八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷测试题(Word版 含解析)

八年级上册第五章相交线与平行线单元测试卷测试题（Word 版 含解析）
一、选择题
1．如图，直线//AB CD ，AP 平分BAC CP AP ∠⊥，于点P ，若149︒∠=，则2∠的度数为（ ）
A ．40︒
B ．41︒
C ．50︒
D ．51︒ 2．在同一坐标平面内，图象不可能．．．
由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是（ ）
A ．22(1)1y x =+-
B ．223y x =+
C ．221y x =--
D ．2112
y x =- 3．如图，在四边形ABCD 中，要得到AB CD ∥，只需要添加一个条件，这个条件可以是（ ）
A ．13∠=∠
B ．24∠∠=
C ．B
D ∠=∠ D ．12180B ∠+∠+∠=︒
4．下列说法中，正确的有（ ）
①等腰三角形的两腰相等； ②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等； ③等腰三角形的两底角相等； ④等腰三角形两底角的平分线相等．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．如图，有一块含有30°角的直角三角形板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=44°，那么∠1的度数是（ ）
A ．14°
B ．15°
C ．16°
D ．17°
6．如图，四边形ABCD 是正方形，直线a ，b ，c 分别通过A 、D 、C 三点，且a ∥b ∥c ．若
a 与
b 之间的距离是3，b 与
c 之间的距离是6，则正方形ABCD 的面积是（ ）
A ．36
B ．45
C ．54
D ．64
7．如图所示，直线c 截直线a ，b ，给出下列以下条件：
①48∠=∠；②17∠=∠；③26∠=∠；④47180∠+∠=︒．
其中能够说明a ∥b 的条件有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 8．如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（ ）
A ．150°
B ．180°
C ．210°
D ．240°
9．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．如图，下列不能判定DF ∥AC 的条件是（ ）
A ．∠A ＝∠BDF
B ．∠2＝∠4
C ．∠1＝∠3
D ．∠A +∠ADF ＝180° 11．如图所示，将含有30°角的三角板的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，
若∠1=35°，则∠2的度数为（ ）
A ．10°
B ．20°
C ．25°
D ．30°
12．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120︒，第三次转过的角度135︒，则第二次拐弯的角度是（ ）
A ．75︒
B ．120︒
C ．135︒
D ．无法确定
二、填空题
13．如图,AB ∥CD,BF 平分∠ABE,DF 平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED 的度数为_______.
14．若平面上4条直线两两相交且无三线共点，则共有同旁内角________对．
15．α∠与β∠的两边互相垂直，且o 50α∠=，则β∠的度数为_________.
16．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，
（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________；
（2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________；
（3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________．
17．如图,点A 、B 为定点,直线l ∥AB,P 是直线l 上一动点，对于下列各值:①线段AB 的长；②△PAB 的周长；③△PAB 的面积；④∠APB 的度数，其中不会随点P 的移动而变化的是(填写所有正确结论的序号)______________.
18．如图，将直角三角形ABC 沿斜边AC 的方向平移到三角形DEF 的位置，DE 交BC 于点G ，BG ＝4，EF ＝12，△BEG 的面积为4，下列结论：①DE ⊥BC ；②△ABC 平移的距离是4；③AD ＝CF ；④四边形GCFE 的面积为20，其中正确的结论有________（只填写序号）．
19．如图，已知AB ∥DE ，∠ABC ＝76°，∠CDE ＝150°，则∠BCD 的度数为__°．
20．如图,AC ∥BD,AE 平分∠BAC 交BD 于点E,若∠1=62°，则∠2=______.
