物理沪科版必修2学案：讲练互动 5.3万有引力定律与天

讲练互动
【例1】2003年10月16日，我国成功地发射了载人航天宇宙飞船，航天英雄杨利伟乘坐的返回舱经21 h 围绕地球运行14周，在太空中进行了大量的科学试验，拍摄、记录了大量的资料，成功地返回了地面，假设返回舱在太空运动是围绕地球做匀速圆周运动，试求运行高
度和运行速度.（已知，万有引力常量Ｇ=6.67×10－
11 N·m 2/kg 2，地球质量Ｍ=5.98×1024 kg ，地球半径Ｒ=6 400 km ） 解析：根据题目所给条件可以得到宇宙飞船的周期，再根据万有引力等于向心力即可求出运行高度和运行速度.
解：返回舱在太空中围绕地球做匀速圆周运动时，成为地球卫星，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
G 2
)
(h R Mm
+=m 224T π(R+h)① 式中ｈ为运行高度，Ｔ为运行周期：T=1421×3 600 s=5.4×103
s ，由①式得：h=32
2
4π
GMT -R ，代入数值h=2
2
3241114
.34)104.5(1098.51067.6⨯⨯⨯⨯⨯⨯--6 400×103 m=2.7×105 m 运行的线速度
v=T h R )(2+π=3
610
4.51067.614.32⨯⨯⨯⨯m/s=7.76×103 m/s. 绿色通道 解决天体运动要紧紧抓住万有引力提供向心力这一关键点，列出方程求解.列方
程时要注意向心力的不同表述形式，根据所求量选取恰当的表达式. 变式训练
1.在研究宇宙发展演变的理论中，有一种学说叫做“宇宙膨胀说”，这种学说认为万有引力常量G 在缓慢地减小.根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球的公转情况与现在相比（ ）
A.公转半径R 较大
B.公转周期T 较大
C.公转速率v 较大
D.公转角速度ω较小 解析：由于万有引力常量在缓慢地减小，地球所受的万有引力在变化，故地球公转的半径R 、速率v 、周期T 、角速度ω等在变化，即地球做的不是匀速圆周运动.但由于G 减小得非常缓慢，在并不太长的时间内，可以认为地球公转的R 、v 、T 、ω等均保持不变，是匀速圆周运动，仍遵循天体运动的基本规律——所受的万有引力等于圆周运动的向心力，这是处理物
理问题的一种基本方法——理想化方法，据此有G 2R Mm =m R
v 2，所以，其公转速率的表达
式为v=R GM ，公转周期的表达式为T=2πGM R 3
,公转角速度的表达式为ω=3
R GM .
对于漫长的演变过程而言，由于万有引力常量G 在减小，地球所受的万有引力将逐渐减小，
即有G 2R Mm <m R
v 2
，地球将做离心运动，即公转半径R 将增大.据此，可得公转速率v 变小，
公转周期T 增大，而公转角速度ω则变小.故正确选项为C. 答案：C
【例2】太阳光经500 s 到达地球，地球的半径为6.4×106 m ，试估算太阳质量与地球质量的比值.（取一位有效数字）
解析：要求太阳和地球的质量之比，应先求出太阳和地球的质量.根据地球是太阳的一颗卫星计算出太阳的质量，根据地球表面的重力加速度计算出地球的质量.地球与太阳之间的距离可以通过光到达地球的时间求得. 解：地球到太阳的距离为r ＝ct ＝3.0×108×500 m ＝1.5×1011 m.地球绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，向心力为太阳对地球的引力，地球绕太阳公转的周期为T=365 d ＝3.2×107 s ，则
G 2r Mm =m 224T
πr ，太阳的质量为M=2
324GT r π,地球表面的重力加速度g ＝9.8 m/s 2，在忽略地球自转的情况下，物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的万有引力，即mg=
2
'R m
Gm ，则m′=G
gR 2
；太阳质量和地球质量的比值为
14
212233322222102.3104.68.9105.114.344'⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
=T gR r m M π=3×105
. 绿色通道 求天体质量的方法主要有两种：一是根据重力加速度求天体质量，即g=
2
R GM
，则M=G gR 2；另一种方法是根据天体的圆周运动，即G 2r Mm =m 224T
πr ，求得M=23
24GT r π.
