2019届黑龙江省哈尔滨市高三二模考试数学(理)试卷【含答案及解析】
黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试数学(理)试题 Word版含解析
哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试理科数学能力测试第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.2.已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，由文氏图可得，图中阴影部分的面积表示集合：且的元素，即阴影部分表示的集合是 .本题选择C选项.3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4.已知向量，，若，则实数（）A. 2B. -2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而可得向量与、的模，分析可得，解可得m的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量（m，2），（1，1），则（m+1，3），则||，||，||，若||＝||+||，则有，两式平方得到再平方得到解可得：m＝2；故答案为：A．【点睛】本题考查模的计算，关键是分析向量与的关系．5.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，a1=−11,a4+a6=−6，可得−11+3d−11+5d=−6，解得d=2，则S n=na1+n(n−1)d=n2−12n=(n−6)2−36，当n=6时,S n取最小值−36.本题选择D选项.6.函数的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 函数是偶函数，其图象关于y 轴对称，选项CD 错误；令可得：，选项B 错误；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．7.2020年东京夏季奥运会将设置米男女混合泳接力这一新的比赛项目，比赛的规则是：每个参赛国家派出2男2女共计4名运动员参加比赛，按照仰泳蛙泳蝶泳自由泳的接力顺序，每种泳姿100米且由1名运动员完成，且每名运动员都要出场，若中国队确定了备战该项目的4名运动员名单，其中女运动员甲只能承担仰泳或者自由泳，男运动员乙只能承担蝶泳或者自由泳，剩下的2名运动员四种泳姿都可以承担，则中国队的排兵布阵的方式共有（ ） A. 144种 B. 24种C. 12种D. 6种【答案】D 【解析】 【分析】分两类，甲承担仰泳与甲承担自由泳，根据分类计数原理可得．【详解】由题意，若甲承担仰泳，则乙运动员有A22＝2种安排方法，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2×2＝4种方法，若甲承担自由泳，则乙运动员只能安排蝶泳，其他两名运动员有A22＝2种安排方法，共计2种方法，所以中国队共有4+2＝6种不同的安排方法，故选：D．【点睛】本题考查了排列组合的问题，考查了分类计数原理，考查了运算和推理能力，属于中档题．解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．8.20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数，按照以下的规律进行变换，如果是奇数，则下一步变成；如果是偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的的值为6，则输入的值可以为（）A. 5或16B. 16C. 5或32D. 4或5或32【答案】C【解析】【分析】根据各个选项n的值，模拟程序的运行，依次验证程序的输出的i的值是否为6即可得解．【详解】模拟程序的运行，由题意可得当输入的n的值为5时，i＝1，第1次循环，n＝5，n为奇数，n＝16i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝8i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝4i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝2i＝5，第5次循环，n为偶数，n＝1i＝6，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为16时，i＝1，第1次循环，n＝16，n为偶数，n＝8i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝4i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝2i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝1i＝5，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为5．不符合题意．当输入的n的值为32时，i＝1，第1次循环，n＝32，n为偶数，n＝16i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝8i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝4i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝2i＝5，第5次循环，n为偶数，n＝1i＝6，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为4时，i＝1，第1次循环，n＝4，n为偶数，n＝2i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝1i＝3，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为3．不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为1×1=1，而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为，而阴影部分的面积为∴正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为，故选A．考点：几何概型，条件概率10.已知（其中，的最小值为，将的图像向左平移个单位得，则的单调递减区间是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】利用正弦函数的周期性以及图象的对称性求得f（x）的解析式，利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得G（x）的解析式，利用余弦函数的单调性求得则G（x）的单调递减区间．