北京市第二中学2017_2018学年高二数学上学期期末考试试题理(含解析)

状元考前提醒
拿到试卷：熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。

答题策略
答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。

先做简单的、熟悉的题，再做综合题、难题。

2. 先小后大。

先做容易拿分的小题，再做耗时又复杂的大题。

3. 先局部后整体。

把疑难问题划分成一系列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。

立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。

中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。

确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量一次性成功。

不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步骤。

试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，格式是否规范。

要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。

考试时，每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是几分，这是考试中最好的策略。

检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不清。

如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。

有的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数被自己涂掉了。

考试期间遇到这些事，莫慌乱！
北京市第二中学2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题理
（含解析）
一、选择题（每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是正确的）
∈，则“”是“”的（）.
1.设a R
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：
22
或，所以“”是“”的充分非必要条件，>⇒>>⇒><-
11,111
a a a a a
选A.
【考点】充要条件
【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合.本题涉及不等关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力和逻辑推理能力等.
【此处有视频，请去附件查看】
2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么，互斥而不对立的两个事件是（）．
A. 至少有一个黑球与都是黑球
B. 至少有一个黑球与至少有一个红
球
C. 恰有一个黑球与恰有2个黑球
D. 至少有一个黑球与都是红球
【答案】C
【解析】
依题意，从装有2个红球和2个黑球的口袋中任意取2个球
A至少有1个黑球包含都是黑球，故至少有1个黑球与都是黑球不是互斥事件，故A错误，B至少有1个黑球包含1黑1红，至少有1个红球包含1黑1红，两者不是互斥事件，故B错误，
C 恰有1个黑球与恰有2个黑球不可能同时发生，是互斥事件，且不是对立事件，故C 正
确
D 至少有1个黑球与都是红球是互斥事件，也是对立事件，故D 错误，
故答案为C
3.某学校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（ ）． A. 30种 B. 31种 C. 35种 D. 60种
【答案】A 【解析】
由题意，7门课程选3门有3
7C 种方法， 若选择的课程均为A 课程，有33C 种方法， 选择的课程均为B 课程，有3
4C 种方法，
满足题意的选择方法有：333
734351430C C C --=--=种.
本题选择A 选项.
4.已知命题:p x ∃∈R ，使sin x =；命题:q x ∀∈R ，都有210x x ++>，给出下列结论：（ ）．
A. 命题p 是真命题
B. 命题“p q ⌝∧”是真命题
C. 命题“p q ∧”是真命题
D. 命题“p q ⌝∧⌝”是真命题
【答案】B 【解析】
1Q
>，而[]sin 1,1x ∈-，据此可得命题p 是假命题； 2
2
131024x x x ⎛
⎫++=++> ⎪⎝
⎭，则命题q 为真命题；
据此可得：命题“p q ⌝∧”是真命题， 命题“p q ∧”是假命题，
命题“p q ⌝∨⌝”是真命题. 本题选择B 选项.
5.在二项式6
22x x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，含6x 的项的系数是（ ）．
A. 15-
B. 15
C. 60-
D. 60
【答案】D 【解析】
二项式展开式的通项公式：()
()62
12316
622r
r
r r
r r
r T C
x C x
x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
， 令1236r -=可得：2r =，则含6x 的项的系数是()2
2
6241560C -=⨯=.
本题选择D 选项.
6.将五枚硬币同时抛掷在桌面上，至少出现两枚正面朝上的概率是（ ）． A.
5
16
B.
1316
C.
2132
D.
2732
【答案】B 【解析】
