四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高考数学第一次适应性考试试题 文.doc

四川省宜宾市叙州区第一中学2021届高考数学第一次适应性考试试
题 文
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。

1．已知集合A ＝{x |x 2
﹣2x ﹣3＞0}，集合B ＝{x ∈Z |x 2
≤4x }，则∁R A ∩B ＝ A ．{x |0≤x ≤3} B ．{﹣1，0，1，2，3} C ．{0，1，2，3}
D ．{1，2}
2．已知复数z ＝sin2021°+cos2021°i ，则复平面表示z 的点位于 A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．《高中数学课程标准》（2021版）规定了数学直观想象学科的六大核心素养，为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（注：雷达图（RadarChart ），又可称为戴布拉图、蜘蛛网图（SpiderChart ），可用于对研究对象的多维分析）
A ．甲的直观想象素养高于乙
B ．甲的数学建模素养优于数据分析素养
C ．乙的数学建模素养与数学运算素养一样
D ．乙的六大素养整体水平低于甲
4．函数)23
2sin(3)(x x f -=π
的一个单调递增区间是 A ． B ．
C ．
D ．
5．若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数
的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数f （x ）＝（x ﹣1）（ax +b ）为偶函数，且在（0，+∞）上单调递减，则f （3﹣x ）＜0的解集为 A ．（2，4） B ．（﹣∞，2）∪（4，+∞） C ．（﹣1，1）
D ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
8．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤，4
π
-
为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （）|恒成立，f （x ）在区间（﹣
）上有最小值无最大值，则ω的
最大值是 A ．11
B ．13
C ．15
D ．17
9．已知某函数的图像如图所示，则下列函数中，图像最契合的函数是
A ．()sin x x y e e -=+
B ．()sin x x
y e e -=- C ．()
cos x x y e e -=- D ．()
cos x x
y e e -=+
10．已知四棱锥P ﹣ABCD 的棱长都是12，E ，F ，M 为PA ，PC ，AB 的中点，则经过E ，F ，M 的平面截四棱锥P ﹣ABCD 所得截面的面积为 A ．54
B ．45
C ．72
D ．96
11．如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC ＝2，∠BAC 为钝角，M 是边BC 的中点，则•
的
值为
A ．4
B ．5
C ．7
D ．6
12．已知双曲线＝1（a ＞0，b ＞0）与函数y ＝
（x ≥0）的图象交于点P ，若函数y
＝的图象与点P 处的切线过双曲线左焦点F （﹣4，0），则双曲线的离心率是
A ．
B ．
C ．
D ．
第II 卷 非选择题（90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数2
(21)x
y x e =+在点()0,1处的切线方程为_________________.
14．已知4
tan 23
α=-
，则sin cos 3cos2ααα-=______. 15．设数列{a n }满足a n +1＝a n +2（n +1），n ∈N *，a 1＝2，则数列{（﹣1）n
•a n }的前40项和是 ．
16．已知函数f （x ）＝e x
﹣
﹣1（k ∈R ）在（0，+∞）上存在唯一零点x 0，则下列说
法中正确的是 （请将所有正确的序号填在横格上） ①k ＝2；②k ＞2；③lnx 0＝﹣x 0；④＜x 0＜．
三．解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分
17．（12分）设函数f （x ）＝sin （2x +）﹣2cos 2x ．
（Ⅰ）求f （x ）的单调增区间； （II ）在△ABC 中，若f （﹣）＝﹣，且
＝2
，BD ＝
，cos∠ABD ＝
，
求BC 的值．
18．（12分）下表为202X 年至2021年某百货零售企业的线下销售额（单位：万元），其中年份代码x =年份2014-．
年份代码x 1
2
3
4
线下销售额y
95
165
230
310
y x y x 年该百货零售企业的线下销售额；
（II ）随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客（每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种），其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？ 参考公式及数据：
2
21
2
2
1
ˆˆ(),,,()ˆ()()()
n
i i
i n
i
i x y nx y
n ad bc b
a
y bx K n a b c d a b c d a c b d x
nx ==--==-==+++++++-∑∑．
20()P K k ≥ 0.15
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
0k
2.072 2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
19．（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，E ，F 分别是BC ，11A C 的中点，ABC 是边长为2的等边三角形，12AA AB =. （Ⅰ）求证：//EF 平面11ABB A ； （Ⅱ）求点C 到平面AEF 的距离.