【详解】∵f（x）＝sin（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，），f'（x1）＝f'（x2）＝0，|x2﹣x1|min，∴•T，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+θ）．又f（x）＝f（x），∴f（x）的图象的对称轴为x，∴2•θ＝kπ，k∈Z，又，∴θ，f（x）＝sin（2x）．将f（x）的图象向左平移个单位得G（x）＝sin（2x）＝cos2x的图象，令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ，则G（x）＝cos2x的单调递减区间是[kπ，kπ]，故选：A．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．11.已知双曲线与双曲线，若以四个顶点为顶点的四边形的面积为，以四个焦点为顶点的四边形的面积为，则取到最大值时，双曲线的一条渐近线方程为A. B. C. D.【解析】由题意可得：，，据此有：，结合均值不等式的结论有：当且仅当，即时，取得最大值，此时双曲线的一条渐近线方程为 . 本题选择B选项.12.设函数，若存在区间，使得在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】判断f（x）的单调性得出f（x）＝k（x+2）在[，+∞）上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．【详解】f′（x）＝2x﹣lnx+1，f″（x）＝2，∴当x时，f″（x）≥0，∴f′（x）在[，+∞）上单调递增，∴f′（x）≥f′（）＝2﹣ln0，∴f（x）在[，+∞）上单调递增，∵[a，b]⊆[，+∞），∴f（x）在[a，b]上单调递增，∵f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+2），k（b+2）]，∴，∴方程f（x）＝k（x+2）在[，+∞）上有两解a，b．作出y＝f（x）与直线y＝k（x+2）的函数图象，则两图象有两交点．若直线y＝k（x+2）过点（，ln2），则k，若直线y＝k（x+2）与y＝f（x）的图象相切，设切点为（x0，y0），则，解得k＝1．∴1＜k，故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知的展开式中含项的系数为2019，则实数__________．【答案】【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．【详解】（1﹣ax）2018展开式中T r+1（﹣ax）r＝（﹣a）r x r，令r＝0，则T1＝1；令r＝1，则T2＝（﹣a）x＝﹣2018ax．∵（1+x）（1﹣ax）2018展开式中含x项的系数为2019，∴1﹣2018a＝2019，解得a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.14.若实数满足不等式组，则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，结合图像得到结果.【详解】根据题意画出可行域：可行域是直线AB右侧以及直线的下侧，的上侧，共同构成的开放区域，表示的是区域内的点和点两点构成的斜率，根据图像可知当两点构成的直线和平行时，斜率取得最小值但是永远取不到这种情况，代入得到斜率为；当直线过点时构成的直线的斜率最大，联立，目标函数值为.故答案为：.【点睛】点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）．(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。
2019届高三数学二模考试试题理(含解析)
2019届高三数学二模考试试题理（含解析）一､选择题1.已知是虚数单位，复数的共轭复数是（）A. B. C. 1 D. -1【答案】B【解析】【分析】先把复数化简，然后可求它的共轭复数.【详解】因为,所以共轭复数就是.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数的求解，把复数化到最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 2.已知集合，则满足的集合的个数是（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】【分析】先求解集合，然后根据可求集合的个数.【详解】因为，，所以集合可能是.故选：A.【点睛】本题主要考查集合的运算，化简求解集合是解决这类问题的关键，侧重考查数学运算的核心素养.3.设向量，满足，，则（）A. -2B. 1C. -1D. 2【答案】C【解析】【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解．【详解】因为向量，满足，，所以，①，②由①②得：，即，故选：．【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题．4.定义运算，则函数的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】图象题应用排除法比较简单，先根据函数为奇函数排除、；再根据函数的单调性排除选项，即可得到答案．【详解】根据题意得，且函数为奇函数，排除、；；当时，，令，令，函数在上是先递减再递增的，排除选项；故选：．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判断，考查根据解析式找图象，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题．5.已知圆:，定点，直线:，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】通过圆心到直线的距离与圆的半径进行比较可得.【详解】若点在圆外，则，圆心到直线:的距离，此时直线与圆相交；若直线与圆相交，则，即，此时点在圆外.故选：C.【点睛】本题主要考查以直线和圆的位置关系为背景的条件的判定，明确直线和圆位置关系的代数表示是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养.6.某程序框图如图所示，若输入的，则输出的值是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析】按照程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第六次不满足判断框中的条件，执行输出结果．