,4]x f x a x x =-∈，在定义域内任取两个不相等的实数12,x x ，不等式
()()
12123f x f x x x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．42,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．24e ,⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
C ．44,e ⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
D ．22,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【答案】B
【分析】由原不等式恒成立转化为()()112233f x x f x x -≥-，构造函数()()3g x f x x =-，问题转化为()g x 在[2,4]上单调递增，利用导数求解即可得解. 【详解】根据题意由
()()
1212
3f x f x x x -≥-在[2,4]上恒成立，
不妨设1242x x ≥>≥，则
()()
1212
3f x f x x x -≥-可变形为()()112233f x x f x x -≥-，
设()()3g x f x x =-，则函数()g x 在[2,4]上单调递增， 即()e 40x g x a =-≥'在[2,4]上恒成立，
所以4e x a ≥
，令max
244(),()e e x h x h x ==，因此2
4
e a ≥． 故选：B 二、填空题
13．若函数()x f x e ax b =-+在0x =处的切线方程为y x =，则a b -=___________． 【答案】1
【分析】对函数进行求导，利用导数的几何意义和已知切线的方程进行求解即可. 【详解】()x f x e a '=-，由于曲线()x f x e ax b =-+在0x =处的切线方程是y x =，
所以()0
01f e a '=-=，0a =，由0(0)01f e b b =-+=+得切点为()01
b +，， 切点在切线上，
所以01b =+，得1b =-， 所以1a b -=. 故答案为：1. 14．由抛物线2y x x ，直线1x =-及x 轴围成的图形的面积为___________
【答案】1
【分析】画出由抛物线2y x x ，直线1x =-及x 轴围成的图形，面积可用定积分表示
为：
1
221
()|()|S x x dx x x dx -=-+-⎰⎰，计算即得解
【详解】由题意，由抛物线2y x x ，直线1x =-及x 轴围成的图形如下图阴影部分所
示：
可用定积分表示为：
1
221
()|()|S x x dx x x dx -=-+-⎰⎰
01
221
32
230110
=()()=[]|[]|322351166x x dx x x dx
x x x x ---+--+-=+=⎰⎰
故答案为：1
【点睛】本题考查了定积分在曲边梯形面积表示中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题
15．冰墩墩（Bing Dwen Dwen ）是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．将6个不同的冰墩墩分配到甲乙丙丁4人，每人至少分配1个冰墩墩，则不同的分配方案共有__________种．（用数字作答） 【答案】1560
【分析】根据题意可知有两个人各分得2个、两个人各分得1个和有一个人分得3个、其余三人各分得1个两种情况，结合平均分配的思想方法与分步乘法计数原理即可求出结果.
【详解】根据题意，有两种情况：
一、有两个人各分得2个，两个人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有26C 种选法，然后再从剩余4个冰墩墩中任选2个，组成一个小组，有2
4C 种选法；然后连同两个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的元素在四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!
2
种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有2
2
644!
10802
C C ⨯⨯
=种不同的分配方案； 二、有一个人分得3个，其余三人各分得1个，可以先从6个冰墩墩中任选3个，组成一个小组，有3
6C 种选法；然后连同其余三个冰墩墩，看成四个元素，四人看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4!种，根据分步乘法计数原理，完成这件事，共有3
64!8C 40⨯=种不同的分配方案． 综上，不同的分配方案共有10804801560+=种． 16．函数()x x
f x e
=在区间[]0,3上的最小值为_________. 【答案】0
【分析】利用导数得到函数单调性，即可求解. 【详解】由题意可得()1x
x
f x e -'=
当()0,1x ∈时，()0f x >′
；当()1,3x ∈时，()0f x <′
所以函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减，所以()min (0)0f x f == 故答案为：0 三、解答题
17．用综合法或分析法证明以下问题： (1)若,,x y z 是互不相等的实数，且111
x y z y z x
+
=+=+，求证：2221x y z =．
(2)已知,,,(0,)a b c d ∈+∞.求证：ac bd +≤ 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析
【分析】（1）综合法，从已知条件入手，解出,,yz zx zy ，再相乘，即可证明；
（2）分析法，从要证明的不等式入手，两边平方，逐步寻找使不等式成立的充分条件，即可证明.
【详解】(1)证明：（综合法） 由已知111
x y z y z x
+=+=+ 得出： 11x y y z
+
=+，. 11y z
x y z y yz
-∴-=-=， y z
yz x y
-∴=
-，① 同理得出z x zx y z -=
-，② x y
xy z x
-=
-③. ①⨯②⨯③得2221x y z =． 从而原题得证 (2)证明：(分析法)
因为a ，b ，c ，()0d ∈+∞，
，
所以 欲证ac bd +≤
只需证： ()()22222
()ac bd a b c d +≤++，
即证： 2222222222222a c abcd b d a c b d a d b c ++≤+++， 即证： 22222abcd a d b c ≤+， 即证： 20()bc ad ≤-
而a ，b ，c ，()0d ∈+∞，
，20()bc ad ≤-显然成立，
故原不等式成立．
18．已知函数()ln 21f x x x =-+． (1)求曲线()f x 在1x =处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间． 【答案】(1)0x y +=
(2)()f x 的单调的单调增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
；单调减区间为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
【分析】(1)求出函数的导数，计算()1f ，()1f '的值，利用直线的点斜式方程求出切线方程即可；
(2)求出函数的导数，令()0f x '>、()0f x '<，即可求出函数的单调区间. 【详解】(1)函数()f x 的定义域为(0,)+∞， ∵()1122x
f x x x
-'=
-=， ∴()11f '=-，所求的切线斜率为-1， 又(1)0211f =-+=-，所以切点为()1,1- 故所求切线方程为1(1)y x +=--，即0x y +=； (2)函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 则()1122x f x x x
-'=
-=， 令()0f x '>得102
x <<
，令()0f x '<得1
2x >.