三、解答题
21．如图，已知//AB CD ，50A C ∠=∠=︒，线段AD 上从左到右依次有两点E 、F （不与A 、D 重合）
（1）求证：//AD BC ；
（2）比较1∠、2∠、3∠的大小，并说明理由；
（3）若:1:4FBD CBD ∠∠=，BE 平分ABF ∠，且1BDC ∠=∠，判断BE 与AD 的位置关系，并说明理由．
22．如图①，已知AB ∥CD ，一条直线分别交AB 、CD 于点E 、F ，∠EFB ＝∠B ，FH ⊥FB ，点Q 在BF 上，连接QH ．
(1)已知∠EFD ＝70°，求∠B 的度数；
(2)求证： FH 平分∠GFD ．
(3)在(1)的条件下，若∠FQH ＝30°，将△FHQ 绕着点F 顺时针旋转，如图②，若当边FH 转至线段EF 上时停止转动，记旋转角为α，请直接写出当α为多少度时，QH 与△EBF 的某一边平行?
23．(1)如图1，已知任意ABC ∆，过点C 作//DE AB ，求证：
180A B ACB ∠+∠+∠=︒；
(2)如图2，求证：∠AGF=∠AEF+∠F ；
(3)如图3，//,119,AB CD CDE GF ∠=︒交DEB ∠的角平分线EF 于点
,150F AGF ∠=︒，求F ∠的度数．
24．在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第七题选择题（2）如图 1，如果 AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF ＝（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．540°
（1）请写出这道题的正确选项；
（2）在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，AB ∥EF ，请直接写出∠BAD ，∠ADE ，∠DEF 之间的数量关系．
（3）善于思考的龙洋同学想：将图1平移至与图2重合（如图3所示），当AD ，ED 分别平分∠BAC ，∠CEF 时，∠ACE 与∠ADE 之间有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
（4）彭敏同学又提出来了，如果像图4这样，AB ∥EF ，当∠ACD=90°时，∠BAC 、∠CDE 和∠DEF 之间又有怎样的数量关系？请你直接写出结果，不需要证明．
25．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且32
CFB DCF ∠=∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
26．如图1，//PQ MN ，点A ，B 分别在MN ，QP 上，2BAM BAN ∠=∠射线AM 绕A 点顺时针旋转至AN 便立即逆时针回转，射线BP 绕B 点顺时针旋转至BQ 便立即逆时针回转．射线AM 转动的速度是每秒2度，射线BQ 转动的速度是每秒1度．
（1）直接写出QBA ∠的大小为_______；
（2）射线AM 、BP 转动后对应的射线分别为AE 、BF ，射线BF 交直线MN 于点F ，若射线BP 比射线AM 先转动30秒，设射线AM 转动的时间为t ()0180t <<秒，求t 为多少时，直线//BF 直线AE ？
（3）如图2，若射线BP 、AM 同时转动m ()090m <<秒，转动的两条射线交于点C ，作120ACD ∠=︒，点D 在BP 上，请探究BAC ∠与BCD ∠的数量关系．
27．已知：//AB DE ，//AC DF ，B C E F 、、、四点在同一直线上．
（1）如图1，求证：12∠=∠；
（2）如图2，猜想1,3,4∠∠∠这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； （3）如图3，Q 是AD 下方一点，连接,AQ DQ ，且13DAQ BAD ∠=∠，13
ADQ ADF ∠=∠，若110AQD ∠=︒，求2∠的度数． 28．（1）如图1，已知直线//m n ，在直线n 上取A B 、两点，C P 、为直线m 上的两点，无论点C P 、移动到任何位置都有：ABC S ____________ABP S △（填“>”、“<”或“=”）
（2）如图2，在一块梯形田地上分别要种植大豆（空白部分）和芝麻（阴影部分），若想把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变，请问应该怎么改进呢？写出设计方案，并在图中画出相应图形并简述理由．
（3）如图3，王爷爷和李爷爷两家田地形成了四边形DEFG ，中间有条分界小路（图中折线ABC ），左边区域为王爷爷的，右边区域为李爷爷的。

现在准备把两家田地之间的小路改为直路，请你用有关的几何知识，按要求设计出修路方案，并在图中画出相应的图形，说明方案设计理由。

（不计分界小路与直路的占地面积）．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义可得∠ACD=82°，再根据CP⊥AP，即可得∠2的度数．
【详解】
解：∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠1=98°，
∴∠ACD=180°-98°=82°，
∵CP⊥AP，
∴∠P=90°，
∴∠ACP=90°-∠1=90°-49°=41°，
∴∠2=∠ACD-∠ACP=82°-41°=40°．
则∠2的度数为41°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、垂线，解题的关键是掌握平行线的性质．
2．D
解析：D
【解析】
分析：根据图形平移的性质可得，平移后的图形与原图形大小、形状、开口相同，再根据抛物线的形状由二次项的系数a决定的进行分析即可．
解：由于抛物线的形状由二次项的系数a决定，所以两个函数表达式中的a要相同或互为相反数才可以通过平移变换、轴对称变换得到，A、B选项的二次项系数为2；C选项的二
次项系数为－2；D选项的二次项系数为1
2
，故D不能由原函数平移而得到．
故选D．
3．B
解析：B
【解析】
A不可以；∵∠1=∠3，
∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行)，不能得出AB∥CD，
∴A不可以；
∵∠2=∠4，
∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行)；
∴B可以；
C、D不可以；
∵∠B=∠D,不能得出AB∥CD；
∵∠1+∠2+∠B=180°，
∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行)，
不能得出AB∥BC；
∴C、D不可以；
故选B.