变式训练
2.利用下列哪组数据，可以计算出地球的质量（ ） A.已知地球的半径R 和地面的重力加速度
B.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和周期T
C.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r 和线速度
D.已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T
解析：根据mg= 2R GMm 可得M=G gR 2
，所以选项A 正确.根据G 2
r Mm =m(T π2)2r 可得M=2
324GT r π，所以选项B 正确.根据G 2r Mm =m r v 2
可得M=G rv 2，所以选项C 正确.根据
G 2r Mm =mv·T π2和G 2r Mm =m r v 2
可得：M=G
T v π23,所以选项D 正确.
答案：ABCD
【例3】（经典回放）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动.现测得两行星中心距离为R ，其周期为T.求两行星的总质量.
解析：由万有引力定律得：G
2
2
1R
m m =m 1ω2R 1 所以2
2R
Gm =ω2R 1，即m 2=G R R 2
12ω 同理：G 2
21R
m m =m 2ω2
R 2，所以m 1=G R R 222ω，即 m 1+m 2=
G
R R R )
(2122+ω
又因为：R 1+R 2=R ，所以m 1+m 2=
G
R 3
2ω，而ω=
T
π
2 解得：m 1+m 2=23
24GT r π.
答案：m 1+m 2=2
3
24GT
r π 绿色通道 解决双星模型的习题时，应注意以下几点：其一，两星之间的万有引力提供各自所需要的向心力；其二，两星绕某一圆心做匀速圆周运动的绕向相同、周期相同；其三，两星的轨道半径之和等于两星间的距离. 变式训练
3.宇宙中有一种双星，质量分别为m 1、m 2的两个星球绕同一圆心做匀速圆周运动，它们之间的距离恒为L ，不考虑其他星体的影响，两颗星的轨道半径和周期各是多少？
解析：如图所示，双星绕圆心O 做圆周运动，所需向心力由双星之间的万有引力提供，并且两星做圆周运动的角速度相同，半径之和为L. 对m 1有：G
2
2
1L
m m =m 1ω2R 1 对m 2有：G
2
21L
m m =m 2ω2
R 2 整理得：m 1R 1=m 2R 2 所以R 1=
212m m L m +，R 2=2
11m m L
m +
把R 1代入ω=
T
π
2,解得T=2πL )(21m m G L +.
答案：R 1=
212m m L m + R 2=211m m L m + T=2πL )(2
1m m G L
+
体验探究
【问题】如何计算天体的质量？
导思:求天体质量的方法主要有两种：一种是根据重力加速度求天体质量，即g=
2R
GM
，则M=G
gR 2；另一种是根据天体的圆周运动，即根据天体做圆周运动的向心力由万有引力提供,
列方程求解.
由于天体运动中最容易测量的是天体的运行周期，其中很多行星的运行周期可以通过生活常识获得，因此向心力的表达式一般用mr （
T π2）2表示，即G 2'r
m m =mr （T π2）2
. 探究:应用万有引力定律可以计算天体的质量.基本思路是：根据行星（或卫星）的运动情况，
求出行星（或卫星）的向心加速度，而向心力是由万有引力提供的，这样，列出方程即可求得中心天体（太阳或行星）的质量.
假设m′是太阳的质量，m 是某个行星的质量，r 是它们之间的距离，T 是行星公转的周期，
那么行星做匀速圆周运动所需的向心力为F=mrω2=mr （
T π2）2
而行星运动的向心力是由万有引力提供的，所以G 2'r
m m =mr （T π2）2
由此可以解出m′=2
3
24GT
r π 如果测出行星的公转周期T 以及它和太阳的距离r ，就可以算出太阳的质量.例如，地球绕太阳公转的轨道半径是1.50×1011 m ，公转的周期是3.16×107 s ，所以太阳的质量为
m′=2
7113112)
1016.3(1067.6)1050.1(14.34⨯⨯⨯⨯⨯⨯-kg=2.0×1030 kg 同理，根据月球绕地球运转的轨道半径和周期，可以计算出地球的质量是5.89×1024 kg.。