【推荐重点】2019高中数学 第2章 推理与证明 2.2.2 间接证明(1)学案 苏教版选修1-2

2.2.2 间接证明
[学习目标] 1.了解反证法是间接证明的一种基本方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．
[知识链接]
1．有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？
答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题．命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对．
2．反证法主要适用于什么情形？
答①要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；②如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．[预习导引]
1．间接证明
不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法称为间接证明．
2．反证法
从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)．
3．反证法步骤
反证法的过程包括下面3个步骤：反设，归谬，存真．
4．反证法常见的矛盾类型
反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．
5．反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：
要点一 用反证法证明“至多”“至少”型命题 例1 已知x ，y >0，且x ＋y >2. 求证：1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
证明 假设1＋x y ，1＋y x
都不小于2，
即
1＋x y ≥2，1＋y
x
≥2.
∵x ，y >0，∴1＋x ≥2y,1＋y ≥2x . ∴2＋x ＋y ≥2(x ＋y )，
即x ＋y ≤2与已知x ＋y >2矛盾． ∴
1＋x y ，1＋y x
中至少有一个小于2.
规律方法 对于含有“至多”、“至少”的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“至少有一个”、“至多有一个”等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错误． 跟踪演练1 已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd >1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．
证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1.
又∵(a ＋b )(c ＋d )＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd ， ∴ac ＋bd ≤1.
这与已知ac ＋bd >1矛盾，
∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数． 要点二 用反证法证明不存在、惟一性命题
例2 求证对于直线l ：y ＝kx ＋1，不存在这样的实数k ，使得l 与双曲线C ：3x 2
－y 2
＝1的交点A 、
B 关于直线y ＝ax (a 为常数)对称．
证明 假设存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称，设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则有(1)直线l ：
y ＝kx ＋1与直线y ＝ax 垂直；(2)点A 、B 在直线l ：y ＝kx ＋1上；(3)线段AB 的中点⎝
⎛⎭
⎪⎫
x 1＋x 22，y 1＋y 22
在直线y ＝ax 上， 所以错误!
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，y 2＝3x 2
－1，得(3－k 2)x 2
－2kx －2＝0.④
当k 2
＝3时，l 与双曲线仅有一个交点，不合题意． 由②、③得a (x 1＋x 2)＝k (x 1＋x 2)＋2，⑤ 由④知x 1＋x 2＝
2k
3－k
2，代入⑤整理得： ak ＝3，这与①矛盾．
所以假设不成立，故不存在实数k ，使得A 、B 关于直线y ＝ax 对称．
规律方法 证明“惟一性”问题的方法：“惟一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便． 跟踪演练2 求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直． 已知：平面α和一点P .
求证：过点P 与α垂直的直线只有一条．
证明 如图所示，不论点P 在α内还是在α外，设PA ⊥α，垂足为A (或P )．
假设过点P 不止有一条直线与α垂直，如还有另一条直线PB ⊥α，设PA ，PB 确定的平面为β，且α∩β＝a ，于是在平面β内过点P 有两条直线PA ，PB 垂直于a ，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，∴假设不成立，原命题成立． 要点三 用反证法证明否定性命题
例3 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2. (1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；
(2)设b n ＝S n
n
(n ∈N *
)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
(1)解 设公差为d ，由已知得⎩⎨
⎧
a 1＝2＋1，
3a 1＋3d ＝9＋32，
∴d ＝2，故a n ＝2n －1＋2，S n ＝n (n ＋2)． (2)证明 由(1)得b n ＝S n
n
＝n ＋ 2.
假设数列{b n }中存在三项b p 、b q 、b r (p 、q 、r 互不相等)成等比数列，则b 2
q ＝b p b r ， 即(q ＋2)2
＝(p ＋2)(r ＋2)， ∴(q 2
－pr )＋(2q －p －r )2＝0. ∵p ，q ，r ∈N *
，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
q 2
－pr ＝0，2q －p －r ＝0，
∴⎝
⎛⎭
⎪⎫p ＋r 22＝pr ，(p －r )2＝0，
∴p ＝r ，这与p ≠r 矛盾．
∴数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
规律方法 (1)当结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”等词语的命题时，此类问题的反面比较具体，适于应用反证法．例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法． 跟踪演练3 已知f (x )＝a x
＋
x －2
x ＋1
(a >1)，证明方程f (x )＝0没有负数根． 证明 假设x 0是f (x )＝0的负数根，则x 0<0且x 0≠－1且0x a ＝－x 0－2x 0＋1，由0<0x a <1⇒0<－x 0－2
x 0＋1
<1， 解得1
2<x 0<2，这与x 0<0矛盾，所以假设不成立，
故方程f (x )＝0没有负数根．
1．用反证法证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设______________________． 答案 三角形中至少有两个直角或钝角
2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中________________．
答案 每一个内角都小于60°
3．“a <b ”的反面应是________________． 答案 a ＝b 或a >b
4．用反证法证明命题：“设a ，b 为实数，则方程x 3
＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设
是________________________________．
答案方程x3＋ax＋b＝0没有实根
解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根．
5．已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数．
证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数．
设a＝2n＋1(n∈Z)，则a2＝4n2＋4n＋1.