【详解】经过第一次循环得到经过第二次循环得到经过第三次循环得到经过第四次循环得到经过第五次循环得到经过第六次循环得到此时，不满足判断框中的条件，执行输出故输出结果为故选：．【点睛】本题主要考查解决程序框图中的循环结构，常按照程序框图的流程，采用写出前几次循环的结果，找规律．7.在公差不等于零的等差数列中，，且，，成等比数列，则（）A. 4B. 18C. 24D. 16【答案】D【解析】【分析】根据，，成等比数列可求公差，然后可得.【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，即有，解得，（舍），所以.故选：D.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，根据已知条件构建等量关系是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 8.已知，为椭圆的左右焦点，点在上（不与顶点重合），为等腰直角三角形，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据为等腰直角三角形可得，结合椭圆的定义可求离心率.【详解】由题意等腰直角三角形，不妨设，则，由椭圆的定义可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求解，离心率问题的求解关键是构建间的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.9.若三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由三视图知该几何体是一个三棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【详解】根据三视图可知几何体是一个三棱锥，由俯视图和侧视图知，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是、4，由正视图知，三棱锥的高是4，该几何体的体积，故选：．【点睛】本题主要考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10.若的展开式中的各项系数的和为1，则该展开式中的常数项为（）A. 672B. -672C. 5376D. -5376【答案】A【解析】【分析】先根据的展开式中的各项系数的和为1，求解，然后利用通项公式可得常数项.【详解】因为的展开式中的各项系数的和为1，所以，即；的通项公式为，令得，所以展开式中的常数项为.【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的常数项，利用通项公式是求解特定项的关键，侧重考查数学运算的核心素养.11.已知函数，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】B【解析】【分析】先化简函数，然后利用解析式的特点求解最大值.【详解】，因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的最值问题，三角函数的最值问题主要是先化简为最简形式，结合解析式的特点进行求解.12.将边长为2的正方形(及其内部)绕旋转一周形成圆柱，点､分别是圆和圆上的点，长为，长为，且与在平面的同侧，则与所成角的大小为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由弧长公式可得，，由异面直线所成角的作法可得为异面直线与所成角，再求解即可．【详解】由弧长公式可知，，在底面圆周上去点且，则面，连接，，，则即为异面直线与所成角，又，，所以，故选：．【点睛】本题主要考查了弧长公式及异面直线所成角的作法，考查了空间位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．二､填空题13.向平面区域内随机投入一点，则该点落在曲线下方概率为______.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，分别求出正方形及阴影部分的面积，再由几何概型概率面积比得答案．【详解】作出平面区域，及曲线如图，，．向平面区域，内随机投入一点，则该点落在曲线下方的概率为．故答案为：．【点睛】本题主要考查几何概型概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．14.设，满足约束条件，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的取值范围．【详解】作出，满足约束条件，则对应的平面区域（阴影部分），由，得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大．此时的最大值为，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最小，此时最小．此时的最小值为，故答案为：，．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.设等差数列的前项和为，若，，，则______.【答案】8【解析】【分析】根据等差数列的通项公式及求和公式可得.【详解】因为，所以，因为，所以，设等差数列的公差为，则，解得，由得，解得.故答案为：8.【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的运算，熟记相关的求解公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.16.若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.【答案】1【解析】【分析】分别设出两个切点，根据导数的几何意义可求.详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，则且，解得；同理可得且，解得；故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，设出切点建立等量关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.三､解答题17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知.（1）若，求和；（2）求的最小值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用已知条件求出的余弦函数值，然后求解的值，然后求解三角形的面积；（2）通过余弦定理结合三角形的面积转化求解即可．【详解】（1）因为，代入，得，所以，，由正弦定理得，所以，.