天津市2018届高三毕业班联考数学(文)试题(一)有答案

2018年天津市高三毕业班联考（一）
数 学（文）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！
第I 卷（选择题，共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2．选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，不能答在试卷上。

参考公式：
•锥体的体积公式Sh V
3
1
=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一 个是正确的。

1. 已知集合}5,4,3,2,1,0{=A ,集合}10{2
<=x x B ，则=⋂B A ( ) A ．}4,2,0{ B ．}3{ C ．}3,2,1,0{ D ．}3,2,1{
2. 设实数,x y 满足约束条件22010220x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪--≥⎩
，则z x y =+的最小值是( ) A ．
8
5
B ．1
C ．2
D ．7 3. 执行如图所示的程序框图，输出的s 值为( ) A ．
23B ．35C ．58D ．8
13 4．设R x ∈，则“
11<x ”是“1)2
1
(>x ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
5. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点到抛物线2
2(0)y px p =>的准线的距离为4,点
)22,2(是双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点,则双曲线的标准方程为( )
A ．15422=-y x
B ．14522=-y x
C ．13622=-y x
D ．16
32
2=-y x 6. 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上单调递增，若)3(log 5
1f a =，
结束
开始
否
1
k k +=是
4k <1
s 0,k ==s
1s s +=
s
输出
)2.0(,)5(log 5.03f c f b ==，则c b a ,,的大小关系为( )
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．c a b <<
D ．c b a << 7．将函数)(sin cos 3R x x x y ∈+=
的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移(0)m m >个
单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m 的最小值是( ) A ．
34π B ．3
π C ．
6
5π
D ．
6
π 8.定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足1
)1(1)(+-=
x f x f ，当]0,1(-∈x 时，111
)(-+=x x f ，若函数
m mx x f x g ---
=2
1
)()(在)1,1(-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．)169,
41( B ． )169,41[ C ．11[,)42 D ．11
(,)42
第Ⅱ卷 (非选择题，共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9.已知R a ∈，i 为虚数单位，若
i
i
a 21-+为纯虚数，则a 的值为________. 10.设函数123
++=x x y 的图象在点)4,1(P 处的切线为l ，则直线l 在y
轴上的截距为________.
11.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________. 12.已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，点)22,0(M 在圆C 上，且圆心
到
直线012=+-y x 的距离为
5
5
3，则圆C 的方程为________. 13．已知R b a ∈,,且a 是b -2与b 3-的等差中项，则|
|||24b a ab
+的最
大
值为________.
14.在等腰梯形ABCD 中，已知CD AB //，3=AB ，2=BC ，060=∠ABC ，动点F E ,分别在线段BC 和CD 上，且λ2=，DC DF )31(λ-=，则⋅的取值范围为______.
三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，4
π
=B ，23=c ，ABC ∆的面
积为6．
1
1
侧视图
2
2
俯视图
正视图
3
3
22
（Ⅰ）求a 及A sin 的值；（Ⅱ）求)6
2sin(π
-A 的值．
16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题
的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)75,70，[)80,75，[)85,80，[)90,85，[)95,90，]100,95[，得到如图所示的频率分布
直方
图.
（Ⅰ）求图中a 的值；
（Ⅱ）若从竞赛成绩在[)75,70与]100,95[两个分数段的
学生M 中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差
的绝
对值不大于5分为事件M ,求事件发生的概率.
17. (本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥A A 1平面ABC ,BC AC =
,421==A A AB 以BC AB ,为邻边作平行四边形ABCD ,连接11,DC D A .
（Ⅰ）求证：//1DC 平面11ABB A ; （Ⅱ）若二面角A DC A --1为 45. ①求证：平面⊥D C A 11平面AD A 1;
②求直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值.
18.(本小题满分13分）已知正项等比数列}{n a ，等差数列}{n b 满足111==b a ,722=+b a ，
且2a 是1b 与23+b 的等比中项. （Ⅰ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n n
n b a b c 2)1(+-=，求数列}{n c 的前n 项和n
T .
19．（本小题满分14分）已知椭圆C 1:()x y a b a b +=>>222210的上顶点为A ,
离心率为. 抛物线
:C y x =-+221截x 轴所得的线段长为C 1的长半轴长.
