2020_2021学年高中数学第二章数列单元质量评估测评1含解析新人教A版必修5

第二章单元质量评估(一)
时间：120分钟 满分：150分
一、选择题(每小题5分，共60分)
1．已知数列1，3，5，7，3，11，…，2n －1，…，则21是这个数列的( B ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项
D ．第21项
解析：观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.
2．等差数列{a n }中，a 3＋a 9＝10，则该数列的前11项和S 11＝( B ) A ．58 B ．55 C ．44
D ．33
解析：由题意得S 11＝11a 1＋a 112
＝
11
a 3＋a 9
2
＝
11×10
2
＝55. 3．一个各项均为正数的等比数列中，每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比q ＝( C )
A.32
B. 5
C.5－1
2
D.
1＋5
2
解析：由题意知a n ＝a n ＋1＋a n ＋2＝a n q ＋a n q 2
，即q 2
＋q －1＝0，解得q ＝5－1
2
(负值舍去)，故选C.
4．等比数列{a n }中，a 2，a 6是方程x 2
－34x ＋64＝0的两根，则a 4等于( A ) A ．8 B ．－8
C ．±8
D ．以上选项都不对
解析：∵a 2＋a 6＝34，a 2·a 6＝64，∴a 2
4＝64，且a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2
>0(q 为公比)，∴a 4＝8.
5．已知等差数列共有11项，其中奇数项之和为30，偶数项之和为25，则a 6为( A ) A ．5 B ．30 C ．15
D ．21
解析：S 奇－S 偶＝a 6＝5.
6．在等比数列{a n }中，a 5＋a 6＝a (a ≠0)，a 15＋a 16＝b ，则a 25＋a 26的值是( C )
A .b a
B.b
2
a 2
C.b
2
a
D.b a
2
解析：a 15＋a 16＝q 10
(a 5＋a 6)，即q 10
＝b a ，∴a 25＋a 26＝q 10
(a 15＋a 16)＝b a ·b＝b 2
a
.
7．若数列{a n }满足a n ＋1＝1－1
a n
，且a 1＝2，则a 2 012等于( D )
A ．－1
B ．2 C. 2
D.12
解析：∵a n ＋1＝1－1a n ，a 1＝2，∴a 2＝1－12＝12，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－1
－1＝2.
由此可见，数列{a n }的项是以3为周期重复出现的，∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝1
2.
8．数列{a n }中，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *
)且n ≥2，则此数列( A )
A ．从第二项起为等比数列
B ．从第二项起为等差数列
C ．等比数列
D ．等差数列
解析：∵S 1＝1，S 2＝2，∴a 1＝1，a 2＝1.当n ≥2时，S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0⇒(S n ＋1－S n )＋2(S n －1－S n )＝0⇒a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }从第二项起为等比数列．
9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“现有甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，要使甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”根据题意，乙得( A )
A.7
6钱 B ．1钱 C.5
6
钱 D.23
钱 解析：依题意设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，则由题意可知，a －2d ＋a －d ＝a ＋a ＋d ＋a ＋2d ，即a ＝－6d .又a －2d ＋a －d ＋a ＋a ＋d ＋a
＋2d ＝5a ＝5，∴a ＝1，d ＝－a 6＝－16，则a －d ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝7
6
.故乙得76钱．
10．若数列{a n }，{b n }满足a n ·b n ＝1，a n ＝n 2
＋3n ＋2，则数列{b n }的前10项和为( B ) A.1
2
B.512
C.13
D.
712
解析：∵a n ＝n 2
＋3n ＋2，a n ·b n ＝1，∴b n ＝
1
n ＋1n ＋2
＝
1n ＋1－1n ＋2
.∴{b n }的前10项和为S 10＝12－13＋13－14＋…＋111－112＝12－112＝5
12
.
11．将数列{3
n －1
}按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：(1)，(3,9)，(27,81,243)，…，
则第100组中的第1个数是( A )
A ．34 950
B ．35 000
C ．3
5 010
D ．3
5 050
解析：前99组中共有
1＋99×992
＝4 950个数，故第100组中的第一个数为34 950
.
12．设数列{a n }满足a n ＋1＝－2a n ，a 1＝1，数列{|a n |}的前n 项和为S n ，则S 2 015＝( A ) A ．22 015
－1 B ．2
2 016
－2
C ．2
2 014
－1
D ．1－22 015
解析：本题考查等比数列的定义与前n 项和．方法一：由a n ＋1＝－2a n ，可得
a n ＋1
a n
＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1
，所以|a n |＝|(－2)
n －1
|＝2
n －1
，所以S 2 015＝1－22 015
1－2
＝22 015
－1.
故选A.
方法二：由a n ＋1＝－2a n ，可得
a n ＋1a n
＝－2，又a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1
，所以S 2 015＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 015|＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)－(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 014)＝1－4
1 008
1－4－
－2×1－4
1 007
1－4
＝13
×(22 016－1＋2×22 014－2)＝22 015
－1.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)
13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝－6. 解析：S 8＝8×
a 1＋a 8
2
＝4(a 3＋a 6)，由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝
－4，a 9＝－6.
14．已知数列{x n }满足：lg x n ＋1＝1＋lg x n (n ∈N ＋)，且x 1＋x 2＋…＋x 100＝1，则lg(x 101
＋x 102＋…＋x 200)＝100.