∵4(n2＋n)是偶数，
∴4n2＋4n＋1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．
由上述矛盾可知，a一定是偶数．
1.反证法证明的基本步骤：
(1)反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真；
(2)归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
(3)存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．
2．用反证法证题要把握三点：
(1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．
(2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法．
(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．
一、基础达标
1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是________(填序号)．
①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾．
答案①②③④
2．否定：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为__________________________________．答案a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数
解析自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：3个都是奇数，1个偶数2个奇数，2个偶数1个奇数，3个都是偶数，所以否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的反设为“a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数”．
3．有下列叙述：
①“a >b ”的反面是“a <b ”；②“x ＝y ”的反面是“x >y 或x <y ”；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内”；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角”．其中正确的叙述有________． 答案 ②
解析 ①错：应为a ≤b ；②对；③错：应为三角形的外心在三角形内或在三角形的边上；④错：应为三角形可以有2个或2个以上的钝角．
4．用反证法证明命题：“a ，b ∈N ，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为________． 答案 a ，b 都不能被5整除
解析 “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a ，b 都不能被5整除”．
5．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数”时，否定结论应为________________________． 答案 a ，b ，c 都不是偶数
解析 a ，b ，c 中存在偶数即至少有一个偶数，其否定为a ，b ，c 都不是偶数．
6．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是__________________________________． 答案 存在一个三角形，其外角最多有一个钝角
解析 “任何三角形”的否定是“存在一个三角形”，“至少有两个”的否定是“最多有一个”． 7．设二次函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)中，a 、b 、c 均为整数，且f (0)，f (1)均为奇数．求证f (x )＝0无整数根．
证明 设f (x )＝0有一个整数根k ，则
ak 2＋bk ＝－c .①
又∵f (0)＝c ，f (1)＝a ＋b ＋c 均为奇数， ∴a ＋b 为偶数，当k 为偶数时，显然与①式矛盾； 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1(n ∈Z )，
则ak 2
＋bk ＝(2n ＋1)·(2na ＋a ＋b )为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立，所以方程f (x )＝0无整数根． 二、能力提升
8．用反证法证明命题“若a 2
＋b 2
＝0，则a ，b 全为0(a ，b 为实数)”，其反设为________________． 答案 a ，b 不全为0
解析 “a ，b 全为0”即是“a ＝0且b ＝0”，因此它的反设为“a ≠0或b ≠0”．
9．设a ，b ，c 都是正数，则下面关于三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1
a
的说法正确的是________．
①都大于2； ②至少有一个大于2； ③至少有一个不小于2； ④至少有一个不大于2. 答案 ③
解析 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1
a
<2，
则(a ＋1b )＋(b ＋1c )＋(c ＋1
a )<6.
又(a ＋1b
)＋(b ＋1c
)＋(c ＋1a
)＝(a ＋1a )＋(b ＋1b )＋(c ＋1
c
)≥2＋2＋2＝6，
这与假设得到的不等式相矛盾，从而假设不正确，所以这三个数至少有一个不小于2.
10．若下列两个方程x 2
＋(a －1)x ＋a 2
＝0，x 2
＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，则实数a 的取值范围是______________________． 答案 a ≤－2或a ≥－1
解析 若两方程均无实根，则Δ1＝(a －1)2－4a 2＝(3a －1)(－a －1)<0，∴a <－1或a >13.Δ2＝(2a )
2
＋8a ＝4a (a ＋2)<0，∴－2<a <0，故－2<a <－1.若两个方程至少有一个方程有实根，则a ≤－2或a ≥－1.
11．已知a ＋b ＋c >0，ab ＋bc ＋ca >0，abc >0，求证：a >0，b >0，c >0. 证明 用反证法：
假设a ，b ，c 不都是正数，由abc >0可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设a <0，b <0，c >0，则由a ＋b ＋c >0， 可得c >－(a ＋b )，
又a ＋b <0，∴c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )，
ab ＋c (a ＋b )<－(a ＋b )(a ＋b )＋ab ，
即ab ＋bc ＋ca <－a 2
－ab －b 2
.
∵a 2
>0，ab >0，b 2
>0，∴－a 2
－ab －b 2
＝－(a 2
＋ab ＋b 2
)<0，即ab ＋bc ＋ca <0， 这与已知ab ＋bc ＋ca >0矛盾，∴假设不成立． ∴a >0，b >0，c >0成立．
12．已知a ，b ，c ∈(0,1)，求证(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不可能都大于1
4.
证明 假设三个式子同时大于1
4
，
即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >1
4，
三式相乘得(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c >1
43，①
又因为0<a <1，所以0<a (1－a )≤⎝
⎛⎭⎪
⎫a ＋1－a 22＝14
.
同理0<b (1－b )≤14，0<c (1－c )≤1
4，
所以(1－a )a ·(1－b )b ·(1－c )c ≤1
43，②
①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立． 三、探究与创新
13．已知f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R .证明下面两个命题： (1)若a ＋b ＞0，则f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )； (2)若f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＞0. 证明 (1)因为a ＋b ＞0，所以a ＞－b ，b ＞－a ， 又因为f (x )是R 上的增函数，所以f (a )＞f (－b )，
f (b )＞f (－a )，
由不等式的性质可知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )． (2)假设a ＋b ≤0，则a ≤－b ，b ≤－a ， 因为f (x )是R 上的增函数， 所以f (a )≤f (－b )，f (b )≤f (－a )， 所以f (a )＋f (b )≤f (－a )＋f (－b )， 这与已知f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立．。