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l 与C 2相交于,B C 两点,直线,AB AC 分别与1C 相交于,P Q 两点
1
B B
C D A
1
A 1
C
.0.0.0.0
①证明：以BC 为直径的圆经过点A ； ②记ABC ∆和APQ ∆的面积分别是21,S S ,求S S 1
2
的最小值.
20．（本小题满分14分）已知函数x x a x f -=ln )( （Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性 ；
（Ⅱ）若01)(<+x f 对任意),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当a e e <≤+
10时，若函数x
x f x g 1
)()(+=有两个极值点)(,2121x x x x <,求 ()()g x g x -21的最大值.
2018年天津市十二重点中学高三毕业班联考（一）
数学试卷（文科） 评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．2； 10．1-； 11.
3310； 12．9)1(2
2=+-y x ； 13．94； 14．]1,3
1[
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15．（本小题满分13分） 在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，4
π
=B ，23=c ，ABC ∆的面积为6．
（Ⅰ）求a 及A sin 的值；（Ⅱ）求)6
2sin(π
-A 的值．
解：（Ⅰ）由已知B ac S ABC sin 2
1
=
∆ 44
sin .23.216=∴=
∴a a π………………2分 10
2
223421816cos 22
222=⨯⨯⨯-+=∴-+=b B
ac c a b 且 10=∴b ………………4分
在ABC ∆中，
B
b
A a sin sin =
55
2sin 2
2
10sin 4=
∴=∴A A ………………6分 （Ⅱ）2
0π
<<∴<A c a ………………7分
又分
分分125
3
15121cos 22cos 1054
555522cos .sin 22sin 85
5
cos 552sin 2⋯⋯⋯⋯-=-⨯=-=⋯⋯⋯⋯=⨯⨯==∴⋯⋯⋯⋯=∴=
A A A A A A A 6sin .2cos 6cos .2sin )62sin(π
ππA A A -=-∴
10
33421)53(2354+=⨯--⨯=
………………13分
16.（本小题满分13分）为进一步贯彻落实“十九”大精神，某高校组织了“歌颂祖国，紧跟党走”为主题
的党史知识竞赛。

从参加竞赛的学生中，随机抽取40名学生，将其成绩分为六段[)75,70，
[)80,75，[)85,80，[)90,85，[)95,90，]100,95[，得到如图所示的频率分布直方图.
（Ⅰ）求图中a 的值； （Ⅱ）若从竞赛成绩在[)75,70与]100,95[两个分数段的学生
中随机选取两名学生，设这两名学生的竞赛成绩之差的绝对
值不大于5分为事件M ,求事件M 发生的概率.
解：（Ⅰ）由于图中所有小矩形的面积之和等于1， 所
以
1)05.004.002.002.001.0(5=+++++⨯a ………………2分
解得06.0=a …………………3分
（Ⅱ）成绩在[)75,70分数段内的人数为205.040=⨯人，分别记为B A ,……4分
成绩在[]100,95分数段内的人数为41.040=⨯人，分别记为F E D C ,,,……5分 在两个分数段内随机选取两名学生，所有的基本事件为：
{}{}{}{}{}F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,{}{}{}{}F B E B D B C B ,,,,,,,
{}{}{}F C E C D C ,,,,,{}{}F D E D ,,,{}F E , 共15种. ………………9分
事件M 包含的基本事件有：{},,B A {}{}{}F C E C D C ,,,,,{}{}F D E D ,,,{}F E ,共7种 (12)
分
事件M 发生的概率为15
7
)(=
M P ……………………13分 17. (本小题满分13分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，⊥A A 1平面ABC ，BC AC =，
,421==A A AB 以BC AB ,为邻边作平行四边形ABCD ,连接11,DC D A . （Ⅰ）求证：//1DC 平面11ABB A ;
（Ⅱ）若二面角A DC A --1为 45. ①求证：平面⊥D C A 11平面AD A 1;
②求直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值.
