浙江省中考数学专题复习 专题四 方案设计型问题训练-人教版初中九年级全册数学试题

专题四方案设计型问题
类型一通过计算比较进行方案设计
(2017·某某某某中考)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．
(1)求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；
(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：
试问去哪个商场购买足球更优惠？
【分析】(1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据2015年及2017年该品牌足球的单价，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于1的值即可得出结论；
(2)根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买100个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论．【自主解答】
1．(2018·某某某某中考)有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货18吨，2辆大货车与6
辆小货车一次可以运货17吨．
(1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨？
(2)目前有33吨货物需要运输，货运公司拟安排大小货车共计10辆，全部货物一次运完．其中每辆大货车一次运货花费130元，每辆小货车一次运货花费100元，请问货运公司应如何安排车辆最节省费用？
类型二利用方程进行方案设计
(2018·某某某某中考)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小X，联系青年志愿者在周日参与活动，活动累计56个小时的工作时间，需要每名男生工作5个小时，每名女生工作4个小时，小X可以安排学生参加活动的方案共有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【分析】设安排女生x人，安排男生y人，由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解．【自主解答】
2．(2018·某某龙东地区中考)为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1 200元购买篮球和排球，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，购买方案有( )
A．4种 B．3种 C．2种 D．1种
类型三利用不等式进行方案设计
(2018·某某某某中考)“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．
(1)请你为该景区设计购买A，B两种设备的方案；
(2)已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用(1)设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？
【分析】(1)设购买A种设备x台，则购买B种设备(10－x)台，根据购回的设备日处理能力不低于140吨列出不等式，求出解集，再根据x为正整数求解即可；
(2)分别求出各方案实际购买费用，比较即可求解．
【自主解答】
此类题型利用方程、不等式的相关知识，建立相应的数学模型，找到方程(组)的解和不等式(组)的解集，确定未知数的具体数值．未知数有几个值，即有几种方案．有时结合函数应用，进行方案最优化设计．
3．(2018·某某某某中考)“绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：
村庄清理养鱼网箱人数/人清理捕鱼网箱人数/人总支出/元
A 15 9 57 000
B 10 16 68 000
(1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；
(2)在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102 000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？
类型四利用函数进行方案设计
(2018·某某中考)某游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每X会员证100元，只限本人当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元．
设小明计划今年夏季游泳次数为x(x为正整数)．
(1)根据题意，填写下表：
游泳次数10 15 20 (x)
方式一的总费用(元) 150 175 _________ …________
方式二的总费用(元) 90 135 _________ …________
(2)若小明计划今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？
(3)当x＞20时，小明选择哪种付费方式更合算？并说明理由．
【分析】(1)根据题意可以将表格中空缺的部分补充完整；
(2)根据题意可以求得当费用为270元时，两种方式下的游泳次数；
(3)根据题意可以计算出x在什么X围内，哪种付费更合算．
【自主解答】
函数方案设计是指由题目提供的背景材料或图表信息，先确定函数表达式，再利用函数图象的性质获得解决问题的具体方法．解决此类问题的难点主要是正确确定函数表达式，关键还要熟悉函数的性质及如何通过不等式确定函数自变量的取值X围．
4．(2017·某某中考)用A4纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元．在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元．
设在同一家复印店一次复印文件的页数为x(x为非负整数)．
(1)根据题意，填写下表：
一次复印页数(页) 5 10 20 30 …
甲复印店收费(元) ________ 2 _______ …
乙复印店收费(元) ________ _______ …
(2)设在甲复印店复印收费y1元，在乙复印店复印收费y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
(3)当x＞70时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由．
