人教新课标版数学高二选修1-1练习2-2-1双曲线及其标准方程(2)

2．已知方程x 21＋k －y 2
1－k
＝1表示双曲线，则k 的取值范围是( ) A ．－1<k <1 B ．k >0
C ．k ≥0
D ．k >1或k <－1
[答案] A
[解析] 由题意得(1＋k )(1－k )>0，∴(k －1)(k ＋1)<0，∴－1<k <1.
3．动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都相外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A ．双曲线的一支
B ．圆
C ．抛物线
D ．双曲线
[答案] A
[解析] 设动圆半径为r ，圆心为O ，x 2＋y 2＝1的圆心为O 1，圆x 2＋y 2－8x ＋12＝0的圆心为O 2，
由题意得|OO 1|＝r ＋1，|OO 2|＝r ＋2，
∴|OO 2|－|OO 1|＝r ＋2－r －1＝1<|O 1O 2|＝4，
由双曲线的定义知，动圆圆心O 的轨迹是双曲线的一支．
8．已知点F 1(－4,0)和F 2(4,0)，曲线上的动点P 到F 1、F 2距离之差为6，则曲线方程为( )
A.x 29－y 27＝1
B.x 29－y 27＝1(y >0)
C.x 29－y 27＝1或x 27－y 29＝1
D.x 29－y 27＝1(x >0)
[答案] D
[解析] 由双曲线的定义知，点P 的轨迹是以F 1、F 2为焦点，实
轴长为6的双曲线的右支，其方程为：x 29－y 27＝1(x >0)
9．已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，在左支上过F 1的弦AB 的长为5，若2a ＝8，那么△ABF 2的周长是( )
A ．16
B ．18
C ．21
D ．26 [答案] D
[解析] |AF 2|－|AF 1|＝2a ＝8，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝8，
∴|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝16，
∴|AF 2|＋|BF 2|＝16＋5＝21，
∴△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝21＋5＝26.
10．若椭圆x 2m ＋y 2n ＝1(m >n >0)和双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)有相同的焦点，P 是两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )
A ．m －a
B ．m －b
C ．m 2－a 2 D.m －b
[答案] A
[解析] 设点P 为双曲线右支上的点，
由椭圆定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2m ，
由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a .
∴|PF 1|＝m ＋a ，|PF 2|＝m －a ，
∴|PF 1|·|PF 2|＝m －a .
14．一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
[答案] x 24－y 212＝1(x ≤－2)
[解析] 设动圆圆心为P (x ，y )，由题意得
|PB |－|PA |＝4<|AB |＝8，
由双曲线定义知，点P 的轨迹是以A 、B 为焦点，且2a ＝4，a ＝2的双曲线的左支．
其方程为：x 24－y 212＝1(x ≤－2)．
17．已知双曲线x 2－y 22＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且
MF 1→·MF 2→＝0，求点M 到x 轴的距离．
[解析] 解法一：设M (x M ，y M )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，MF 1
→＝(－3－x M ，－y M )，MF 2→＝(3－x M ，－y M
) ∵MF 1→·MF 2→＝0，
∴(－3－x M )·(3－x M )＋y 2M ＝0，
又M (x M ，y M )在双曲线x 2－y 22＝1上，∴x 2M －y 2M 2＝1，
解⎩⎪⎨⎪⎧ (－3－x M )(
3－x M )＋y 2M ＝1x 2M －y 2M 2＝1得y M ＝±233，
∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233.
解法二：连结OM ，设M (x M ，y M )，∵MF 1→·MF 2→＝0，
∴∠F 1MF 2＝90°，∴|OM |＝12|F 1F 2|＝3，
∴
x 2M ＋y 2M ＝3① 又x 2M －y 2M 2
＝1② 由①②解得y M ＝±233，
∴M 到x 轴的距离是|y M |＝233.
18．在面积为1的△PMN 中，tan ∠PMN ＝12，tan ∠MNP ＝－2，
建立适当坐标系．求以M 、N 为焦点且过点P 的双曲线方程．
[解析] 解法一：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系．设P (x 0，y 0)，M (－c,0)，N (c,0)(y 0>0，c >0)．(如图)
则⎩⎪⎨⎪⎧ y 0x
0＋c ＝12，y 0x 0－c ＝2，12·2c ·y 0＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝536，y 0＝233，c ＝32.
设双曲线方程为x 2a 2－y 234
－a 2＝1，
将点P ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫536，233代入，可得a 2＝512. ∴所求双曲线方程为x 2512－y 2
13
＝1.
解法二：以MN 所在直线为x 轴，MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，作PA ⊥x 轴于A 点．
设P (x 0，y 0)，M (－c,0)，N (c,0)，(y 0>0，c >0)(如图所示)
因为tan ∠MNP ＝－2，所以tan ∠xNP ＝2，
故PA AN ＝2，PA AM ＝12，
即AN ＝y 02，AM ＝2y 0，
所以2c ＝32y 0，即y 0＝43c ，
又因为S △PMN ＝1，所以12MN ·PA ＝1，
即12×2c ×43c ＝1，∴c ＝32， 而2a ＝PM －PN
＝y 20＋(2y 0)2－y 20＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12y 02 ＝5y 0－52y 0＝153，
∴a ＝156， 故所求双曲线方程为x 2512－y 213
＝1.。