（2）把余弦定理代入，得，解得.再由余弦定理得.当且仅当，即时，取最小值.【点睛】本题主要考查三角形的解法、正余弦定理的应用、三角形的面积以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，是中档题．18.一只红玲虫的产卵数和温度有关.现收集了7组观测数据如下表:温度21产卵数/7个为了预报一只红玲虫在时的产卵数，根据表中的数据建立了与的两个回归模型.模型①:先建立与的指数回归方程，然后通过对数变换，把指数关系变为与的线性回归方程:；模型②:先建立与的二次回归方程，然后通过变换，把二次关系变为与的线性回归方程:.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和，模型①的相关指数；模型②的残差平方和，模型②的相关指数；，，；，，，，，，）【答案】（1），（2）模型①得到的预测值更可靠，理由见解析【解析】【分析】（1）把分别代入两个模型求解即可；（2）通过残差及相关指数的大小进行判定比较.【详解】(1)当时，根据模型①，得，，根据模型②，得.（2）模型①得到的预测值更可靠.理由1:因为模型①的残差平方和小于模型②的残差平方和，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由2:模型①的相关指数大于模型②的相关指数，所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠；理由3:因为由模型①，根据变换后的线性回归方程计算得到的样本点分布在一条直线的附近；而由模型②，根据变换后的线性回归方程得到的样本点不分布在一条直线的周围，因此模型②不适宜用来拟合与的关系；所以模型①得到的预测值比模型②得到的预测值更可靠.（注:以上给出了3种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得）【点睛】本题主要考查回归分析，模型拟合程度可以通过两个指标来判别，一是残差，残差平方和越小，拟合程度越高；二是相关指数，相关指数越接近1，则拟合程度越高.19.如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，是上一点.（1）求证:平面平面；（2）若是的中点，且二面角的余弦值是，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，然后可得平面平面；（2）建立坐标系，根据二面角的余弦值是可得的长度，然后可求直线与平面所成角的正弦值.【详解】（1）平面，平面，得.又，在中，得，设中点为，连接，则四边形为边长为1的正方形，所以，且，因为，所以，又因为，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）以为坐标原点，分别以射线､射线为轴和轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，则，，.又设，则，，，，.由且知，为平面的一个法向量.设为平面的一个法向量，则，即，取，，则，有，得，从而，.设直线与平面所成的角为，则.即直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题主要考查空间平面与平面垂直及线面角的求解，平面与平面垂直一般转化为线面垂直来处理，空间中的角的问题一般是利用空间向量来求解.20.设为抛物线:的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，为的中点，且.（1）求抛物线的方程；（2）过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求四边形面积的最小值.【答案】（1）（2）32【解析】【分析】（1）由题意画出图形，结合已知条件列式求得，则抛物线的方程可求；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为，与抛物线方程联立，求出，，可得四边形的面积，利用基本不等式求最值．【详解】（1）如图，为的中点，到轴的距离为，，解得．抛物线的方程为；（2）由已知直线的斜率存在且不为0，设其方程为．由，得．△，设，、，，则；同理设，、，，，则．四边形的面积．当且仅当时，四边形的面积取得最小值32．线相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.是自然对数的底数，已知函数，.（1）求函数的最小值；（2）函数在上能否恰有两个零点?证明你结论.【答案】（1）（2）能够恰有两个零点，证明见解析【解析】【分析】（1）先求导数，再求极值。
黑龙江省哈三中2019届高三下学期第二次高考模拟数学(理)
24．（本题满分 10 分）选修 4— 5 不等式选讲
已知函数 f (x) | x a |.
（ I ）若 f （ x） ≤ｍ的解集为 {x| — 1≤ x≤）５，求实数 a， m 的值； （ II ）当 a=2 且 0≤t<2 时，解关于 x 的不等式 f（ x）+t≥ｆ（ x+2 ）．
A ． {1}
B． {1 ，2}
C． {2}
1 D ． { ,2 }
2
7．已知二项式 (2 x
1 )n 展开式中的第 5 项为常数项，则展开式中各项的二项式系数之和为 x
A．1
B． 32
C． 64
D ． 128
8．一只蚂蚁从正方体 ABCD — A 1B2C1D 1 的顶点 A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶
已知 （ I ）求 f （ x）的最大值及取到最大值时相应的
x 的集合； -
（ II ）若函数 y f ( x) m在区间 [0, ] 上恰好有两个零点，求实数 2
m 的取值范围．
18．（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， △ ABE 为等腰三角形， AE=BE ，平面 ABCD ⊥平面
8
1
A．
2
1
B．
3
1
C．
4
1
D．
5
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的
S为
A ． 96
B． 768
C． 1 536
D． 768
D．9 D ．第四象限
· 1·
5．已知 a， b， l ，表示三条不同的直线， , , 表示三个不同的平面，有下列四个命题：
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷(理科)-解析版