20．（12分）已知椭圆的离心率为，右焦点为F（c，0），左
顶点为A，右顶点B在直线l：x＝2上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的点，直线AP交直线l于点D，当点P运动时，判断以BD为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
21．（12分）设函数f（x）＝xlnx﹣ae x，p（x）＝kx，其中a∈R，e是自然对数的底数．（Ⅰ）若f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点，求a的取值范围；
（Ⅱ）若φ（x）＝lnx+1﹣f′（x），φ（1）＝e，函数φ（x）与函数p（x）的图象交于A（x1，y1），B（x2，y2），且AB线段的中点为P（x0，y0），证明：φ（x0）＜p（1）＜y0．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．
（Ⅰ）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|
＝2，求动点P到直线I的最近距离．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知a，b均为正数，且ab＝1．证明：（Ⅰ）
（Ⅱ）．
四川省宜宾叙州区第一中学2021届第一次高考适应性考试
文科数学参考答案与试题解析
1-5：CCCAB
6-10:ABCDB 11-12:BD
13．10x y -+= 14．5
11
± 15.840 16. ①③． 17．解：（1）……（2
分）
……………（4分）
…………（5分）
f （x ）的单调增区间为
……（6分） （2）由
……（7分）
在△ABD 中，由正弦定理可得：，
，可得DC ＝4……（8
分）
……（10分）
在△BCD 中，由余弦定理可得：
……（12分）
18．（1）由题易得 2.5x =，200y =，
4
2
1
30i
i x
==∑，4
1
2355i i i x y ==∑，
所以4
1
4
1
2
22
42335554 2.5200ˆ30425
75
.514i i i
i i
x y x y
b
x
x ==--⨯⨯==
=-⨯-=∑∑， 所以ˆˆ20071 2.522.5a
y bx =-=-⨯=， 所以y 关于x 的线性回归方程为ˆ7122.5y
x =+． 由于2021-202X=5，所以当5x =时，ˆ71522.5377.5y
=⨯+=， 所以预测2021年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元． （2）由题可得22⨯列联表如下：
持乐观态度 持不乐观态度 总计 男顾客 10 45 55
女顾客 20 30 50
总计
30
75
105
故2K
的观测值
2105(10304520)5556103075
90k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈.，
由于6.109 5.024>，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关．
19（1）证：如图，取AB 的中点D ，连接DE ，1A D ，
∵E 是BC 的中点，∴//DE AC ，且1
2DE AC =
，由三棱柱的性质知11//AC A C ， ∵F 是11A C 的中点，∴1//A F AC ，且11
2
A F AC =，
∴1//A F DE ，且1A F DE =，∴四边形1DEFA 是平行四边形， ∴1//EF DA ，
∵EF ⊄平面11ABB A ，1DA ⊂平面11ABB A ，∴//EF 平面11ABB A ； （2）解：由题可得21111323
42332F ACE ACE V AA S -=
⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=
△， 在AEF 中，3AE =，17AF =，17EF =，AE 边上的高为2
365
1722⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴165195
3224AEF S =
⨯⨯=
△，设点C 到平面AEF 的距离为h ， 则12333C AEF AEF V h S -=⨯⨯=
△，解得865
65
h =．
20．解：（Ⅰ）依题可知B （a ，0），a ＝2因为，所以c ＝1，,故椭圆C 的
方程为．
（Ⅱ）方法一：以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：由题意可设直线AP的方程为y＝k（x+2）（k≠0）．则点D坐标为（2，4k），BD中点E的坐标为（2，2k），直线方程代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12＝0．
设点P的坐标为（x0，y0），则﹣2x0＝．所以x0＝，y0＝．
因为点F坐标为（1，0），
①当k＝±时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，D的坐标为（2，±2）．此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．
②当k≠±时，则直线PF的斜率k PF＝＝．
所以直线PF的方程为y＝（x﹣1），即．
点E到直线PF的距离
又因为|BD|＝2R＝4|k|，故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切
综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．
方法二：以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：设点P（x0，y0），则
①当x0＝1时，点P的坐标为（1，±），直线PF的方程为x＝1，
D的坐标为（2，±2）．
此时以BD为直径的圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1与直线PF相切．
②当x°≠1时直线AP的方程为，
点D的坐标为，BD中点E的坐标为，故
直线PF的斜率为，故直线PF的方程为，即，所以点E到直线PF的距离
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当点P运动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．
21．解：（Ⅰ）由题意可知，x＞0，令f′（x）＝lnx+1﹣ae x，
则f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点等价于f′（x）＝0在（0，+∞）上有两个不等实根，
由lnx+1﹣ae x＝0可得，令，则，令，则，
当x＞0时，h′（x）＜0，故函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，且h（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞0，g′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴x＝1是g（x）的极大值也是最大值，∴，∴，
又当x→0时，g（x）→﹣∞，当x→+∞时，g（x）大于0且趋向于0，
要使f′（x）＝0在（0，+∞）有两个根，则；
（Ⅱ）证明：由题意可得a＝1，φ（x）＝e x，要证φ（x0）＜p（1）＜y0成立，只需证
，即，
设t＝x2﹣x1＞0，即证，要证，只需证，令，则，
∴F（t）在（0，+∞）上为增函数，∴F（t）＞F（0）＝0，即成立；
要证，只需证，令，则
，∴G（t）在（0，+∞）上为减函数，
∴G（t）＜G（0）＝0，即成立；∴成立，即φ（x0）＜p（1）＜y0成立．
22．解：（1）直线l的极坐标方程为，即为（ρsinθ﹣ρcosθ）＝，
即ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得y﹣x＝2，即x﹣y+2＝0；
曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，即为ρ2sin2θ＝ρcosθ，可得y2＝x；
（2）设P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线的参数方程设为（t为参数），
代入抛物线方程y2＝x，可得t2+t（y0﹣）+y02﹣x0＝0，
设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，可得t1t2＝2（y02﹣x0），
又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1，
由y02＜x0，可得y02＝x0﹣1，即x0＝1+y02，
P到直线l：x﹣y+2＝0的距离d＝＝＝[（y0﹣）2+]，当y0＝，x0＝时，动点P到直线l的最近距离为．
23．证明：（1）∵a2+b2≥2ab，
∴2（a2+b2）≥（a+b）2，即，当且仅当a＝b＝1时取等号，
∴；
（2）＝＝（a3+b3）+2（a2+b2）+（a+b），当且仅当a＝b＝1时取等号．。