2006学年高三数学训练题(由课本例习题选编

2006学年高三数学训练题(由课本例、习题选编或改编)
（九） 导数及其应用
A 组
（1）设曲线在某点的切线斜率为负数，①则此切线的倾斜角（ ），
②曲线在该点附近的变化趋势是（ ）
①(A) 小于
90 (B) 大于
90 (C) 小于或等于
90 (D) 大于或等于
90 ②(A)单调递增 (B)单调递减 (C)无变化 (D)以上均有可能
(2) ①()21)(x x x f -⋅= 有( )个极值点; ②x x x x f 33)(23+-=有( )个极值点
(A) 0 (B)1 (C)2 (D) 3
(3)如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的关系，
(1) （4）
A .(1) (c) (2) (a) (3) (b) (4) (d)
B . (1) (c) (2) (b) (3) (a) (4) (d)
C .(1) (c) (2) (d) (3) (a) (4) (b)
D . (1) (c) (2) (a) (3) (d) (4) (b) (4)一个距地心距离为r ，质量为m 的人造卫星，与地球之间的万有引力F 由公式2
r
GMm
F =给出，其中M 为地球质量，
G 为常量，求F 对于r 的瞬时变化率为 .
(5)一杯C
80的热红茶置于C
20的房间里，它的温度会逐渐下降，温度T （单位C
）与时间t （单位：min ）之间的关系由函数)(t f T =给出，则①)(t f '的符号为 ； ②4)3(-='f 的实际意义是 .
(6) 已知圆面积为2r S π=，利用导数的定义求()S r '，试解释其意义.
（7）①求函数x
e y =在e x =处的切线的方程；②过原点作曲线y ＝e x 的切线，求切线的方程.
（8）已知函数x x x f 12)(3
+-=，①求函数的单调区间；②求函数的极值，并画出函数的草图；③当[]1,3-∈x 时，求函数的最
大值与最小值.
（9）欲制作一个容积为π2立方米的圆柱形储油罐（有盖），问它的底面半径与高分别为多少时，才能使所用的材料最省？
(10)利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图像直观验证：)0(ln ><<x e x x x
B 组(其中１４，１５，１６，１７为理科题)
（１１）函数()2
2)(x x f π=的导数是（ ）
(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 2
8)(π=' (D) x x f π16)(='
（１2）函数x
e x x
f -⋅=)(的一个单调递增区间是
(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,0
(１3)如图，直线l 和圆C ，当l 从0l 开始在平面上绕点O 按逆时针方向匀速转动（转动角度不超过
90）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S 是时间t 的函数，这个函数图象大致是(画草图) C l S O
0l
O t
(14)（理科）弹簧所受的压缩力F 与缩短的距离按胡克定律kl F =计算.如果N 10的力能使弹簧压缩cm 1，那么把弹簧从平衡位置压缩cm 10（在弹性限度内），要做的功为 （15）（理科）利用定积分的几何意义求
dx x ⎰
-2
24
（16）（理科）有一质量非均匀的木棒，已知其线密度为3
)(x x =ρ（取细棒所在的直线为x 轴，细棒的一端为原点），棒长为1，
用定积分表示细棒的质量为M=
（17）（理科）求由曲线2x y =与22x y -=围成的平面图形的面积.
（18）用长为 90cm ，宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90 度角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
（19）有一印刷品的排版面积（矩形）为400cm 2，版心的左右各留4 cm 2的空白，上下各留4 cm 的空白，①怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？
②若实际情况要求版面的高不超过16cm ，又应当怎样确定版心的高与宽的尺寸，才能使印刷品所用纸张面积最小？
（20）已知函数()x x x f -+=1ln )(，若，证明：()x x x ≤+≤+-1ln 1
1
1
（九） 导数及其应用A 组参考答案或提示：
（1）①A ，②B (2)①C ，②A ；导函数值恒大于或等于零，函数总单调递增（图略） (3)D （4）3
2r GMm
F -
=' （5）①,0)(<'t f 因为红茶的温度在下降； ②4)3(-='f 的实际意义是在min 3附近红茶温度约以min /4C
的速率下降. （6）由定义得：()2S r r π'=，半径为r 的圆面积的瞬时变化率为其周长。

(7)解：①切点为(,),|,e e e x e e e y e k e ='=∴= ，由点斜式得()e x e e y e e -=-，
即e e e e e x e y +-=+1. ②设切点为(
)0
000
0,,|
,,x x x x x x e
y e k e ='=∴=
由点斜式得()000
x x e e
y x x -=-，
切线过原点，∴=∴>-=-∴,1,0),0(000000x e x e e x x x
切点为),,1(e ,e k =∴由点斜式，得：),1(-=-x e e y 即：.ex y =
（8）解：①()(),223123)(2
+--=+-='x x x x f 由0)(>'x f ，得()2,2-∈x ，(),2,2-∈∴x 函数单调递增；同理，(),
2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x 函数单调递减.
)(,2x f x -=∴极小值=-16，)(,2x f x =∴极大值=16.