2019年黑龙江省哈尔滨三中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.=（）A. B. C. D.2.设集合A={-1，0，1}，B={x|2x＞2}，则A∩B=（）A. B. C. D.3.若x，y满足不等式组，则z=2x-3y的最小值为（）A. B. C. D.4.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为e，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），若e=p，则双曲线C的渐近线方程为（）A. B. C. D.5.随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（）A. B. C. D.6.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=3S2，a7=15，则{a n}的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 47.运行如图程序，则输出的S的值为（）A. 0B. 1C. 2018D. 20178.已知函数f（x）=ln（x+1）-ax，若曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，则实数a的值为（）A. B. C. 1 D. 29.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BC=CC1=1，∠AB1D=，则直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）=cos x-sin x在（0，α）上是单调函数，且f（α）≥-1，则α的取值范围为（）A. B. C. D.11.已知半圆C：x2+y2=1（y≥0），A、B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ=，则t的取值范围是（）A. B.C. D.12.在边长为2的菱形ABCD中，BD=2，将菱形ABCD沿对角线AC对折，使二面角B-AC-D的余弦值为，则所得三棱锥A-BCD的内切球的表面积为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知cosα=-，则cos2α=______．14.在（1+x）（2+x）5的展开式中，x3的系数为______（用数字作答）．15.已知函数f（x）是奇函数，且0≤x1＜x2时，有＜1，f（-2）=1，则不等式x-3≤f（x）≤x的解集为______．16.已知数列{a n}的前n项和S n满足，S n=3a n-2，数列{na n}的前n项和为T n，则满足T n＞100的最小的n值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积为S，且S=bc cos A，C=．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）若c=，求S的值．18.如图，四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BCD=，PA⊥BD，AB=2，PA=PD=CD=BC=1．（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．19. 某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间2×2并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（Ⅱ）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i ）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii ）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：K 2=，其中n =a +b +c +d临界值表20. 已知O 为坐标原点，椭圆C ：=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（-c ，0），F 2（c ，0），过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =- 与椭圆C 相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ：y =k （x +c ）与椭圆C 相交于E ，D 两点，使得（ ）＜1？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！21. 已知函数f （x ）=e x-ax ．（Ⅰ）若函数f （x ）在x ∈（，2）上有2个零点，求实数a 的取值范围．（注e 3＞19） （Ⅱ）设g （x ）=f （x ）-ax 2，若函数g （x ）恰有两个不同的极值点x 1，x 2证明：＜ ．22. 已知曲线C 1的参数方程为（α为参数），P 是曲线C 1上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为C 2．（Ⅰ）求曲线C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l ：sinθ-cosθ=交曲线C 2于M ，N 两点，求|MN |．23. 已知函数f （x ）=|x -2|．（Ⅰ）解不等式f （x ）+f （2x +1）≥6；（Ⅱ）对a +b =1（a ，b ＞0）及∀x ∈R ，不等式f （x -m ）-（-x ）≤恒成立，求实数m 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：=．故选：B．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．2.【答案】A【解析】解：B={x|x＞1}；∴A∩B=∅．故选：A．可解出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义．3.【答案】D【解析】解：画出x，y满足不等式组表示的平面区域，如图所示；平移目标函数z=2x-3y知，A（2，3），B（1，0），C（0，1）当目标函数过点A时，z取得最小值，∴z的最小值为2×2-3×3=-5．故选：D．画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z的最小值．本题考查了简单的线性规划问题，是基本知识的考查．4.【答案】A【解析】解：抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为（1，0），则p=2，又e=p，所以e==2，可得c2=4a2=a2+b2，可得：b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y=±．故选：A．