福建省漳平市第一中学2018-2019学年高二下学期第一次月考数学(文)试题(附答案)

2018-2019学年下学期高二数学（文科）第一次月考试卷
一.选择题（每题5分，共60分） 1．设i 是虚数单位，复数i
i
z +=
12，则z =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
2．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（ ） A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D ．至少有两个内角是钝角
3、“指数函数)10(≠>=a a a y x
且是减函数，x
y 3=是指数函数，所以x
y 3=是减函数”
你认为这个推理( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（ ）
A ．15
31-
B ．57-
C ．1731-
D ．13
9- 5.曲线y=1323+-x x 在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积为（ ） A ．
32 B ．34 C ．92 D ．9
4
6.若双曲线()222103x y a a
-=>的一条渐近线为y x =，则双曲线方程为（ ）
A ．22143y x -=
B ．221163x y -=
C ．22183
x y -= D ．22
143x y -= 7、下列说法正确的个数有 ( ) ① “全等三角形的面积相等”的否命题是真命题；
② 若q p ∨为真命题，则q p ,均为真命题； ③ 设复数i z a b =+ (i 为虚数单位)，则“0≠ab ”是 “z 为虚数”的充要条件； ④ 在刻画回归模型的拟合效果时， 残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好。

A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
8．若函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）.
A ．(],2-∞-
B ．[)2,+∞
C ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
9．已知F 为抛物线C ：x y 242= 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝23，O 为原点， 则△POF 的面积为( )
A ．2
B ．32
C ．4
D ．22
10．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P ，
且2PF x ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为（ ）
A ．
3 B ．2 C ．2
D ．
3
11.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，
则2AB BD BC =⋅。

拓展到空间，在四面体A-BCD 中，ABD CA 平面⊥，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ ）
A.2ABC BOC BDC S S S ∆∆∆=⋅
B.2
ABD BOD BDC S S S ∆∆∆=⋅ C.2ADC DOC BDC S S S ∆∆∆=⋅ D.2
DBC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅
12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f ',满足)()(x f x f <',
且)2()2(x f x f -=+,14(=）
f , 则不等式x e x f <)(的解集为( ) A ．),2(+∞- B ．),0(+∞ C ．),1(+∞ D. ),4(+∞ 二．填空题（每题5分，共20分）
13．已知,x y 的值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为72
y bx =+，
则b = 。

14、已知圆的极坐标方程ρ=07=，
则圆心到直线距离为 ___________． 15.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………
根据以上排列规律，数阵的第20行中从左到右的第10个数是 .
16.已知函数)0(2)(23>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内， 则实数a 的取值范围是__________
三．解答题（共70分）
17．(10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线2
2)4
sin(:=
-π
θρl （1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程； （2）当)2
,0(π
θ∈时，求直线l 与圆C 公共点的一个极坐标．
18.（12分）某校调查高二学生就读文理科与性别之间的关系，高二年段共有学生400人，其中选择理科同学有240人，男女学生人数比例为2:1，其余选择文科，男女学生人数比例为1:1. (Ⅰ)根据以上数据完成下面的2×2列联表：
(Ⅱ)能否有99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与性别之间有关系？
19.（12分）已知函数3
2
()1f x x ax =++图象在点(1,)B b 处的切线的斜率为-3。