4．D
解析：D
【解析】
分析：等腰三角形中顶角平分线，底边中线及高互相重合，即三线合一，两腰上的角平分线、中线及高都相等．
详解：①等腰三角形的两腰相等；正确；
②等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；正确；
③等腰三角形的两底角相等；正确；
④等腰三角形两底角的平分线相等．正确．
故选D．
点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质以及命题与定理的概念，能够熟练掌握．
5．C
解析：C
【分析】
依据∠ABC=60°，∠2=44°，即可得到∠EBC=16°，再根据BE∥CD，即可得出
∠1=∠EBC=16°．
【详解】
如图，
∵∠ABC=60°，∠2=44°，
∴∠EBC=16°，
∵BE∥CD，
∴∠1=∠EBC=16°，
故选C．
考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
6．B
解析：B
【分析】
过A 作AM ⊥直线b 于M ，过D 作DN ⊥直线c 于N ，求出∠AMD ＝∠DNC ＝90°，AD ＝DC ，∠1＝∠3，根据AAS 推出△AMD ≌△CND ，根据全等得出AM ＝CN ，求出AM ＝CN ＝4，DN ＝8，在Rt △DNC 中，由勾股定理求出DC 2即可．
【详解】
解：如图：过A 作AM ⊥直线b 于M ，过D 作DN ⊥直线c 于N ，
则∠AMD ＝∠DNC ＝90°，
∵直线b ∥直线c ，DN ⊥直线c ，
∴∠2+∠3＝90°，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD ＝DC ，∠1+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
在△AMD 和△CND 中
1390AMD CND AD CD ⎧∠=∠⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△AMD ≌△CND （AAS ），
∴AM ＝CN ，
∵a 与b 之间的距离是3，b 与c 之间的距离是6，
∴AM ＝CN ＝3，DN ＝6，
在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2＝DN 2+CN 2＝32+62＝45，
即正方形ABCD 的面积为45，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了根据平行线的性质证明三角形全等，准确分析是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
根据平行线的判定，由题意知：
①∵68∠=∠，48∠=∠，
∴46∠=∠，
∴a b ∥，故①对．
②∵13∠=∠，17∠=∠，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故②对．
③∵26∠=∠，
∴a b ∥，故③对．
④∵47180∠+∠=︒，34180∠+∠=︒，
∴37∠=∠，
∴a b ∥，故④对．
故选D.
点睛：此题主要考查了平行线的判定，关键是利用图形中的条件和已知的条件，构造两直线平行的条件.
平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
8．C
解析：C
【分析】
根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.
【详解】
解：作直线l 平行于直线l 1和l 2
12////l l l
1430;35180︒︒∴∠=∠=∠+∠=
245∠=∠+∠
2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=
故选C.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键在于等量替换的应用，两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等.
