大石桥市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

大石桥市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设m ，n 表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A ．m ⊥α，m ⊥β，则α∥β
B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α
C ．m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n
D ．m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n
2． 将函数（其中）的图象向右平移
个单位长度，所得的图象经过点
x x f ωsin )(=0>ω4
π
，则的最小值是（ ）)0,43(
π
ωA ． B ． C ． D ．
313
53． 已知抛物线：的焦点为，是抛物线的准线上的一点，且的纵坐标为正数，
C 2
8y x =F P C P
是直线与抛物线的一个交点，若，则直线的方程为（ ）Q PF C PQ =
PF A ．
B ．
C ．
D ．20x y --=20x y +-=20x y -+=20
x y ++=
4
． 在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于， 则的值为
（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
5． 设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象2
()1f x x =+(,())x f x ()g x ()cos y g x x =可以为（
）
A ．
B ．
C. D ．
6． 定义：数列{a n }前n 项的乘积T n =a 1•a 2•…•a n ，数列a n =29﹣n ，则下面的等式中正确的是（
）
A ．T 1=T 19
B ．T 3=T 17
C ．T 5=T 12
D ．T 8=T 11
7． 设f （x ）＝（e －x －e x ）（－），则不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为（
）
12x ＋112
A ．（0，＋∞）
B ．（－∞，－）
12
C ．（－，＋∞）
D ．（－，0）
1212
8． 已知等差数列{a n }中，a 6+a 8=16，a 4=1，则a 10的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
9． 不等式≤0的解集是（
）
A ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）
B ．[﹣1，2]
C ．（﹣∞，﹣1）∪[2，+∞）
D ．（﹣1，2]
10．若函数(
)()22f x x πϕϕ⎛
⎫=+< ⎪⎝
⎭的图象关于直线12x π=对称，且当
1217212
3x x π
π⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，，，12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +等于（
）A
B
D
11．一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（
）
A ．
B ．（4+π）
C ．
D ．
12．已知平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，那么下列命题中错误 的是（ ）
A ．若m ∥β，则m ∥l
B ．若m ∥l ，则m ∥β
C ．若m ⊥β，则m ⊥l
D ．若m ⊥l ，则m ⊥β
二、填空题
13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数()211{
5
2128
lnx x x
f x m x mx x +>=-++≤，，
，，
若有三个零点，则实数m 的取值范围是________．
()()g x f x m =-14．对于函数(),,y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的
▲ 条件． （填“充分不必要”， “必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）
15．（文科）与直线垂直的直线的倾斜角为___________
．
10x +-=16．如果直线3ax+y ﹣1=0与直线（1﹣2a ）x+ay+1=0平行．那么a 等于 ．17．设α为锐角，若sin （α﹣）=，则cos2α= ．
18．在△ABC 中，若角A 为锐角，且
=（2，3），
=（3，m ），则实数m 的取值范围是 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
已知数列的各项均为正数，，.
{}n a 12a =114
n n n n
a a a a ++-=+（Ⅰ）求数列的通项公式；{}n a （Ⅱ）求数列的前项和．
11
n n a a +⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
n n S 20．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB=AC=AA 1=BC 1=2，∠AA 1C 1=60°，平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，AC 1与A 1C 相交于点D ．
（1）求证：BD ⊥平面AA 1C 1C ；
（2）求二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值．
21．（本小题满分12分）
数列满足：，，且.{}n b 122n n b b +=+1n n n b a a +=-122,4a a ==（1）求数列的通项公式；{}n b （2）求数列的前项和.