类型五有关图形的方案设计型问题
在数学活动课上，王老师发给每位同学一X半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：
(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；
(2)设计的整个图案是某种对称图形．
王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．
名称四等分圆的面积
方案方案一方案二方案三选用的
工具
带刻度的三角板
画出示
意图
简述设计方案作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O 的面积分成相等的四份
指出
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形
【分析】根据圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形的定义分别分析得出即可．
【自主解答】
图形方案设计题，它摆脱了传统的简单作图，把对作图的技能的考查放在一个实际生活的大背景下，从而考查了学生的综合创新能力，给同学们的创造性思维提供了广阔的空间与平台．此类题常利用某些规则的图形，如等腰三角形、菱形、矩形、圆等，利用图形的性质，或利用轴对称和中心对称等，拼出符合某些条件的图形．
5．(2018·某某某某中考)再读教材：
宽与长的比是5－1
2
(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国
许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．(提示：MN＝2)
第一步，在矩形纸片一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；
第二步，如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平；
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图3中所示的AD处；
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图4中就会出现黄金矩形．
问题解决：
(1)图3中AB＝(保留根号)；
(2)如图3，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
(3)请写出图4中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
实际操作：
(4)结合图4，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．
参考答案
类型一
【例1】 (1)设2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x ，根据题意得200×(1－x)2
＝162，
解得x ＝0.1＝10%或x ＝1.9(舍去)．
答：2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%. (2)100×1011＝1 000
11
≈91(个)，
在A 商城需要的费用为162×91＝14 742(元)， 在B 商城需要的费用为162×100×9
10＝14 580(元)．
14 742＞14 580.
答：去B 商场购买足球更优惠． 变式训练
1．解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货x 吨和y 吨．根据题意可得⎩⎪⎨⎪
⎧3x ＋4y ＝18，2x ＋6y ＝17，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝4，
y ＝1.5.
答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货4吨和1.5吨． (2)设货运公司拟安排大货车m 辆，则安排小货车(10－m)辆． 根据题意可得4m ＋1.5(10－m)≥33， 解得m≥7.2，令m ＝8，
大货车运费高于小货车，故用大货车少费用就小． 则安排方案为大货车8辆，小货车1辆． 类型二
【例2】 设安排女生x 人，安排男生y 人． 依题意得4x ＋5y ＝56，则x ＝56－5y 4.
当y ＝4时，x ＝9. 当y ＝8时，x ＝4. 当y ＝0时，x ＝14.
即安排女生9人，安排男生4人；
安排女生4人，安排男生8人； 安排女生14人，安排男生0人． 共有3种方案．故选C. 变式训练 2．B 类型三
【例3】 (1)设购买A 种设备x 台，则购买B 种设备(10－x)台． 根据题意得12x ＋15(10－x)≥140， 解得x≤31
3.
∵x 为非负整数， ∴x＝0，1，2，3， ∴该景区有四种设计方案：
方案一：购买A 种设备0台，B 种设备10台； 方案二：购买A 种设备1台，B 种设备9台； 方案三：购买A 种设备2台，B 种设备8台； 方案四：购买A 种设备3台，B 种设备7台． (2)各方案购买费用分别为：
方案一：3×0＋4.4×10＝44＞40，实际付款：44×0.9＝39.6(万元)； 方案二：3×1＋4.4×9＝42.6＞40，实际付款：42.6×0.9＝38.34(万元)； 方案三：3×2＋4.4×8＝41.2＞40，实际付款：41.2×0.9＝37.08(万元)； 方案四：3×3＋4.4×7＝39.8＜40，实际付款：39.8万元． ∵37.08＜38.34＜39.6<39.8，
∴采用(1)设计的第三种方案，使购买费用最少． 变式训练
3．解：(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x 元，清理捕鱼网箱的人均费用为y 元．
根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧15x ＋9y ＝57 000，
10x ＋16y ＝68 000，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝2 000，
y ＝3 000.
答：清理养鱼网箱的人均费用为2 000元，清理捕鱼网箱的人均费用为3 000元． (2)设分配m 人清理养鱼网箱，则分配(40－m)人清理捕鱼网箱． 根据题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧2 000m ＋3 000（40－m ）≤102 000，m ＜40－m ， 解得18≤m＜20.