由题意可得，所有硬币反面朝上的概率为：5
12⎛⎫ ⎪⎝⎭， 一次正面朝上的概率为：1
4
15
1122C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 则至少出现两次正面朝上的概率是514
1511113122216
C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择B 选项.
点睛：求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的求和公式计算．
二是间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P (A )＝1－P (A )，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”，“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．
7.2(12)(2)x x -+的
展开式中3x 的项的系数是（ ）．
A. 100
B. 100-
C. 120
D. 120-
【答案】D 【解析】
()
5
12x -展开式的通项公式为：()()5522r
r
r
r r C x C x -=-，
当3r =时，()5
12x -展开项为()3
3
5280C -=-， 当2r =时，()5
12x -展开项为()2
25240C -=，
则()
()5
122x x -+的展开式中3x 的项的系数是()28040120⨯-+=-.
本题选择D 选项.
点睛：二项展开式的通项1C k n k k
k n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关
问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．
8.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是（ ）． A. 72 B. 60 C. 36 D. 24
【答案】A 【解析】
从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ,(A 共有22
326C A =种不同排法)，剩下一名女生
记作B ，
将A ,B 插入到2名男生全排列后所成的3个空中的2个空中,故有(
)
22
22
323272C A A A =种， 本题选择A 选项.
9.
若33n
x ⎛
+ ⎝
的展开式中含有常数项，则最小的正整数n 等于（ ）
． A. 4 B. 5 C. 6
D. 7
【答案】D
由二项式展开式的通项公式可得展开式的通项公式为：
(
)
7
332133r
n r n r
r
n r r r n n T C x C x ---+==，
展开式中含有常数项，则：7
302
n r -=有正整数解，
满足题意的最小的正整数为：6,7r n ==. 本题选择D 选项.
点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．
10.在[1,1]-上随机的取一个实数k ，则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为（ ）． A.
1
2
B.
14
C.
34
D.
916
【答案】C 【解析】
3<，解得：3344
k -<<，
结合长度型几何概型公式可得满足题意的概率为：()33344114
p ⎛⎫-- ⎪
⎝⎭==
--. 本题选择C 选项.
11.若2018
22018012201811()3x a a x a x a x x ⎛⎫
-=++∈ ⎪
⎝⎭
R L ，则23201812320183333a a a a +++L 的值为
（ ）． A. 2
B. 0
C. 1-
D. 2-
【解析】
令0x =可得：01a =，令3x =可得：232018
0123201833330a a a a a +++++=L ， 则：232018
1232018033331a a a a a ++++=-=-L .
本题选择C 选项.
12.有下列命题：
①面积相等的三角形是全等三角形； ②“若0xy =，则||||0x y +=”的逆命题； ③“若a b >，则a c b c +>+”的否命题；
④“矩形的对角线互相垂直”的逆命题，其中真命题为（ ）． A. ①② B. ②③
C. ①③
D. ②④
【答案】B 【解析】
逐一考查所给的命题：
①面积相等的三角形不一定是全等三角形，该命题错误;
②“若0xy =,则0x y +=”的逆命题为“若0x y +=,则0xy =”，该命题正确; ③“若a b >,则a c b c +>+”的否命题为“若a b ≤,则a c b c +≤+”，该命题正确; ④“矩形的对角线互相垂直”为假命题，则其逆否命题为假命题，原命题错误. 综上可得：真命题为②③. 本题选择B 选项.
13.在一个盒子中装有红、黄、白、绿四色的小球各3个，它们大小相同，现在从盒中任意摸出3个小球，每个小球被摸出的可能性都相等，则找出的三个小球颜色都互不相同，这样的摸法种数为（ ）． A. 36
B. 108
C. 216
D. 648
【解析】
由题意可得，满足题意的摸法种数为：
34333427108C ⨯⨯⨯=⨯=种.
本题选择B 选项.
14.一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2．将这个小正方体抛掷2次，则向上的两个数字之积是0的概率为（ ）． A.
1
4
B.
12
C.
23
D.
34
【答案】D 【解析】
满足题意时，两次向上的数字至少有一个为零， 两次数字均不为零的概率为：111
224
⨯=， 则满足题意的概率值：13144
p =-=. 本题选择D 选项.
二、填空题。