由f (-x )=-f (x )，知f (x )是奇函数，得草图如图所示：
(9)解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，表面积为y ，则由题意有：2
2r h ππ=，2
2
h r ∴=， 且2
2
4222y r rh r r ππππ=+=+
，则244y r r ππ'=-，令2440y r r
π
π'=-=，得1r =. 当01r <<时，0y '<，函数单调递减，当1r >时，0y '>，函数单调递增， 所以，当1r =时，函数有极小值也是最小值6π（平方米），
答：当底面半径为1米，高为2米时，所用材料最省. (10)证明：（1）构造函数)0(ln )(>-=x x x x f
x
x
x x f -=-=
'111)( )0(>x ，当,1=x ()01='f ，得下表
,0>∴x 总有,01)1()(<-=≤f x f ,0ln ≤-∴x x .ln x x ≤∴
（2）构造函数)0()(>-=x x e x g x ，)0(1)(>-='x e x g x ，当
())(,0,0x g x g x >'>单调递增，()
(),0)(,010,0>∴>=>>∴x g g x g x
即：x e x e x x >∴>-,0.
综上，不等式)0(ln ><<x e x x x 成立， 如右图.
B 组略解或提示:
（１１）()∴==,42)(222x x x f ππ=⋅='x x f 242)(πx x f 28)(π='; 或()()=⋅='⋅⋅='ππππ24222)(x x x x f x 28π（理科要求：复合函数求导） （１２）∴=⋅=-.)(x x
e x e
x x f []
=⋅-⋅='21)(x x
x e e x e x f ，()[]
1,012
<∴>⋅-x e e x x x
选(A)
或(),0.0)1(11)(∴>>⋅-=-⋅⋅+⋅='----x e e x e x e x f x x x x （理科要求：复合函数求导） （１３）
（14）J 5
解：由kl F =，得01
.02
10001000,1000,1000,01.01021
.00
l ldl W l F k k ⋅==
∴=∴==⎰
5= (15)利用导数的几何意义：24x y -=
与x =0，x =2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为
ππ=⋅=
-⎰
4
242
2
2
dx x （图略）
（16）dx x M ⎰
=
1
3.由定积分的定义得．
（17）由⎪⎩⎪⎨⎧-==22
2x
y x y ，得()()
⎰⎰⎰----=--=∴⎩⎨⎧=±=1111112
2222211dx x dx x dx x S y x 38
113223=-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=∴x x S （图略） （18）解：设容器的高为xcm ，则长方体的长为(90-2x )cm ，宽为(48-2x )cm ，
x y ln =
x y =
x e y =
容器的体积为3Vcm ，
()()()()
x x x x x x x x x x V 1080694432027642402482902323+-=+-=<<--=∴ ()
)36)(10(12)36046(1210806923422--=+-=+⨯-='x x x x x x V ，且240<<x ，
,10.0,2410,0,100=∴<'<<>'<<∴x V x V x V 有极大值，此极大值即为最大值.
所以当x =10cm ， V 有最大值()()
3196010cm V = 答：该容器高为10cm 时，容积最大为()
.19603cm
（19）解：①设版心的高为xcm ，则版面的宽为
0,400
>x cm x
， 设印刷品所用纸张面积为y 3
cm ， 则()=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅+=84008x x y 46432008++x x ， ()(),202083200822x x x x y +-=-=' 当y y x ,0,200<'<<单调递减，当y y x ,0,20>'>单调递增，
y x y x ,20,0,20=∴='=极小=784)20(min ==y y
另法：()=⎪⎭
⎫
⎝⎛+⋅+=84008x x y ,78446432008246432008=+⋅≥++x x 当且仅当,3200
8x
x =
即：20,4002==x x 时，所用纸张面积最小. ②若实际情况要求版心的高不超过16cm ，则只能考虑函数的单调性， 由①知，y y x ,0,20160<'<≤<单调递减（草图略），.792,16min ==∴y x
答：①当版心设计高为20cm 时，印刷品所用纸张面积最小；
②若实际情况要求版心的高不超过16cm ，则版心设计高为16cm 时，印刷品所用纸张面积最小.
（20）证明：（1）11)(-=-=
'x
x f )1(->x ，当,0=x ()00='f ，得下表
,1->∴x 总有,0)0()(=≤f x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴
另解1
111)(+-=-+=
'x x x x f )1(->x ，当,0=x ()00='f ， 当01<<-x ，())(,0x f x f >'单调递增，,0)0()(,01=<<<-∴f x f x ……① 当0>x ，())(,0x f x f <'单调递减，,0)0()(,0=<>∴f x f x ………………② 当,0=x ()00=f
…………………………………………………………③
综合①②③得：当1->x 时，,0)(≤x f (),01ln ≤-+∴x x ().1ln x x ≤+∴ （2）构造函数,111)1ln()(-++
+=x x x g ()()2
211111)(+=+-+='x x
x x x g ， 当,0=x ()00='g ，当,01<<-x ())(,0x g x g <'单调递减；
当,0>x ())(,0x g x g >'单调递增；)(,0x g x =∴极小值=[]0)0()(min ===g x g ，
,1->∴x 总有∴=≥,0)0()(g x g ,0111)1ln(≥-++
+x x 即：)1ln(1
11x x +≤+-. 综上（1）（2）不等式()x x x ≤+≤+-1ln 1
1
1成立.。