9．B
解析：B
根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．【详解】
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形；
③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；
故选B．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
10．B
解析：B
【分析】
根据选项中角的关系,结合平行线的判定,进行判断．
【详解】
解：A．∠A＝∠BDF，由同位角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
B．∠2＝∠4，不能判断DF∥AC；
C．∠1＝∠3由内错角相等，两直线平行，可判断DF∥AC；
D．∠A+∠ADF＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，可判断DF∥AC；
故选：B．
【点睛】
此题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
11．C
解析：C
【解析】
分析：如图，延长AB交CF于E，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠ABC=60°．
∵∠1=35°，∴∠AEC=∠ABC﹣∠1=25°．
∵GH∥EF，∴∠2=∠AEC=25°．
故选C．
12．A
解析：A
分析：根据两直线平行，内错角相等，得到∠BFD的度数，进而得出∠CFD的度数，再由三角形外角的性质即可得到结论．
详解：如图，延长ED交BC于F．
∵DE∥AB，∴∠DFB=∠ABF=120°，∴∠CFD=60°．
∵∠CDE=∠C+∠CFD，∴∠C=∠CDE-∠CFD=135°－60°=75°．
故选A．
点睛：本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题
13．70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
14．24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A
和
解析：24
【解析】
【分析】
根据三线八角的特点，对四条直线产生的6个交点，两两一组进行分类求解即可.
【详解】
解：如图所示
观测点A和点B，同旁内角有2对；A和C有2对；A和D，没有同旁内角；A和E有2对；A和F有2对.B和C有2对；B和D有2对；B和E有2对；B和F没有同旁内角.C和D有2对，C和E没有同旁内角，C和F有2对.D和E有2对；D和F有2对.E和F有2对.共有2×12=24对.
故答案是：24.
【点睛】
本题主要考察三线八角中的同旁内角，正确理解同旁内角和准确的分类是解题的关键.
15．130°或50°
【解析】
【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．
【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°
故β=130°，
在上述情
解析：130°或50°
【解析】
【分析】作图分析，若两个角的边互相垂直，那么这两个角必相等或互补，可据此解答．
【详解】如图∵β的两边与α的两边分别垂直，
∴α+β=180°
故β=130°，
在上述情况下，若反向延长∠β的一边，那么∠β的补角的两边也与∠α的两边互相垂直，故此时∠β=50；
综上可知：∠β=50°或130°，
故正确答案为：
【点睛】本题考核知识点：四边形内角和. 解题关键点：根据题意画出图形，分析边垂直的2种可能情况.
16．平行 平行 垂直
【解析】
根据平行公理的推论，可由，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a ∥c ；根据，，得到a ⊥c.
故答案为平行，平行，垂直.
点睛：由平
解析：平行 平行 垂直
【解析】
根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.
故答案为平行，平行，垂直.
点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）．17．①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长
解析：①③
【分析】
求出AB长为定值，P到AB的距离为定值，再根据三角形的面积公式进行计算即可；根据运动得出PA+PB不断发生变化、∠APB的大小不断发生变化．
【详解】
解：∵A、B为定点，
∴AB长为定值，
∴①正确；
∵点A，B为定点，直线l∥AB，
∴P到AB的距离为定值，故△APB的面积不变，
∴③正确；
当P点移动时，PA+PB的长发生变化，
∴△PAB的周长发生变化，
∴②错误；
当P点移动时，∠APB发生变化，
∴④错误；
故选A．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，等底等高的三角形的面积相等，平行线间的距离的运用，熟记定理是解题的关键．