15.命题“x ∀∈R ，2
104
x x -+≥”的否定是______．
【答案】2
1
,04
x x x ∃∈-+<R 【解析】
全称命题否定为特称命题， 则命题“2
1,04x R x x ∀∈-+≥”的否定是21
,04
x R x x ∃∈-+<.
16.在2n
x ⎫⎪⎭的二项式中，所有项的二项式数之和为256，则常数项等于______．
【答案】112
由题意可得：2256,8n n =∴=，
结合二项式展开式通项公式可得：()848318
822r
r
r
r r r r T C
C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭
，
令8403
r -=可得：2r =，则常数项为：()2
282428112C -=⨯=.
17.从0，1，2，3，4，5中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的概率为_____（用数字作答）． 【答案】
9
25
【解析】
选出的3个数字含有0时，有212
52240C C A =种方法，
选出的3个数字不含有0时，有3560A =种方法， 其中能被5整除的三位数末位必为0或5.
①末位为0的三位数其首次两位从1∼5的5个数中任取2个排列而成方法数为2
520A =，
②末位为5的三位数,首位从非0,5的4个数中选1个,有14C 种挑法,再挑十位,还有1
4C 种挑
法，∴合要求的数有11
4416C C ⨯=种。

∴共有20+16=36个合要求的数。

结合古典概型计算公式可得所求概率值为369
406025
p ==+.
18.有6名学生做志愿者服务，将他们分配到图书馆、科技馆、养老院和火车站这四个地方去服务，每个地方至少有一人，则不同的分配方案有_____种（用数字作答）． 【答案】1560 【解析】
可能的人数分配方案为：3111+++或者2211+++， 采用方案3111+++分配时，分配方案有3
4
64C A 种，
采用方案2211+++分配时，分配方案有224
64422
C C A A ⨯种， 不同的
分配方案有22344
646
4
422
1560C C C A A A +⨯=种. 点睛：分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类．(2)分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，步与步之间的方法“相互独立，分步完成”．
19.已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束，则恰好检测四次停止的概率为_____（用数字作答）． 【答案】
3
5
【解析】
由题意可知，2次检测结束的概率为2
22251
10
A p A ==，
3次检测结束的概率为3112323233
5310
A C C A p A +==， 则恰好检测四次停止的概率为231331110105
p p p =--=--=.
20.对于各数互不相等的整数数组123 , , (),,n i i i i L （n 是不小于3的正整数），对于任意的p ，{} 1,2,3,, q n ∈L ，当
p q <时有p q i i >，则称p i ，q i 是该数组的一个“逆序”，一个数组中
所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组(3,1,4,2)中的逆序数等于______；若数组123 , , (),,n i i i i L 中的逆序数为1n -，则数组11, ,),(n n i i i -L 中的逆序数为_____．
【答案】 (1). 3 (2). 232
2
n n -+
【解析】
由题意知数组(3,1,4,2)中的逆序有 3,1；3,2；4,2；∴逆序数是3，
∵若数组()123,,,,n i i i i L 中的逆序数为n -1，
∵这个数组中可以组成()2
12
n n n C -=
个数对，
∴数组()11,,,n n i i i -L 中的逆序数为()()22
132
112
2
n
n n n n C n n --+--=
-+=
.
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21.某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拨入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试，其测试结果如下表：
例如，表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
2
5
． （1）求a ，b 的值．
（2）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率．
（3）从参加测试的20位学生中任意抽取2位，设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列． 【答案】（Ⅰ）2,4a b ==；（Ⅱ）62
95
；（Ⅲ）见解析. 【解析】
试题分析：（1）求a ，b 的值，由题意，从这20位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到
运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为
2
5
