吉林省五地六校2021年高考复习数学模拟试卷(理科)

）
A．
B．
习 ）＝（2x+2﹣x）l
C． D．
【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】38：对应思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性和零点个数，以及利用极限思想进行求解即可． 【解答】解：f（﹣x）＝（2﹣x+2x）ln|﹣x|＝（2x+2﹣x）ln|x|＝f（x），则 f （x ）是偶函数，排除D ， 由 f（x）＝0 得 ln|x|＝0 得|x|＝1，即 x＝1 或 x＝﹣1，即 f（x）有两个零点，排除 C， 当 x→+∞，f（x）→+∞，排除 A， 故选：B．
2，|→푏|
=
1，且|→푏
+
→
푎|
=
→→
2，则向量a 与 b 的夹角
的余弦值为（ ）
2 A． 2
2 B． 3
2 C． 8
2 D． 4
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5A：平面向量及应用．
→→
【分析】利用已知条件，结合斜率的数量积转化求解向量a与b的夹角的余弦值．
【分析】利用已知条件化简，转化求解即可．
【解答】解：푎1
1
+
푎1
2
+
푎1
3
=
푎1 + 푎3 푎1푎3
+
푎1
2
=
푎1
+
푎2 푎22
+
푎3
=
푆 43
=
2，则
S3＝8．
9
故选：A．
【点评】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想．
6．（5 分）（2021•辽宁三模）已知向量→a，→b满足|→푎| =
月份 x
1
2
3
4
利润 y/万元
5
6
6.5
8
利用线性回归分析思想，预测出 2021 年 8 月份的利润为 11.6 万元，则 y 关于 x 的线性回归方程为
15．（5 分）若一个圆柱的轴截面是面积为 4 的正方形，则该圆柱的外接球的表面积为
．
16．（5 分）若函数 f（x）＝ex﹣ax2 有极值点，则 a 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题为必
3
考题，每道试题考生都必须作答．第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共 60 分． 2푠푖푛퐵푠푖푛퐶
17．（12 分）在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，bsinB+csinC＝a（ 푠푖푛퐴 + sinA） （1）求 A 的大小； （2）若 a = 2，B = 휋3，求△ABC 的面积
【点评】本题考查抛物线的简单性质以及抛物线与圆的位置关系的应用，是基本知识的考查．
5．（5
分）（2021• 辽 宁 三 模 ） 已 知 等 比 数 列 {a n}的 前
n
项和为
S
n，若
1 푎1
+
1 푎+
2
1 푎=
3
2，a
2＝2，则
S
3＝
（）
A．8
B．7
C．6
D．4
【考点】87：等比数列的性质．
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．
（）
A．3.1419
B．3.1417
C．3.1415
D．3.1413
8．（5 分）已知函数 f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0）的最小正周期为 π，且对 x∈R，f(x) ≥ f(휋3)，恒成 立，若函数 y＝f（x）在[0，a]上单调递减，则 a 的最大值是（ ）
휋 A．6
휋 B．3
2휋 C． 3
A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|x≤﹣2 或 x≥2} C．{x| - 2 ≤ 푥 ≤ 2} D．{x|x ≤- 2或푥 ≥ 2}
【考点】1F：补集及其运算．
【专题】11：计算题；4O：定义法；5J：集合；65：数学运算．
【分析】利用补集的定义，判断 A 集合，求解即可． 【解答】解：已知集合 A＝{x|x2＜2}，解得：A = {x| - 2＜푥＜ 2}， 所以∁RA＝{x|x ≤- 2或 x ≥ 2} 故选：D．
8
【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用奇偶性，零点个数以及极限思想是解决本题的关 键．
4．（5 分）（2021•辽宁三模）已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的准线 l 与圆 M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝ 16 相切，则 p＝（ ）
A．6
B．8
C．3
D．4
【考点】KJ：圆与圆锥曲线的综合．
【解答】解：由题意可知|→푎| =
2，|→푏|
=
1，且|→푏
+
→
푎|
=
2，可得
→
3+2a
⋅
→
푏
=
→
4，解得a
⋅
→
푏
=
1 2，
→→
→→
12
向量a与b的夹角的余弦值：cos＜푎，푏＞ = 2 2 = 4 ．
2 C． 8
2 D． 4
7．（5 分）“割圆术”是刘徽最突出的数学成就之一，他在《九章算术注》中提出割圆术，并作为计算圆 的周长、面积以及圆周率的基础刘徽把圆内接正多边形的面积直算到了正 3072 边形，并由此而求得了 圆周率为 3.1415 和 3.1416 这两个近似数值，这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确数据．如图， 当分割到圆内接正六边形时，某同学利用计算机随机模拟法向圆内随机投掷点，计算得出该点落在正 3 六边形内的频率为 0.8269，那么通过该实验计算出来的圆周率近似值为（参考数据0.826 = 2.0946）
ABCD 内的射影，M 是 PC 的中点，则异面直线 OP 与 BM 所成角为（ ）
2
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
푥2 푦2
24
11．（5 分）知双曲线푎2 ‒ 푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F 2，过 F 2且斜率为 7 的直线与
→
→
→
双曲线在第一象限的交点为 A，若（F2퐹1 + F2퐴）•F1퐴 = 0，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
푎 + 푏푖 【解答】解：由 1 ‒ 푖
=
2
+
푖3，得
a+bi＝（1﹣i）（2﹣i）＝1﹣3i，
7
则 a＝1，b＝﹣3． ∴ab＝﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．
高 复习 3．（5 分）（2021•辽宁三模）已知函数 f（x
n|x|的图象大致为（
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题．每小题 5 分．共 20 分．把答案填在答题卡中的横线上．
{x - 2 ≥ 0
13．（5
分）设