18．①③④
【分析】
根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公
解析：①③④
【分析】
根据平移的性质分别对各个小题进行判断：①利用平移前后对应线段是平行的即可得出结
果；②平移距离指的是对应点之间的线段的长度；③根据平移前后对应线段相等即可得出结果；④利用梯形的面积公式即可得出结果．
【详解】
解：∵直角三角形ABC沿斜边AC的方向平移到三角形DEF的位置，
∴AB∥DE，
∴∠ABC=∠DGC=90°，
∴DE⊥BC，
故①正确；
△ABC平移距离应该是BE的长度，BE>4，
故②错误；
由平移前后的图形是全等可知：AC=DF,
∴AC-DC=DF-DC,
∴AD=CF,
故③正确；
∵△BEG的面积是4，BG=4，
∴EG=4×2÷4=2，
∵由平移知：BC=EF=12，
∴CG=12-4=8，
四边形GCFE的面积：（12+8）×2÷2=20，
故④正确；
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查的是平移的性质，正确的掌握平移的性质是解题的关键．
19．46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠
解析：46
【分析】
过点C作CF∥AB，根据平行线的传递性得到CF∥DE，根据平行线的性质得到∠ABC＝
∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，根据已知条件等量代换得到∠BCF＝76°，由等式性质得到∠DCF＝30°，于是得到结论．
【详解】
解：过点C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CF，
∴∠ABC＝∠BCF，∠CDE+∠DCF＝180°，
∵∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，
∴∠BCF＝76°，∠DCF＝30°，
∴∠BCD＝46°，
故答案为：46．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质得到角之间的等量关系．20．121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即
解析：121°
【分析】
由AC∥BD，根据两直线平行，同位角相等，即可求得∠B的度数；由邻补角的定义，求得∠BAC的度数；又由AE平分∠BAC交BD于点E，即可求得∠BAE的度数，根据三角形外角的性质即可求得∠2的度数．
【详解】
∵AC∥BD，
∴∠B=∠1=64°，
∴∠BAC=180°-∠1=180°-62°=118°，
∵AE平分∠BAC交BD于点E，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=59°，
∴∠2=∠BAE+∠B=62°+59°=121°．
故答案为121°．
【点睛】
此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角的定义以及三角形外角的性质．题目难度不大，注意数形结合思想的应用．
三、解答题
21．（1）见解析；（2）∠1＞∠2＞∠3，理由见解析；（3）BE⊥AD，理由见解析
【分析】
（1）证明∠C+∠ADC=180°，再根据平行线的判定证明即可；
（2）通过比较∠EBC、∠FBC、∠DBC的大小，再进行等量代换即可；（3）设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，根据∠ABC=130°列出方程，求解即可．【详解】
解：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠A+∠ADC=180°，
∵∠A=50°，
∴∠ADC=130°，
∵∠C=50°，
∴∠C+∠ADC=180°，
∴AD∥BC；
（2）∠1＞∠2＞∠3，
∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，∠2=∠FBC，∠3=∠DBC，
∵∠EBC＞∠FBC＞∠DBC，
∴∠1＞∠2＞∠3；
（3）∵AD∥BC，
∴∠1=∠EBC，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠1=∠BDC，
∴∠ABE=∠DBC，
∵BE平分∠ABF，
设∠FBD=x°，则∠DBC=4x°，
∴∠ABE=∠EBF=4x°，
∴4x+4x+x+4x=130°，
∴x=10°，
∴∠1=4x+x+4x=90°，
∴BE⊥AD．
【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的判定和性质解答．22．（1）35°；（2）见解析；（3）30°或65°或175°或210°
【分析】
(1)利用AB∥CD，得到∠B＝∠BFD，又∠B=∠EFB，由此得到∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°；