，而由表中数据可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人，可由62
()205
a P A +==，解出a 的值，从而得
b 的值；（2）由题意，从20人中任意抽取2人的方法数为2
20C ，而至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的对立事件是，没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生，而没有取到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的方法数为2
12C ，由古典概型，可求出没有运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率，从而得所求的概率；（3）由题意得ξ的可能取值为0,1,2，由古典概型，分别求出它们的概率，得随机变量ξ的分布列，从而得数学期望E ξ．
试题解析：（I ）设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．由题意可知，运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有(6)a +人． 则62
()205
a P A +=
=．解得2a =．所以4b =． 4分 （2）设事件B ：从20人中任意抽取2人，至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生．
由题意可知，至少有一项能力测试优秀学生共有8人．
则2
122
2062
()1()195
C P B P B C =-=-=． 7分 （3）ξ的可能取值为0，1，2．
20位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀学生人数为8人．
所以2
1222033(0)95C P C ξ===，111282
2048
(1)95C C P C ξ===，2822014(2)95
C P C ξ===．
所以ξ的分布列为
ξ0 1 2
P
33
95
48
95
14
95
所以，0
Eξ=⨯33
95
1
+⨯
48
95
2
+⨯
14
95
764
955
==． 13分
考点：古典概型，分布列，数学期望．
22.已知：如图，在直二面角D AB E
--中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE EB
=，且90
AEB=︒
∠．
（1）求证：AE⊥平面BCE．
（2）求二面角E AC B
--的余弦值．
（3）在线段AC（不包含端点）上是否存在点F，使得EF与平面ABC所成的角为45︒；若存在，写出
AF
AC
的值，若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）见解析；
3
（Ⅲ）
1
2
AF
AC
=.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由面面垂直的性质定理可得CB AE
⊥,结合BE AE
⊥,可得AE⊥平面BCE. （Ⅱ）以A为原点,以,
AB AD
u u u v u u u v
的方向分别为x轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系
A xyz -，计算可得平面AC
B 的法向量()0,1,0m =v ,设平面ACE 的法向量()1,1,1n =-v
,
计算可得二面角E AC B --
（Ⅲ）设存在点F 满足题意，设()01AF
AC λλ=<<,则()21,1,2EF λλ=-u u u v ,据此得到关于λ的方程，解方程可得1
2
λ=.则在线段AC 上存在点F 满足题意.
试题解析：
（Ⅰ）证明:因为在直二面角D AB E --中,四边形ABCD 是正方形, 所以CB AB ⊥,则CB ⊥平面ABE , 又因为AE ⊆平面ABE ,所以CB AE ⊥, 因为90AEB o ∠=,即BE AE ⊥, 所以AE ⊥平面BCE .
（Ⅱ）以A 为原点,以,AB AD u u u v u u u v
的方向分别为x 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系
A xyz -
则()0,0,0A ,()2,0,2C ,()2,0,0B ,()1,1,0E -.
平面ACB 的法向量()0,1,0m =v ,设平面ACE 的法向量(),,n x y z =v
,
因为()1,1,0AE =-u u u v ,()1,1,2CE =---u u u v
, 所以0,0.n AE n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即0,20.x y x y z -+=⎧⎨++=⎩
令1y =,解得()1,1,1n =-v
,
则,m n cos m n m n
⋅==⋅v v
v v v v
, 所以二面角E AC B --
（Ⅲ）设存在点F ,使得EF 与平面ABC 所成的角为45o ,且(01)AF
AC
λλ=<<,
则()2,0,2F λλ,()21,1,2EF λλ=-u u u v ,则有,45m EF cos m EF cos m EF
⋅===⋅o u u u v v u u u v v
u u u v v ,
解得1
2
λ=
（0λ=舍）. 所以在线段AC 上存在点F ,使得EF 与平面ABC 所成的角为45o ,1