解析：由lg x n ＋1＝1＋lg x n ，得
x n ＋1
x n
＝10，∴数列{x n }为等比数列，公比为10.故x 101＋x 102＋…＋x 200＝10100
(x 1＋x 2＋…＋x 100)＝10100
.∴lg(x 101＋x 102＋…＋x 200)＝lg10100
＝100.
15．设等差数列{a n }满足3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为其前n 项和，则S n 中最大的是S 20.
解析：由3a 8＝5a 13，得d ＝－
2a 139.∵a 1>0，∴d <0，∴令a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－2n 39a 1＋4139
a 1≥0，得n ≤412
，又n ∈N *，∴当n ＝20时，a 20>0，而a 21<0，故S 20最大．
16．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：
则此数阵中第20行从左到右的第10个数是598.
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10
… … … … …
解析：第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×1＋19×18
2×1
＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，∴公差d ＝a 6－a 3
6－3
＝16－73
＝3，∴a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，∴a 200＝3×200－2＝598.
三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(本小题10分)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8. (1)求a 4，a 7； (2)求a 1＋a 10.
解：(1)由等比数列的性质知，a 4a 7＝a 5a 6＝－8，与a 4＋a 7＝2联立，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 4＝－2，
a 7＝4或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 4＝4，
a 7＝－2.
(2)当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝a 7a 4＝－12，a 1＝a 4q
3＝－8，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9
)＝－7；
当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3
＝a 7a 4＝－2，a 1＝a 4q
3＝1，所以a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9
)＝－7. 综上，a 1＋a 10＝－7.
18．(本小题12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；
(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n . 解：(1)因为{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋
n n －1
2
·(－2)＝－n 2
＋20n .
(2)由题意得b n －a n ＝3n －1
，所以b n ＝3
n －1
－2n ＋21，则T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3
n －1
)＝－n
2
＋20n ＋3n
－1
2
.
19．(本小题12分)已知数列{a n }各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足4S n ＝(a n ＋1)2
. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n ·a n ＋1
，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
解：(1)因为(a n ＋1)2
＝4S n ，所以S n ＝a n ＋1
2
4
，S n ＋1＝
a n ＋1＋1
2
4
.
所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝
a n ＋1＋1
2
－a n ＋12
4
，即4a n ＋1＝a 2
n ＋1－a 2
n ＋2a n ＋1－2a n ，∴2(a n
＋1
＋a n )＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．
因为a n ＋1＋a n ≠0，所以a n ＋1－a n ＝2，即{a n }为公差等于2的等差数列．由(a 1＋1)2
＝4a 1，
解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1.
(2)由(1)知b n ＝
1
2n －1
2n ＋1＝12(12n －1－1
2n ＋1
)，
∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)＝1
2－
1
22n ＋1
.
∵T n ＋1－T n ＝1
2－
12
2n ＋3
－[12－
12
2n ＋1
]＝
122n ＋1
－12
2n ＋3
＝
1
2n ＋1
2n ＋3
>0，
∴T n ＋1>T n .∴数列{T n }为递增数列，∴T n 的最小值为T 1＝12－16＝1
3.
20．(本小题12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3×22n －1
.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(2
2n
－1
＋2
2n －3
＋…＋2)＋2＝2
2(n ＋1)－1
.
又a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝22n －1
.
(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1
知S n ＝1×2＋2×23
＋3×25
＋…＋n ×22n －1,
4·S n ＝1×23＋2×2
5
＋3×27
＋…＋n ×2
2n ＋1
，
即S n ＝19
[(3n －1)×22n ＋1
＋2]．
21．(本小题12分)已知数列{a n }为等差数列，b n ＝3a n .
(1)求证：数列{b n}为等比数列；
(2)若a8＋a13＝m，求b1·
b2
·b
3·…·
b20
；
(3)若b3·b5＝39，a4＋a6＝3，求b1·b2·b3·…·b n的最大值．
22．(本小题12分)已知数列{a n}中，a1＝1，a n a n＋1＝⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n.
(1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}都是等比数列；
(2)若数列{a n}的前2n项和为T2n，令b n＝(3－T2n)n(n＋1)，求数列{b n}的最大项．
解：(1)证明：数列{a n}中，a1＝1，a n a n＋1＝⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n，∴a
n＋1a n＋2＝⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n＋1，∴
a n＋2
a n
＝
1
2
.
∵a1＝1，∴a2＝
1
2
，故数列{a2n－1}是以1为首项，
1
2
为公比的等比数列，数列{a2n}是以
1
2
为首项，
1
2
为公比的等比数列．
(2)由(1)得T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝
1－
1
2n
1－
1
2
＋
1
2⎝
⎛⎭⎪⎫
1－
1
2n
1－
1
2
＝3－
3
2n
.
∴b n＝(3－T2n)n(n＋1)＝3n(n＋1)⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n，∴b
n＋1－b n＝3(n＋1)⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n
⎝
⎛
⎭⎪
⎫
n＋2
2
－n＝3(n＋
1)
⎝
⎛
⎭⎪
⎫1
2
n＋1(2－n)，
∴b3＝b2>b1，且b3>b4>b5>…，故{b n}的最大项是b2＝b3＝
9
2
.。