解：（Ⅰ）连接1AB 11////C B BC AD 且
11C B BC AD ==
11B ADC 四边形∴为平行四边形11//DC AB ∴…………………2分
又111ABB A AB 平面⊂ 111ABB A DC 平面⊄∴1DC //平面11ABB A ………4分
（Ⅱ）取DC 中点M ，连接AM M A ,1AC A Rt AD A Rt 11∆≅∆ C A D A 11=∴DC M A ⊥∴1…………5分
又DC AM ⊥∴MA A 1∠∴为二面角的平面角
451=∠∴MA A …………6分
AM A Rt 1∆∴中，2221==∴==AC AD AM AA 222DC AD AC =+∴AD AC ⊥∴…………7分
又1AA AC ⊥ A AA AD =⋂1AD A AC 1平面⊥∴…………8分
.0.0.0.01
B B
C
D A
1
A 1
C
又11//C A AC AD A C A 111平面⊥∴⊂11C A 平面D C A 11
AD A D C A 111平面平面⊥∴…………9分
（Ⅲ）D C AB 11// AD A D C 11与平面∴所成角与AD A AB 11与平面所成角相等………10分
由（2）知AD A A C 111平面⊥…………11分 D A 1∴为线D C 1在平面AD A 1内的射影
11DC A ∠为直线1DC 与平面AD A 1所成角…………12分
在11DC A Rt ∆中，3
6tan 1111
1
==
∠D A C A DC
A
∴直线1AB 与平面AD A 1所成角的正切值为
3
6
…………13分
18.(本小题满分13分）已知正项等比数列}{n a ，等差数列}{n b 满足111==b a ,722=+b a ，
且2a 是1b 与23+b 的等比中项. （Ⅰ）求数列}{},{n n b a 的通项公式；
（Ⅱ）设n n n n
n b a b c 2)1(+-=，求数列}{n c 的前n 项和n
T .
解：设等比数列}{n a 的公比为q ，等差数列}{n b 的公差为d
由2a 是1b 与23+b 的等比中项可得：)2(312
2+=b b a ， …………1分 又722=+b a ，则：⎩⎨
⎧+==++d
q d q 23712
，解得3=q 或5-=q
因为}{n a 中各项均为正数，所以3=q ，进而3=d . …………3分
故23,31
-==-n b a n n n . …………5分 （Ⅱ）设1
3)26()23()1(-⋅-+--=n n n n n c
设数列)}23()1{(--n n 的前n 项和为n A ，数列}3
)26{(1
-⋅-n n 的前n 项和为n B
当n 为偶数时，2
3)23()]53([10741n
n n A n =-+--++-+-= …………7分 当n 为奇数时，2
3123233)23(1n
n n n A A n n -=
+--=
--=-…………9分 而 1
2103)26(31631034-⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n B ①
则n n n n n B 3)26(3)86(3163103431321⋅-+⋅-++⨯+⨯+⨯=
- ②
由①-②得：
n
n
n
n
n n n n n B 3)56(53)26(3
133643)26()333(642121⋅---=⋅----⨯+=⋅--++++=--
因此n n n B 32
5625⨯-+=
…………12分
综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧⨯-+-⨯-++=为奇数
为偶数
n n n n n n T n n
n 32562
3632
56253…………13分
20．（本小题满分14分）已知椭圆C 1:()x y a b a b +=>>222210的上顶点为A ,
离心率为2. 抛物线
:C y x =-+221截x 轴所得的线段长为C 1的长半轴长.