（1）求,a b 的值；
（2）若函数k x f x g -=)()(有且仅有两个零点，求实数k 的值。

20、（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了
1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（1） 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的
线性回归方程a bx y +=；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是
理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?
参考公式：∑∑∑∑====---=
--=
n
i i
n
i i i
n i i
n
i i i
x x
y y x x
x
n x
y
x n y x
b 1
2
1
1
2
21)
()
)((，x b y a -=
21.（12分）已知点)22,1(P 在椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上，椭圆的离心率为
2
2
. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，
使得∙为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（12分） 已知函数()()2
11ln 2
f x x a x a x =
-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性；
（2）若不等式()()2112
a x f x a x x e ++≥++-对于任意1
,x e e -⎡⎤∈⎣⎦成立，求正实数a 的取值范围.
2018-2019学年下学期高二数学（文科）第一次月考试卷答案
一.选择题
1．设i 是虚数单位，复数i
i
z +=
12，则z =（ B ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
2．用反证法证明命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”时，结论的否定是（ D ） A ．没有一个内角是钝角 B ．有两个内角是钝角 C ．有三个内角是钝角 D ．至少有两个内角是钝角
3、“指数函数)10(≠>=a a a y x
且是减函数，x
y 3=是指数函数，所以x
y 3=是减函数”
你认为这个推理( A )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确 4．执行如图所示的程序框图，输出S 值为（D ） A ．1531-
B ．57-
C ．1731-
D ．13
9
-
5.曲线y=1323+-x x 在点（1，﹣1）处的切线与坐标轴围成的三角形 的面积为（A ） A ．
32 B ．34 C ．92 D ．9
4
6.若双曲线()222103x y a a
-=>的一条渐近线为y x =，则双曲线方程为（ D ）
A ．22143y x -=
B ．221163x y -=
C ．22183
x y -= D ．22
143x y -= 7、下列说法正确的个数有 ( A ) ① “全等三角形的面积相等”的否命题是真命题；
② 若q p ∨为真命题，则q p ,均为真命题； ③ 设复数i z a b =+ (i 为虚数单位)，则“0≠ab ”是 “z 为虚数”的充要条件； ④ 在刻画回归模型的拟合效果时， 残差平方和越小，相关指数2R 的值越大，说明拟合的效果越好。

A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
8．若函数()ln f x kx x =-在区间()2,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ C ）.
A ．(],2-∞-
B ．[)2,+∞
C ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
9．已知F 为抛物线C ：x y 242= 的焦点，P 为C 上一点，若|PF|＝23，O 为原点， 则△POF 的面积为( D )
A ．2
B ．32
C ． 4
D ．22
10．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点分别为12,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与椭圆的一个交点P ，
且2PF x ⊥轴，则此椭圆的离心率e 为（ A ）
A ．
3 B ．2 C ．2
D ．
3
11.在平面几何里有射影定理：设三角形ABC 的两边AB AC ⊥，D 是A 点在BC 上的射影，
则2AB BD BC =⋅。

拓展到空间，在四面体A-BCD 中，ABD CA 平面⊥，点O 是A 在面BCD 内的射影，且O 在面BCD 内，类比平面三角形射影定理，得出正确的结论是（ B ）
A.2ABC BOC BDC S S S ∆∆∆=⋅
B.2
ABD BOD BDC S S S ∆∆∆=⋅ C.2ADC DOC BDC S S S ∆∆∆=⋅ D.2
DBC ABD ABC S S S ∆∆∆=⋅
12.已知定义在R 上的可导函数)(x f 的导函数为)(x f ',满足)()(x f x f <',
且)2()2(x f x f -=+,14(=）
f , 则不等式x e x f <)(的解集为( B ) A ．),2(+∞- B ．),0(+∞ C ．),1(+∞ D. ),4(+∞ 二．填空题
13．已知,x y 的值如下表所示：如果y 与x 呈线性相关且回归直线方程为72
y bx =+，
则b = 。

7
4
14、已知圆的极坐标方程θρcos 2=，直线的极坐标方程为07sin 4cos 3=+-θρθρ，
则圆心到直线距离为 ___________．2 15.将全体正整数排成一个如下的三角形数阵：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ………………
根据以上排列规律，数阵的第20行中从左到右的第10个数是 .【答案】200 16.已知函数)0(2)(2
3
>+++=a x ax x x f 的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，
则实数a 的取值范围是______2a < 三．解答题
17．(10分)在极坐标系下，已知圆C ：θθρsin cos +=和直线2
2)4
sin(:=
-π
θρl （1）求圆C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）当)2
,
0(π
θ∈时，求直线l 与圆C 公共点的一个极坐标．
解：（1）圆O ：ρ=cos θ+sin θ，即ρ2=ρcos θ+ρsin θ圆O 的直角坐标方程为：x 2+y 2=x+y ，即x 2+y 2-x-y=0,直
线2
2
)4
sin(:=
-
π
θρl ，即ρsin θ-ρcos θ=1 则直线l 的直角坐标方程为：y-x=1，即x-y+1=0
（2）由⎩
⎨⎧=+-=--+01022y x y x y x 得⎩⎨⎧==10
y x
故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为)2
,
1(π
．
18.（12分）某校调查高二学生就读文理科与性别之间的关系，高二年段共有学生400人，其中选择理科同学有240人，男女学生人数比例为2:1，其余选择文科，男女学生人数比例为1:1. (Ⅰ)根据以上数据完成下面的22⨯列联表：
(Ⅱ)能否有99.9%的把握认为该校高二年段选报文理科与性别之间有关系？
19．（12分）已知函数32
()1f x x ax =++图象在点(1,)B b 处的切线的斜率为-3。