2
AF AC =.
23.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10-分．如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是
2
3，回答第三个问题正确的概率为12
，且各题回答正确与否相互之间没有影响．若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功．
（1）求至少回答对一个问题的概率．
（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的分布列． （3）求这位挑战者闯关成功的概率． 【答案】（Ⅰ）1718；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）13
18
. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为
17
18
. （Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；
（Ⅲ）结合(Ⅱ)中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13
18
. 试题解析：
（Ⅰ）设至少回答对一个问题为事件A ,则()11117
133218
P A =-⨯⨯
=.
（Ⅱ）这位挑战者回答这三个问题的总得分X 的所有可能取值为10,0,10,20,30,40-. 根据题意,()11111033218
P X =-=
⨯⨯=, ()2112
023329P X ==⨯⨯⨯=,
()2212
103329
P X ==⨯⨯=,
()1111
2033218P X ==⨯⨯=,
()2112
3023329
P X ==⨯⨯⨯=,
()2212
403329
P X ==⨯⨯=.
随机变量X 的分布列是:
（Ⅲ）设这位挑战者闯关成功为事件B ,则()2122139189918
P B =+++=.
24.已知椭圆2222:1()x y C a b c a b +=>>经过点3⎛ ⎝⎭3 （1）求椭圆C 的方程．
（2）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于A ，B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P ，Q 两点，试问在x 轴上是否存在一个定点N 使得NP NQ ⊥?若是，求出定点N 坐标；若不是，说明理由．
【答案】（1）椭圆C 的方程是2
214x y +=；
（2）线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(3,0)．
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）由题意结合椭圆所过的点和椭圆的离心率可求得2a =，1b =.则椭圆C 的方程为
2
214
x y +=. （Ⅱ）设存在定点(),0N n 使得NP NQ ⊥.联立直线方程与椭圆方程可得
()()
()2
2224184100k
x k x k k +-+-=≠.设()()1122,,,A x y B x y ,结合韦达定理有直线
AM 的方程为:()1122y y x x =
--,则1120,2y P x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
,直线BM 的方程为:()2222y y x x =
--,则2220,2y Q x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
.由向量垂直的 充要条件有0NP NQ ⋅=u u u v u u u v ，据此求解关于n
的方程可得n =
则存在定点()
N 使得NP NQ ⊥. 试题解析：
（Ⅰ）由题意可知221314a b +=,
又2
c a =,即222
34a b a -=,22
4a b =. 解得24a =,即2a =. 所以1b =.
所以椭圆C 的方程为2
214
x y +=.
（Ⅱ）设存在定点(),0N n 使得NP NQ ⊥.
由()22
1,
440.
y k x x y ⎧=-⎨
+-=⎩得()()
()2
2
2
2
4184100k x k x k k +-+-=≠.
设()()1122,,,A x y B x y ,则()
22121222418,4141
k k x x x x k k -+==++.
因为()2,0M ,所以直线AM 的方程为:()1122y y x x =
--,则1120,2y P x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
, 直线BM 的方程为:()2222y y x x =
--,则2220,2y Q x ⎛⎫
- ⎪-⎝⎭
. 则有112,2y NP n x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭u u u v ,222,2y NQ n x ⎛⎫-=- ⎪
-⎝
⎭u u u v ,由0NP NQ ⋅=u u u v u u u v 得 ()()
212
124022y y n x x +
=--,整理得230n -=,
故n =
所以存在定点()