故函数()f x 的单调递增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,2⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭.
19．在12n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，第三项系数与第二项的系数的比值为74-.
(1)求n 的值；
(2)该展开式中是否有常数项，若有，请求出；若没有，请说明理由. 【答案】(1)8n =； (2)35
8
. 【分析】利用二项式的通项公式结合已知对（1）（2）进行求解即可.
【详解】(1)二项式12n
x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的通项公式为：
2111C ()C ()22
r n r
r r n r
r r n n T x x x --+=-
=-，
因为第三项系数与第二项的系数的比值为7
4
-，
所以有
22111(1)1C ()7722481144C ()()22n n
n n n n --⋅=-⇒=-⇒=-⋅-，或0n =舍去， 即8n =；
(2)由（1）可知：该二项式的通项公式为：8218
1C ()2r r
r r T x -+=-， 令8204r r -=⇒=，所以存在常数项，为4
48135C ()28
-=
. 20．甲、乙、丙三人射击同一目标，各射击一次，已知甲击中目标的概率为3
5，乙与丙
击中目标的概率分别为,m n ()m n >，每人是否击中目标是相互独立的．记目标被击中的次数为ξ，且ξ的分布列如下表：
（1）求,m n 的值； （2）求ξ的数学期望． 【答案】（1）23
m =
，12n =；（2）53
30E ξ=．
【详解】试题分析：本题主要考查独立事件、概率、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，结合分布列中的概率，利用独立事件，列出两个关于m 和n 的方程，联立，解出m 、n 的值；第二问，利用第一问的m 、n ，继续运用独立事件的概率分别计算a 和b ，最后利用1122n n E P P P ξξξξ=++
+，计算数学期望．
试题解析：设甲、乙、丙各自击中目标分别为事件A 、B 、C
（1）由题设可知0ξ=时，甲、乙、丙三人均未击中目标，即(0)()P P ABC ξ== ∴()()()21
011515
P m n ξ==
--=， 化简得()5
6
mn m n -+=- ①
同理， ()311
3553
P m n mn ξ==⨯⨯=⇒= ②
联立①②可得23
m =
，1
2n = ……6分
（2）由题设及（Ⅰ）的解答结果得：(1)()P P ABC ABC ABC ξ==++
()3112212113153253253210
a P ξ∴===⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 1311311510530
b ⎛⎫∴=-++= ⎪⎝⎭ 13131530123151030530
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯= 21．已知函数()()1ln x f x a a x +=
-∈R . (1)若0a =，求()f x 的单调区间；
(2)若()0f x ≤在(0,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.
【答案】(1)增区间为()0,1，减区间为()1,+∞；
(2)1a ≥.
【分析】(1)求f (x )的定义域和导数，在定义域内研究其导数的正负，由此即可判断f (x )的单调区间；
(2)参变分离不等式，构造函数()1ln x F x x
+=
，利用导数求F (x )的最大值即可得a 的范围.
【详解】(1)0a =时，()()21ln ln x x f x f x x x '+-==，. ()01x ∈，时，()()0f x f x '>，单调递增，
()1x ∈+∞，时，()()0f x f x '<，单调递减，
∴()f x 的增区间为()01，，减区间为()1+∞，
； (2)由()0f x ≤在()0+∞，上恒成立，故1ln x a x
+≤， 设()1ln x F x x +=，则()2ln x F x x -='. 当()01
x ∈，时，F (x )单调递增；当()1x ∈+∞，时，F (x )单调递减， 故()()max 11F x F ==，故1a ≥.
22．中国神舟十三号载人飞船返回舱于2022年4月16日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今为止在太空轨道上停留时间最长的一次任务，神州十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取8名学生，对他们的航天知识进行评分调查（满分100分），被抽取的学生的评分结果如下茎叶图所示：
(1)若分别从甲、乙两个班级被抽取的8名学生中各抽取1名，在已知两人中至少有一人评分不低于80分的条件下，求抽到的甲班级学生评分低于80分的概率；
(2)用样本的频率分布估计总体的概率分布，若从甲班级所有学生中，再随机抽取4名学生进行评分细节调查，记抽取的这4名学生中评分不低于90分的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
【答案】(1)7 31
(2)分布列见解析，1
【分析】（1）利用条件概率公式求解即可;
（2）由已知可得
1
~4,
4
B
ξ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，根据公式即可得到分布列与数学期望.
【详解】(1)设事件A为两人中至少一人评分不低于80，事件B为甲班级学生评分低于80；
则()
()
()
277
882131 n AB
P B A
n A ⨯
===
⨯-⨯
；
(2)由题意知，
1
~4,
4
B
ξ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，则()
4
4
13
C
44
k k
k
P k
ξ
-
⎛⎫⎛⎫
== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
．
所以其分布列如下：
ξ0 1 2 3 4
P
81
256
27
64
27
128
3
64
1
256 ()1
41
4
Eξ=⨯=.。