（1）求,a b 的值；
（2）若函数k x f x g -=)()(有且仅有两个零点，求实数k 的值。

解：（1）由已知得 323)1(-=+='a f ，且b a f =++=11)1(
解得1,3-=-=b a
（2）)2(363)(2-=-='x x x x x f ，
令0)(='x f 得2,0==x x ，在2,0==x x 附近左右)(x f '及)(x f 的性质如下表：
结合图象可知当31-==k k 或时，函数)(x g 有且仅有两个零点。

20、（12分）某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如表资料：
该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验．
（2） 若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的
线性回归方程a bx y +=；
（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2人，则认为得到的线性回归方程是
理想的，试问（1）中所得线性回归方程是否理想?
参考公式：∑∑∑∑====---=
--=
n
i i
n
i i i
n
i i
n
i i
i x x
y y x x
x
n x
y x n y
x b 1
2
1
1
2
21)()
)((，x b y a -=
解：（1）由数据求得，由公式求得，再由．
所以y 关于x 的线性回归方程为……8分
（2）当x=10时，；同样，当x=6时，，
所以该小组所得线性回归方程是理想的． …12分
21.（12分）已知点)22,1(P 在椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上，椭圆的离心率为
2
2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点A 、B ，在x 轴上是否存在点M ，
使得∙为定值？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）∵点（1，
）在椭圆C ：
+
=1（a ＞b ＞0）上，椭圆离心率为
，
∴，解得a =，
∴椭圆C 的方程为． …………4分
（Ⅱ）假设存在点M （x 0，0），使得
•
为定值，
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线l 的方程为x =my +1， 联立
，得（m 2
+2）y 2
+2my -1=0，…………6分
，
，…………7分
=（x 1-x 0，y 1）=（my 1+1-x 1，y 1），
=（x 2-x 0，y 2）=（my 2+1-x 0，y 2），
∴
=（my 1+1-x 0）（my 2+1-x 0）+y 1y 2 …………8分
=（m 2+1）y 1y 2+m （1-x 0）（y 1+y 2）+（1-x 0）2
=+
+（1-x 0）2
=
， …………10分
要使上式为定值，即与m 无关，应有=，
解得
．∴存在点M （
，0），使得
•
为定值-恒成立．…………12分
22.（本小题满分12分） 已知函数()()2
11ln 2
f x x a x a x =
-++. （1）当1a <时，讨论函数()f x 的单调性； （2）若不等式()()2112
a x f x a x x e ++≥++-对于任意1
,x e e -⎡⎤∈⎣⎦成立，求正实数a 的取值范围. 解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞，
()()()()()2
111x a x a x a x a f x x a x x x
-++--'=-++==， 若01a <<，则当0x a <<或1x >时，()()0,f x f x '>单调递增；
当1a x <<时，()()0,f x f x '<单调递减，
若0a ≤，则当01x <<时，()()0,f x f x '<单调递减；
当1x >时，()()0,f x f x '>单调递增.
综上所述，当0a ≤时，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减；
当01a <<时，函数()f x 在(),1a 上单调递减，在()0,a 和()1,+∞上单调递增.
（2）原题等价于对任意1,x e e ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，有ln 1a a x x e -+≤-成立，
设()ln ,0a
g x a x x a =-+>，所以()max 1g x e ≤-， ()()11a a a x a g x ax x x
---'=+=
， 令()0g x '<，得01x <<；令()0g x '>，得1x >，
所以函数()g x 在1,1e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,e 上单调递增，
()max g x 为1a g a e e -⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭与()a g e a e =-+中的较大值，
设()()()120a a
h a g e g e e a a e -⎛⎫=-=--> ⎪⎝⎭
，
则()220a a h a e e -'=+->=，
所以()h a 在()0,+∞上单调递增，故()()00h a h >=，所以()1g e g e ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
，
从而()()max a
g x g e a e ==-+，
所以1a a e e -+≤-，即10a e a e --+≤，
设()()10a
a e a e a ϕ=--+>，则()10a a e ϕ'=->，
所以()a ϕ在()0,+∞上单调递增，
又()10ϕ=，所以10a e a e --+≤的解为1a ≤， 因为0a >，所以正实数a 的取值范围为(]0,1.。