{}n a n S 22．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；
（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．
23．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并
按分数段
，
，
，
，
，
进行分组，假设同一组中的每个数据可用
该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图（如下）．
（Ⅰ）体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”．已知该校高一年级有1000名学生，试估计高一年级中“体育良好”的学生人数；
（Ⅱ）为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在和的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在的概率；
（Ⅲ）假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为，且分别在，，三组中，其中．当数据的方差最大时，写出的值．（结论不要求证明）
（注：，其中为数据的平均数）
24．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（2）当PD=AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
大石桥市第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：A 选项中命题是真命题，m ⊥α，m ⊥β，可以推出α∥β；B 选项中命题是真命题，m ∥n ，m ⊥α可得出n ⊥α；
C 选项中命题是真命题，m ⊥α，n ⊥α，利用线面垂直的性质得到n ∥m ；
D 选项中命题是假命题，因为无法用线面平行的性质定理判断两直线平行．故选D ．
【点评】本题考查了空间线面平行和线面垂直的性质定理和判定定理的运用，关键是熟练有关的定理．　
2． 【答案】D
考
点：由的部分图象确定其解析式；函数的图象变换．()ϕω+=x A y sin ()ϕω+=x A y sin 3． 【答案】B 【
解
析
】
考点：抛物线的定义及性质．
【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点．
4．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
【解析】
试题分析：，为奇函()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=A
A ()cos y g x x ∴=数，排除
B ，D ，令时，故选A. 10.1x =0y >考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法.6． 【答案】
C 【解析】解：∵a n =29﹣n ，
∴T n =a 1•a 2•…•a n =28+7+…+9﹣n =∴T 1=28，T 19=2﹣19，故A 不正确T 3=221，T 17=20，故B 不正确T 5=230，T 12=230，故C 正确T 8=236，T 11=233，故D 不正确故选C
7． 【答案】
【解析】选C.f （x ）的定义域为x ∈R ，由f （x ）＝（e －x －e x ）（－）得
12x ＋112
f （－x ）＝（e x －e －x ）（－）12
－x ＋1
12＝（e x －e －x ）（＋）
－12x ＋11
2
＝（e －x －e x ）（－）＝f （x ），
12x ＋112
∴f （x ）在R 上为偶函数，
∴不等式f （x ）＜f （1＋x ）等价于|x |＜|1＋x |，
即x 2＜1＋2x ＋x 2，∴x ＞－，
12
即不等式f （x ）＜f （1＋x ）的解集为{x |x ＞－}，故选C.
12
8． 【答案】A
【解析】解：∵等差数列{a n }，∴a 6+a 8=a 4+a 10，即16=1+a 10，∴a 10=15，故选：A ．　
【解析】解：依题意，不等式化为，
解得﹣1＜x ≤2，故选D
【点评】本题主要考查不等式的解法，关键是将不等式转化为特定的不等式去解．　
10．【答案】C 【
解
析
】
考
点：函数的图象与性质.
【方法点晴】本题主要考查函数的图象与性质，涉及数形结合思想、函数与方程思想、转化化归思想，考查逻辑推理能力、化归能力和计算能力，综合程度高，属于较难题型．首先利用数形结合思想和转化化归思想可得
()
2122k k ππϕπ⨯
+=
+∈Z ，解得3π
ϕ=
，从而()23f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，再次利用数形结合思想和转化化归思想
可得()()()()1122x f x x f x ，，，关于直线1112x π=-对称，可得12116
x x π
+=-，从而
()
121133f x x ππ⎛⎫
+=-+=
⎪⎝⎭
．11．【答案】 D
【解析】解：由三视图知，几何体是一个组合体，是由半个圆锥和一个四棱锥组合成的几何体，圆柱的底面直径和母线长都是2，四棱锥的底面是一个边长是2的正方形，四棱锥的高与圆锥的高相同，高是=
，
∴几何体的体积是
=
，
故选D ．
【点评】本题考查由三视图求组合体的体积，考查由三视图还原直观图，本题的三视图比较特殊，不容易看出直观图，需要仔细观察．　
12．【答案】D
【解析】【分析】由题设条件，平面α∩β=l ，m 是α内不同于l 的直线，结合四个选项中的条件，对结论进行证明，找出不能推出结论的即可
【解答】解：A 选项是正确命题，由线面平行的性质定理知，可以证出线线平行；
B 选项是正确命题，因为两个平面相交，一个面中平行于它们交线的直线必平行于另一个平面；
C 选项是正确命题，因为一个线垂直于一个面，则必垂直于这个面中的直线；
D 选项是错误命题，因为一条直线垂直于一个平面中的一条直线，不能推出它垂直于这个平面；综上D 选项中的命题是错误的故选D
二、填空题
13．【答案】714⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
，【解析】
14．【答案】必要而不充分【解析】
试题分析：充分性不成立，如2
y x =图象关于y 轴对称，但不是奇函数；必要性成立，()y f x =是奇函数，
|()||()||()|f x f x f x -=-=，所以|()|y f x =的图象关于y 轴对称.