（Ⅰ）求椭圆1C 的方程；
（Ⅱ）过原点的直线l 与C 2相交于,B C 两点,直线,AB AC 分别与1C 相交于,P Q 两点 ①证明：以BC 为直径的圆经过点A ； ②记ABC ∆和APQ ∆的面积分别是21,S S ,求
S S 1
2
的最小值. 解：（Ⅰ）已知.y x =-+2
1中，令,y =0得x =±1，a ∴=2，…………1分
又
c a =2
，则c =b =1 故：椭圆1C 的方程为：x y +=2
214
…………2分 （Ⅱ）①直线l 的斜率显然存在，设l 方程为mx y =.由⎩⎨
⎧+-==1
2
x y mx y 得012
=-+mx x 设(,),(,)B x y C x y 11221,2121-=⋅-=+∴x x m x x …………4分 由已知(,)A 01，所以
)1,(),1,(2211-=-=y x y x
01)()1()1)(1(212122121=++-+=--+=⋅x x m x x m y y x x 故以BC 为直径的圆经过点A …………6分
②设直线AB :y kx =+1，显然k ≠0，由y kx y x =+⎧⎨=-+⎩2
1
1
，得x kx +=20，x x k ==-0或 (,)B k k ∴--21
，则||||AB k =， …………8分
由①知AC AB ⊥，直线AC :y x k
=-+1
1
那么||||AC k =19分
由y kx x y =+⎧⎨+=⎩
22
144得()k x kx ++=22
1480，解得k x x k -==+28014或 (,)k k P k k
--∴++2
22
8141414
，则||AP = …………11分 由①知，直线AC :11
+-=x k
y
那么||AQ =…………12分
||||()()()||||AB AC S k k k S k k AP AQ ++∴===++≥222
122
21
1441425241716464642
， 当且仅当k =±1时等号成立，即21S S 最小值为25
64
…………14分
21．（本小题满分14分） 已知函数x x a x f -=ln )(
（Ⅰ）讨论函数)(x f 的单调性 ；
（Ⅱ）若01)(<+x f 对任意),1(+∞∈x 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当a e e <≤+
10时，若函数x
x f x g 1
)()(+=有两个极值点)(,2121x x x x <,求 ()()g x g x -21的最大值.
解：（Ⅰ）由已知得()a x a
f x x x
-+'=
-=
1…………1分 当a ≤0时，()f x '<0，()f x 在(,)+∞0内单调递减.
当a >0时，若(,)x a ∈0，有()f x '>0，若(,)x a ∈+∞，有()f x '<0，则)(x f 在(,)a 0上内单调递增，在(,)a +∞内单调递减. …………3分
（Ⅱ）令()()ln h x f x a x x =+=-+11，由()x a
h x x
-+'=
解法一：
当a ≤1时，()h x '<0，所以()h x 在(,)+∞1内单调递减， 则有()()h x h <10=，从而()h x <0…………4分
当a >1时，()h x '=0，得x a =，当(,)x a ∈1，有0)(>'x h ，则)(x h 在(,)a 1上内单调递增，此时
()()h x h >10=，与()h x <0恒成立矛盾，因此不符合题意…………6分 综上实数a 的取值范围为a ≤1. …………7分
解法二：
当0≤a 时，()h x '<0，所以()h x 在(,)+∞1内单调递减， 则有()()h x h <10=，符合题意. …………4分
当0>a 时，()h x '=0，得x a =，当),0(a x ∈，有0)(>'x h ，若(,)x a ∈+∞，有0)(<'x h ，则)(x h 在(,)a 0上内单调递增，在(,)a +∞内单调递减.又0)1(=h ， 因此1≤a ，即10≤<a …………6分
综上实数a 的取值范围为a ≤1…………7分
（Ⅲ）()()ln g x f x a x x x x
=+=-+11
，则()a x ax g x x x x -+-'=--=222
111…………8分 由已知，可得()g x '=0，即方程x ax -+-=2
10有2个不相等的实数根)(,2121x x x x <， 则x x a x x +=⎧⎪
=⎨⎪∆>⎩
121210， …………9分
解得x x
a x x a ⎧=⎪⎪
⎪
=+⎨⎪
⎪>⎪⎩
12
22
112 ，其中x x <<<1201
而
()()ln ln ln ()()
()ln [()ln ]x g x g x a x x a x x a x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+-=+-+-=+
+-+-=++-12212211221121
2222222222222
1111
11111
2
…………11分
由,a e e
<≤+1
2可得x e x e
<+≤+2211
2，又x >21，所以x e <≤21…………12分 设()()ln t x x x x x x =++
-12
22，x e <≤1
()()ln t x x x '∴=-2121，由x e <≤1，则,ln x x
->>21
100，故()t x '>0
所以()t x 在(,]e 1单调递增，…………13分
∴当x e =时，)(x t 取得最大值，最大值为()t e e
=4
…………14分。