N 使得NP NQ ⊥. 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
25.已知集合{}1,2,3,,(2*)A n n =∈N L ．对于A 的一个子集S ，若存在不大于n 的正整数m ，使得对于S 中的任意一对元素1s ，2s ，都有12||s s m -≠，则称S 具有性质P ．
（1）当8n =时，试判断集合{}|7B x A x =∈>和{}31|,*C x A x k k =∈=-∈N 是否具有性质
P ？并说明理由．
（2）若1009n =时
①若集合S 具有性质P ，那么集合{}2019|T x x S =-∈是否一定具有性质P ？并说明理由； ②若集合S 具有性质P ，求集合S 中元素个数的最大值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析. 【解析】 试题分析：
（Ⅰ）当8n =时,{}(
)*
1,2,3,,16,8,A m m N =≤∈L ,结合新定义的性质P 可知集合B 不
具有性质P .集合C 具有性质P .
（Ⅱ）当1009n =时,{}(
)*
1,2,3,,2018,1009A m m N
=≤∈L ,
①若集合S 具有性质P ,那么对于S 中的任意两个元素12,x x ,存在12x x m -≠成立,则对于T 中的任意两个元素()()121220192019x x x x m ---=-≠成立,所以集合T 一定具有性质P .
②已知S A ⊆,设1x 是S 中最小的元素,则
11112,12,22,12x km x km x km x m km S ++++++-+∈L ,并且
()()()()()
111121,121,221,121x k m x k m x k m x m k m S k N +++++++++-++∉∈L .可得集合S 中元素最多的理想状态是集合A 中属于集合S 中的元素比不属于集合S 中的元素多出一整组（m 个）,即有()2k +组元素在集合S 中,()1k +组元素不在集合S 中,此时满足()()232018k m k N +=∈.很明显不存在满足上式的,k m ,理想状态不存在.接下来,令集合A 中属于集合S 中的元素比不属于集合S 中的元素多()1m -个,讨论可得集合
S 中元素个数的最大值是1345.
试题解析：
（Ⅰ）当8n =时,{}(
)*
1,2,3,,16,8,A m m N
=≤∈L ,
{}8,9,10,11,12,13,14,15,16B =,对于B 中的任意两个元素12,x x ,不存在12x x m -≠,
所以集合B 不具有性质P .
{}1,4,7,10,13,16C =,对于C 中的任意两个元素12,x x ,存在121,2,4,5,7,8x x -≠,
所以集合C 具有性质P .
（Ⅱ）当1009n =时,{}(
)*
1,2,3,,2018,1009A m m N
=≤∈L ,
①若集合S 具有性质P ,那么对于S 中的任意两个元素12,x x ,存在12x x m -≠成立, 集合T ={{2019|}T x x S =-∈},则对于T 中的任意两个元素
()12122019,2019,x x x x S --∈,
一定存在()()121220192019x x x x m ---=-≠成立, 所以集合T 一定具有性质P .
②已知S A ⊆,设1x 是S 中最小的元素, 则有1111,1,2,1x x x x m S +++-∈L ,
并且1111,1,2,1x m x m x m x m m S ++++++-+∉L , 并且11112,12,22,12x m x m x m x m m S ++++++-+∈L , 以此类推L
11112,12,22,12x km x km x km x m km S ++++++-+∈L ,并且
()()()()()
111121,121,221,121x k m x k m x k m x m k m S k N +++++++++-++∉∈L .
因为要求集合S 中元素个数的最大值,不妨从集合A 中排除不满足条件的元素. 令1S ∈,则有
12,22,32,2km km km m km S ++++∈L ,并且
()()()()()121,221,321,21k m k m k m m k m S k N ++++++++∉∈L .
故集合A 中的元素被分为两部分,从1开始以m 个数为一组进行分组,第一组的元素在集合
S 中,第二组的元素不在集合S 中,第三组的元素在集合S 中,第四组的元素不在集合S 中,
以此类推,一直到集合A 中没有元素.
所以集合S 中元素最多的理想状态是集合A 中属于集合S 中的元素比不属于集合S 中的元素多出一整组（m 个）,即有()2k +组元素在集合S 中,()1k +组元素不在集合S 中,此时满足()()232018k m k N +=∈.
21 因为23k +是奇数,2018是偶数,所以m 为偶数,则有()
()2310092
m k k N +=∈. 然而1009是质数,不存在满足上式的,k m ,理想状态不存在. 接下来,令集合A 中属于集合S 中的元素比不属于集合S 中的元素多()1m -个,此时满足()()2312018k m k N +⋅-=∈,即()232019k m +⋅=,此时显然m 越大,集合S 中元素越多.
取0k =,得673m =,此时集合S 中元素最多,为673211345⨯-=.
所以,集合S 中元素个数的最大值是1345.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。