考点：充要关系
【名师点睛】充分、必要条件的三种判断方法．
1.定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．
2.等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否
定式的命题，一般运用等价法．
3.集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．
π
15．【答案】
3
【解析】
π
3
考点：直线方程与倾斜角．
16．【答案】 ．
【解析】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，
∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，
经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去
故答案为：．
【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．
17．【答案】　﹣　．
【解析】解：∵α为锐角，若sin（α﹣）=，
∴cos（α﹣）=，
∴sin=[sin（α﹣）+cos（α﹣）]=，
∴cos2α=1﹣2sin2α=﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
18．【答案】 ．
【解析】解：由于角A为锐角，
∴且不共线，
∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m．
∴实数m 的取值范围是．
故答案为：
．
【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．　
三、解答题
19．【答案】（本小题满分12分）解： （Ⅰ）由得，∴是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
114n n n n
a a a a ++-=
+22
14n n a a +-={}2n a ∴，由得． （6分）2
44(1)4n a n n =
+-=0n a >n a =（Ⅱ）∵
， （9
分）
111
2
n n a a +==+ ∴数列的前项和为
11
n n a a +⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
n ． （12
分）1111
1)1)2222
+++=- 20．【答案】
【解析】解：（1）∵四边形AA 1C 1C 为平行四边形，∴AC=A 1C 1，∵AC=AA 1，∴AA 1=A 1C 1，
∵∠AA 1C 1=60°，∴△AA 1C 1为等边三角形，同理△ABC 1是等边三角形，∵D 为AC 1的中点，∴BD ⊥AC 1，∵平面ABC 1⊥平面AA 1C 1C ，
平面ABC 1∩平面AA 1C 1C=AC 1，BD ⊂平面ABC 1，∴BD ⊥平面AA 1C 1C ．
（2）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、DB 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，平面ABC 1的一个法向量为，设平面ABC 的法向量为
，由题意可得
，
，则
，
所以平面ABC 的一个法向量为=（，1，1），
∴cos θ=
．
即二面角C 1﹣AB ﹣C 的余弦值等于
．
【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．　
21．【答案】（1）；（2）．122n n b +=-22
2(4)n n S n n +=-++【解析】
试题分析：（1）已知递推公式，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比122n n b b +=+数列的通项公式可得，变形形式为；（2）由（1）可知，n b 12()n n b x b x ++=+122(2)n
n n n a a b n --==-≥这是数列的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由{}n a 112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+
求得．
211()a a a +-+试题解析：（1），∵，
112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+12
2
2
n n b b ++=+又，
121224b a a +=-+=∴.2
3
12(21)
(2222)22222221
n n
n n a n n n +-=++++-+=
-+=--
∴.224(12)(22)
2(4)122
n n n n n S n n +-+=
-=-++-考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式．22．【答案】
【解析】证明：（Ⅰ）在△BCE 中，BC ⊥CF ，BC=AD=，BE=3，∴EC=
，
∵在△FCE 中，CF 2=EF 2+CE 2，∴EF ⊥CE 由已知条件知，DC ⊥平面EFCB ，
∴DC ⊥EF ，又DC 与EC 相交于C ，∴EF ⊥平面DCE 解：（Ⅱ）
方法一：过点B 作BH ⊥EF 交FE 的延长线于H ，连接AH ．由平面ABCD ⊥平面BEFC ，平面ABCD ∩平面BEFC=BC ，AB ⊥BC ，得AB ⊥平面BEFC ，从而AH ⊥EF ．所以∠AHB 为二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角．在Rt △CEF 中，因为EF=2，CF=4．EC=
∴∠CEF=90°，由CE ∥BH ，得∠BHE=90°，又在Rt △BHE 中，BE=3，∴
由二面角A ﹣EF ﹣C 的平面角∠AHB=60°，在Rt △AHB 中，解得，
所以当
时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°
方法二：如图，以点C 为坐标原点，以CB ，CF 和CD 分别作为x 轴，y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ．
设AB=a （a ＞0），则C （0，0，0），A （，0，a ），B （
，0，0），E （
，3，0），F （0，4，0）．
从而
，
设平面AEF 的法向量为，由
得，
，取x=1，
则
，即
，
不妨设平面EFCB 的法向量为，
由条件，得解得
．所以当
时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．
【点评】本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，其中（I）的关键是熟练掌握线线垂直、线面垂直与面面垂直的之间的相互转化，（II）的关键是建立空间坐标系，将二面角问题，转化为向量的夹角问题．　
23．【答案】
【解析】【知识点】样本的数据特征古典概型
【试题解析】（Ⅰ）由折线图，知样本中体育成绩大于或等于70分的学生有人，
所以该校高一年级学生中，“体育良好”的学生人数大约有
人．
（Ⅱ）设“至少有1人体育成绩在”为事件，
记体育成绩在的数据为，，体育成绩在的数据为，，，
则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，它们是：，，，，，，，，，．
而事件的结果有7种，它们是：，，，，，，，
因此事件的概率．
（Ⅲ）a，b，c的值分别是为，，．
24．【答案】
【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB，
∴平面AEC⊥平面PDB．
（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，
∴O，E分别为DB、PB的中点，
∴OE∥PD，，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO，
在Rt△AOE中，，
∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．。