(2)由(1)知∠EFB＝∠BFD，利用FH⊥FB，得到∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°，再由等角的余角相等得到∠DFH＝∠GFH即可求解；
(3)按QH分别与△EBF的三边平行三种情况分类讨论即可．
【详解】
解：(1)AB∥CD，∴∠B＝∠BFD．
∵∠EFB＝∠B，
∴∠EFB=∠BFD=1
2
∠EFD=35°，
∴∠B＝35°，
故答案为：35°；
(2)∵FH⊥FB，
∴∠BFD＋∠DFH＝90°，∠EFB＋∠GFH＝90°
∵∠EFB＝∠BFD，由等角的余角相等可知，
∴∠DFH＝∠GFH．
∴FH平分∠GFD．
(3)分类讨论：
情况一：QH与△EFB的边BF平行时，如下图1和图4所示：
当为图1时：
∵BF与HQ平行，∴∠H+∠BFH=180°，又∠H=60°，
∴∠BFH=120°，此时旋转角α=∠BFQ=120°-∠HFQ=120°-90°=30°，当为图4时：
此时∠HFB=∠H=60°，
旋转角α=∠1+∠2+∠3=360°-(∠HFB+∠HFQ)=360°-(60°+90°)=210°；情况二：QH与△EFB的边BE平行时，如下图2所示：
此时∠1=∠3=35°，∠2=∠4=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2=35°+30°=65°；
情况三：QH与△EFB的边EF平行时，如下图3所示：
此时∠3=∠Q=30°，
∴旋转角α=∠BFQ=∠1+∠2+∠3=35°+110°+30°=175°，
综上所述，旋转角α＝30°或65°或175°或210°．
故答案为：α＝30°或65°或175°或210°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，周角的定义等，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键．
23．（1）见详解；（2）见详解；（3）29.5°．
【分析】
（1）根据平行线的性即可A ACD ∠=∠，B BCE ∠=∠，再根据平角的定义进行等量代换即可证明；
（2）因为根据平角的定义和三角形的内角和定理即可得到结论；
（3）根据平行线的性质得到119DEB ∠=︒，61AED ∠=︒，由角平分线的性质得到59.5DEF ∠=︒，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
【详解】
（1）如图1所示，在ABC ∆中，//DE AB ，
A ACD ∴∠=∠，
B BCE ∠=∠．
180ACD BCA BCE ∠+∠+∠=︒，
180A B ACB ∴∠+∠+∠=︒．
即三角形的内角和为180︒；
（2）180AGF FGE ∠+∠=︒，
由（1）知，180GEF F FGE ∠+∠+∠=︒，
AGF AEF F ∴∠=∠+∠；
（3）//AB CD ，119CDE ∠=︒，
119DEB CDE ∴∠=∠=︒，18061AED CDE ∠=︒-∠=︒，
∵EF 平分DEB ∠，
59.5DEF ∴∠=︒，
120.5AEF AED FED ∴∠=∠+∠=︒，
150AGF ∠=︒，AGF AEF F ∠=∠+∠，
150120.529.5F ∴∠=︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的证明与应用，三角形外角定理证明与应用，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键，此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
24．（1）C ；（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠；（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒；（4）90BAC DEF CDE
【分析】
（1）利用平行线的性质，即可得到180A ACD ∠+∠=︒，180E ECD ∠+∠=︒，进而得出360BAC
ACE CEF ； （2）过D 作//DG AB ，利用平行线的性质，即可得到A ADG ，E EDG ，进而得出A E ADG EDG ADE ；
（3）利用（1）可得360BAC C CEF ，利用（2）可得D
BAD DEF ，根据AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，即可得到22360BAD
C DEF
,化简即可得到ACE ∠与ADE ∠之间的数量关系； （4）过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，则有//////CG AB EF DH ，可得
1180BAC
， 23∠∠=，4DEF ，34CDE ，则有1180BAC ，可求出390BAC ，利用34CDE ，4DEF ，得到
90BAC DEF CDE ． 【详解】
解：（1）
////AB CD EF ，
180A ACD ，180E ECD ∠+∠=︒， 360A ACD E ECD ，
即360BAC ACE CEF ，
故选：C ．
（2）BAD DEF ADE ∠+∠=∠，
如图，过D 作//DG AB ，