∵m 为整数，∴m＝18或m ＝19， 则分配清理人员方案有两种：
方案一：18人清理养鱼网箱，22人清理捕鱼网箱； 方案二：19人清理养鱼网箱，21人清理捕鱼网箱． 类型四
【例4】 (1)当x ＝20时，方式一的总费用为100＋20×5＝200，方式二的费用为20×9＝180. 当游泳次数为x 时，方式一费用为100＋5x ，方式二的费用为9x. 故答案为200，100＋5x ，180，9x. (2)方式一，令100＋5x ＝270，解得x ＝34. 方式二，令9x ＝270， 解得x ＝30.
∵34＞30，∴选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多． (3)令100＋5x ＜9x 得x ＞25， 令100＋5x ＝9x 得x ＝25， 令100＋5x ＞9x 得x ＜25，
∴当20＜x ＜25时，小明选择方式二的付费方式， 当x ＝25时，小明选择两种付费方式一样， 但x ＞25时，小明选择方式一的付费方式． 变式训练
4．解：(1)当x ＝10时，甲复印店收费为0.1×10＝1； 乙复印店收费为0.12×10＝1.2；
当x ＝30时，甲复印店收费为0.1×30＝3， 乙复印店收费为0.12×20＋0.09×10＝3.3. 故答案为1，3；1.2，3.3. (2)y 1＝0.1x(x≥0)；
y 2＝⎩
⎪⎨⎪⎧0.12x （0≤x≤20），0.09x ＋0.6（x ＞20）.
(3)顾客在乙复印店复印花费少． 当x ＞70时，y 1＝0.1x ，y 2＝0.09x ＋0.6，
设y＝y1－y2，
∴y1－y2＝0.1x－(0.09x＋0.6)＝0.01x－0.6.
记y＝0.01x－0.6，
由0.01＞0，则y随x的增大而增大，
当x＝70时，y＝0.1，
∴x＞70时，y＞0.1，
∴y1＞y2，
∴当x＞70时，顾客在乙复印店复印花费少．
类型五
【例5】
名称四等分圆的面积
方案方案一方案二方案三
选用的
工具带刻度的三角板
带刻度的三角尺、量角
器、圆规
带刻度的三角尺、圆规
画出示意图
简述设计方案作⊙O两条互相垂
直的直径AB，CD，
将⊙O的面积分成
相等的四份
①以点O为圆心，以3
个单位长度为半径作
圆．②在大⊙O上依次
取三等分点A，B，C.③
连结OA，OB，OC.则小
圆O与三等份圆环把
⊙O的面积四等分
①作⊙O的一条直径AB.②
分别以OA，OB的中点为圆
心，以3个单位长度为半径
作⊙O1，⊙O2.则⊙O1，⊙O2
和⊙O中剩余的两部分把
⊙O的面积四等分
指出对称性既是轴对称图形
又是中心对称图
形
轴对称图形
既是轴对称图形又是中心
对称图形
5．解：(1) 5
(2)四边形BADQ是菱形．理由如下：∵四边形ACBF是矩形，
∴BQ∥AD，∴∠BQA＝∠QAD.
由折叠得∠BAQ＝∠QAD，AB ＝AD ， ∴∠BQA＝∠BAQ，∴BQ＝AB ， ∴BQ＝AD.
∵BQ∥AD，∴四边形BADQ 是平行四边形． ∵AB＝AD ，
∴四边形BADQ 是菱形．
(3)图4中的黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE. 以黄金矩形BCDE 为例．理由如下： ∵AD＝5，AN ＝AC ＝1， ∴CD＝AD －AC ＝5－1. 又∵BC＝2，∴CD BC ＝5－1
2，
故矩形BCDE 是黄金矩形．
(4)如图，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所要作的黄金矩形．
长GH ＝5－1，宽HE ＝3－ 5.。