x，y
满足约束条件
푥
푦+2≥0 + 2푦 ‒ 6 ≤
，则 0
z＝x+y
的最小值是
14．（5 分）某公司对 2021 年 1～4 月份的获利情况进行了数据统计，如表所示：
2021 年吉林省五地六校高考数学模拟试卷（理科）（6 月份）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
1．（5 分）已知集合 A＝{x|x2＜2}，则∁RA＝（ ）
A．{x|﹣2≤x≤2} B．{x|x≤﹣2 或 x≥2} C．{x| - 2 ≤ 푥 ≤ 2} D．{x|x ≤- 2或푥 ≥ 2}
22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐
휋
2
标方程为 ρcos（θ + 4） = 2 ，曲线 C 的极坐标方程为 ρ﹣6cosθ＝0．
（1）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程； （2）已知点 M（1，0），若直线 l 与曲线 C 交于 P，Q 两点，求|MP|2+|MQ|2 的值 [选修 4-5：不等式选讲]
5휋 D． 6
9．（5 分）已知函数 f（x）＝2|x|+x2，设m = f(푙표푔213)，n＝f（7﹣0.1），p＝f（log425），则 m，n，p 的大小 关系为（ ）
A．m＞p＞n
B．p＞n＞m
C．p＞m＞n
D．n＞p＞m
10．（5 分）在四棱锥 P 一 ABCD 中，所有侧棱都为 4 2，底面是边长为 2 6的正方形，O 是 P 在平面
21．（12 分）已知函数 f（x）＝lnx，g（x）＝x﹣1．
（1）当 k 为何值时，直线 y＝g（x）是曲线 y＝kf（x）的切线；
（2）若不等式g( 푥) ≥ 푎푓(푥)在[1，e]上恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计 分．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
（） A．6
B．8
C．3
D．4
111
5．（5
分）已知等比数列{an}的前
n
项和为
Sn，若푎1
+
푎
2
+
푎
3
=
2，a2＝2，则
S3＝（
）
1
A．8
B．7
C．6
D．4
6．（5
分
）
已
知
向
量
→
a，
→
b满足Βιβλιοθήκη |푎→|=2，
|
푏→|
=
1，
且
|
→
푏
+
→
푎|
=
2，
则
向
量
→
a与
→
b的
夹
角
的
余
弦
值
为
（）
2 A． 2
2 B． 3
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方 程．
【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可． 푝
【解答】解：抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的准线 l：y =- 2与圆 M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16 相切， 푝
可得2 + 2 = 4，解得 p＝4． 故选：D．
푥2 푦2 A． 4 ‒ 3 = 1
푥2 B． 3
‒
2
푦4
=
1
푥2 C．16
‒
푦92
=
1
D．푥92
‒
푦2 16
=
1
12．（5 分）数列{an}为 1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，…，首先给出 a1＝1，接着复 制该项后，再添加其后继数 2，于是 a2＝1，a3＝2，然后再复制前面所有的项 1，1，2，再添加 2 的后 继数 3，于是 a4＝1，a5＝1，a6＝2，a7＝3，接下来再复制前面所有的项 1，1，2，1，1，2，3，再添 加 4，…，如此继续，则 a2021＝（ ）
5
23．已知函数 f（x）＝|x+2|． （1）求不等式 f（x）+f（x﹣2）＜x+4 的解集； （2）若∀x∈R，使得 f（x+a）+f（x）≥f（2a）恒成立，求 a 的取值范围．
6
2021 年吉林省五地六校高考数学模拟试卷（理科）（6 月份）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1．（5 分）（2021•辽宁三模）已知集合 A＝{x|x2＜2}，则∁RA＝（ ）
【点评】本题考查集合补集运算，考查运算求解能力．
2．（5
分）（2021•辽宁三模）若
a，b
푎+ 均为实数，且 1 ‒
푏푖 푖
=
2
+
푖3，则
ab＝（
）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
【考点】A5：复数的运算．
【专题】34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘法运算化简，再由复数相等的条件列式求得 a，b， 则答案可求．
2．（5
分）若
a，b
푎+ 均为实数，且 1 ‒
푏푖 푖
=
2
+
푖3，则
ab＝（
）
A．﹣2
B．2
C．﹣3
D．3
3．（5 分）已知函数 f（x）＝（2x+2﹣x）ln|x|的图象大致为（ ）
A．
习 B．
试卷 测试 C．
D．
4．（5 分）已知抛物线 C：x2＝2py（p＞0）的准线 l 与圆 M：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝16 相切，则 p＝
18．（12 分）如图，在直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是矩形，A1D 与 AD1 交于点 E，AA1＝ AD＝2AB＝4． （1）证明：AE⊥平面 ECD． （2）求直线 A1C 与平面 EAC 所成角的正弦值．
19．（12 分）某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂 60 元，对于提供的软件服务每次 10 元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂 200 元，若每日软件服务不超过 15 次，不另外收费，若超过 15 次，超过部分的软件服务每次收费标准为 20 元． （1）设日收费为 y 元，每天软件服务的次数为 x，试写出两种方案中 y 与 x 的函数关系式； （2）该工厂对过去 100 天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据， 把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．
4
2021
高考复 푥2 푦2
3
20．（12 分）已知椭圆 C：푎2 + 푏2 = 1（a＞b＞0）的离心率为 2 ，焦距为 2 3．
（1）求 C 的方程；
1 （2）若斜率为 - 2的直线与椭圆 C 交于 P，Q 两点（点 P，Q 均在第一象限），O 为坐标原点，证 明：直线 OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列．