//AB EF ，
////DG AB EF ∴，
A ADG ，E EDG ，
A E ADG EDG ADE ；
（3）2360C ADE ∠+∠∠=︒， 理由：由（1）可得，360BAC
C CEF ， 由（2）可得，D
BAD DEF ， 又AD ，ED 分别平分BAC ∠，CEF ∠，
2BAC AD B ，2CEF DEF ，
22360BAD C DEF ，
即2()360BAD
DEF C ，
2360ACE ADE ．
（4）90BAC DEF CDE ，
理由：如图，过C 作//CG AB ，过D 作//DH AB ，
//AB EF ，
//////CG AB EF DH ，
∴1180BAC ， 23∠∠=，4DEF ，34CDE
∴1180BAC
∵1290∠+∠=，
∴
329019018090BAC BAC ， ∴3490
BAC DEF CDE ， 即有：90BAC
DEF CDE ． 【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
25．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平
分线的定义得出∠ABC＝3x，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF＝∠CBF，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC与∠FDC，由平移的性质与平行公理的推论得出AD∥PQ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【详解】
解：（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠EDF＝∠DAB，
∵DF平分∠EDC，
∴∠EDF＝∠FDC，
∴∠FDC＝∠DAB，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴AD∥BC；
（2）∵
3
2
CFB DCF
∠=∠，设∠DCF＝x，则∠CFB＝1.5x，
∵CF∥AB，
∴∠ABF＝∠CFB＝1.5x，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC +∠ABC ＝180°，
∴∠ABC ＝120°，∠FDC ＝60°，
∵线段BC 沿直线AB 方向平移得到线段PQ ，
∴BC ∥PQ ，
∵AD ∥BC ，
∴AD ∥PQ ，
∵∠PQD ﹣∠QDC ＝20°，
∴∠QDC ＝∠PQD ﹣20°，
∴∠FDC +∠QDC +∠PQD ＝60°+∠PQD ﹣20°+∠PQD ＝180°，
∴∠PQD ＝70°，即∠DQP ＝70°．
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（1）60°；（2）当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，2BAC BCD ∠=∠．
【分析】
(1)根据2BAM BAN ∠=∠得到60BAN ∠=︒，再根据直线平行的性质即可得到答案；
(2)设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，分情况讨论重合前平行、重合后平行即可得到答案；
(3)根据补角的性质表示出BAC ∠，再根据三角形内角和即可表示出BCD ∠，即可得到答案；
【详解】
解：（1）∵2BAM BAN ∠=∠
180BAM BAN ∠+∠=︒，
∴60BAN ∠=︒，
∴QBA ∠60BAN =∠=︒（两直线平行，内错角相等）
故结果为：60︒；
（2）设灯转动t 秒，直线//BF 直线AE ，
①当090t <<时，如图，
//PQ MN ，
PBF BFA ∴∠=∠，
//AE BF ，
EAM BFA ∴∠=∠，
EAM PBF ∴∠=∠，
21(30)t t ∴=⋅+，
解得30t =；
②当90180t <<时，如图，
//PQ MN ，180PBF BFA ∴∠+∠=︒，
//AE BF ，EAN BFA ∴∠=∠
180PBF EAN ∴∠+∠=︒，1(30)(2180)180t t ∴⋅++-=，
解得110t =，
综上所述，当30t =秒或110秒时//BF 直线AE ；
（3）BAC ∠和BCD ∠关系不会变化，
理由：设射线AM 转动时间为m 秒，
作//CH PQ ，//PQ MN ，////CH PQ MN ∴，
2180QBC ∴∠+∠=︒，1180MAC ∠+∠=︒，
21360QBC MAC ∴∠+∠+∠+∠=︒，
180QBC m ∠=︒-，2MAC m ∠=，
()123601802180BCA m m m ∴∠=∠+∠=---=︒︒-︒，
而120ACD ∠=︒，
()12012018060BCD BCA m m ︒︒∴∠=-∠=--=-︒︒，
1802CAN m ∠=︒-，
()18022120BAC QBA m m ︒︒∴∠=∠--=-，
:2:1BAC BCD ∴∠∠=，
即2BAC BCD ∠=∠，
BAC ∴∠和BCD ∠关系不变．
【点睛】
本题主要考查了补角、角的运算、直线平行的性质和判定以及三角形的内角和定理，结合图形添加辅助线、分类讨论是解题的关键．
27．（1）详见解析；（2）118034∠+︒=∠+∠，详见解析；（3）230∠=︒
【分析】
（1）如下图，延长AC ，DE 相交于点G ，利用∠G 作为过渡角可证；
（2）如下图，作//CP AB ，可得//CP DE ，推导得出118034∠+︒=∠+∠； （3）如下图，过Q 作1//AD l ∠，利用平行可得出70x y +=︒，再利用////QR AB DE 得到22110x y z +-=︒，从而得出z 的值．
【详解】
（1）延长,AC DE 相交于点G ．
∵//AB DE ，//AC DF
∴1G ∠=∠，2G ∠=∠
∴12∠=∠．
（2）作//CP AB ，则//CP DE
∵//CP AB ，//CP DE ．
∴1ACP ∠=∠，4180ECP ∠+∠=︒
∴11804ACP ECP ∠+︒=∠+∠+∠
即118034∠+︒=∠+∠．
（3）过Q 作1//AD l ∠
则5D ∠=．6y ∠=
∵56110180∠+∠+︒=︒
∴110180x y ++︒=︒
即70x y +=︒
旁证：过Q 作//QR AB ，则//QR DE ．
设DAQ x ∠=，APQ y ∠=，2z ∠=．
则2BAQ x ∠=，2FDQ y ∠=，1z ∠=．
∵////QR AB DE
∴2AQR BAQ x ∠=∠=，2EDQ DQR y z ∠=∠=-．
∴22110x y z +-=︒
又∵70x y +=︒
∴22140x y +=︒
∵(2)(22)30x y x y z z +-+-==︒
∴230∠=︒
【点睛】
本题考查角度的推导，第（3）问的解题关键是通过方程思想和整体思想，计算得出∠2的
大小．
28．（1）=；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据平行线间的距离处处相等，所以无论点C P 、在m 上移动到何位置，总有ABC 与ABP △同底等高，因此它们的面积相等；
（2）利用同底等高的三角形的面积相等即可求得设计方案；
（3）连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ，连结AQ 或CP ，则AQ 或CP 即为所修直路．
【详解】
（1）∵ABC 与ABP △有共同的边AB ，
又∵//m n ，
∴ABC 与ABP △的高相等，即ABC 与ABP △同底等高，
∴ABC S =ABP S △，
故答案为：=；
（2）方法一：
连结AC ，将ACD 的区域用于种植大豆，ABC 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则ACE △与ABE △同底等高，
∴ACE ABE S S =△△，
∴ABE ECD ACE ECD S S S S +=+△△△△，
即ACD ABE ECD S S S =+△△△，
又由//AD BC 可知ABC 与EBC 同底等高，
∴=B ABC E C S S ，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
方法二
连结BD ，将ABD △的区域用于种植大豆，BCD 的区域用于种植芝麻，理由如下： 在梯形ABCD 中,//AD BC ，
则BED 与CED 同底等高，
∴=BED CED S
S ， ∴+=+ABE CED ABE BED S
S S S ， 即=+ABD ABE CED S S S ，
又由//AD BC 可知BCD 与BCE 同底等高，
∴BCD BCE S S =△△，
∴该设计方案把种植大豆的两块地改为一块地，且使分别种植两种植物的面积不变；
（3）方法一
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结AQ ，AQ 即为所修直路．
将四边形ADEQ 的区域分给王爷爷，四边形AGFQ 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则BCQ △与ABQ △同底等高，
∴BCQ ABQ S S =△△，则ABP BCQ ABP ABQ S S S S +=+△△△△，
即APQ ABP BCQ S S S =+△△△，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACQ 同底等高，
∴ABC ACQ S S =△△，
∴AQ 满足修路方案；
方法二：
连结AC ，过B 点作AC 的平行线PQ ：连结PC ，PC 即为所修直路．
将四边形CEDP 的区域分给王爷爷，四边形CPGF 的区域分给李爷爷，理由如下： ∵//PQ AC ，则ABP △与PBC 同底等高，
∴ABP PBC S S =△△，则ABP BCQ PBC BCQ S S S S +=+△△△△，
即=+CPQ ABP BCQ S S S ，
又由//PQ AC 可知ABC 与ACP △同底等高，
∴ABC ACP S S =△△，
∴PC 满足修路方案．
【点睛】
本题主要考查了两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是同底等高的，则两个三角形的面积一定相等．解题的关键还要根据等式的性质进一步进行变形．。