求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a，b关系，即可得到双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，抛物线的简单性质的应用．5.【答案】B【解析】解：图标第一部分的面积为8×3×1=24，图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32=9π，图标第三部分的面积为π×22=4π，故此点取自图标第三部分的概率为，故选：B．以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论．本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，若S4=3S2，a7=15，则4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得a1=3，d=2；故选：B．根据题意，设等差数列{a n}的公差为d，分析可得4a1+6d=3（2a1+d），a1+6d=15，解可得d的值，即可得答案．本题考查等差数列的前n项和，关键是掌握等差数列的前n项和公式的形式，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）的值，可得：S=2017+（sin +sin）+（sin +sin）+…+（sin +sin）=2017．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．8.【答案】B【解析】解：f （x）的定义域为（-1，+∞），因为f′（x）=-a，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x，可得1-a=2，解得a=-1，故选：B．求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可；本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．9.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=a，则A（1，0，0），D（0，0，0），B1（1，a，1），=（-1，-a，-1），=（0，-a，-1），∵∠AB1D=，∴cos==，解得a=，B1（1，，1），B（1，0），C1（0，，1），=（0，），=（-1，0，1），设直线AB1与BC1所成角为θ，则cosθ===．∴直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与BC1所成角的余弦值．本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cosx-sinx=2cos（x+）在（0，α）上是单调函数，∴+α≤π，∴0＜α≤．又f（α）≥-1，即 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，∴α∈（0，]，故选：C．利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos（α+）≥-，则α+∈（，]，由此可得α的取值范围．本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，设PQ与x轴交于点T，则|PB|=|t|，由于BP与x轴垂直，且∠BPQ=，则在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，当P在x轴上方时，PT与半圆有公共点Q，PT与半圆相切时，|BT|有最大值3，此时t有最大值，当P在x轴下方时，当Q与A重合时，|BT|有最大值2，|t|有最大值-，则t取得最小值-，t=0时，P与B重合，不符合题意，则t的取值范围为[-，0）]；故选：A．根据题意，设PQ与x轴交于点T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|=|PB|=|t|，分p在x轴上方、下方和x轴上三种情况讨论，分析|BT|的最值，即可得t的范围，综合可得答案．本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：如下图所示，易知△ABC和△ACD都是等边三角形，取AC的中点N，则DN⊥AC，BN⊥AC．所以，∠BND是二面角B-AC-D的平面角，过点B作BO⊥DN交DN于点O，可得BO⊥平面ACD．因为在△BDN中，，所以，BD2=BN2+DN2-2BN•DN•cos∠BND=，则BD=2．故三棱锥A-BCD为正四面体，则其内切球半径．因此，三棱锥A-BCD的内切球的表面积为．故选：C．作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN⊥AC，BN⊥AC，可得出二面角B-AC-D的平面角为∠BND，再利用余弦定理求出BD，可知三棱锥B-ACD为正四面体，根据内切球的半径为其棱长的倍得出内切球的半径R，再利用球体的表面积公式可得出答案．本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．13.【答案】【解析】解：∵cosα=-，∴cos2α=2cos2α-1=2×（-）2-1=．故答案为：．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】120【解析】解：（2+x）5的展开式的通项是，所以在（1+x）（2+x）5=（2+x）5+x（2+x）5的展开式中，含x3的项为，所以x3的系数为120．故答案为：120．根据（2+x）5的展开式的通项公式，计算在（1+x）（2+x）5的展开式中含x3的项是什么，从而求出x3的系数．本题考查了二项式展开式的通项公式的应用问题，也考查了逻辑推理与计算能力，是基础题目．15.【答案】[0，2]【解析】解：由x-3≤f（x）≤x等价为-3≤f（x）-x≤1设g（x）=f（x）-x，又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则有f（-x）=-f（x），则有g（-x）=f（-x）-（-x）=-f（x）+x=-[f（x）-x]=-g（x），即函数g（x）为R上的奇函数，则有g（0）=0；又由对任意0≤x1＜x2时，有＜1，则==-1，∵＜1，∴=-1＜0，即g（x）在[0，+∞）上为减函数，∵g（x）是奇函数，∴g（x）在（-∞，+∞）上为减函数，∵f（-2）=1，∴g（-2）=f（-2）-（-2）=1+2=3；g（2）=-3，g（0）=f（0）-0=0，则-3≤f（x）-x≤0等价为g（2）≤g（x）≤g（0），∵g（x）是减函数，∴0≤x≤2，即不等式x-3≤f（x）≤x的解集为[0，2]；故答案为：[0，2]．根据条件构造函数g（x）=f（x）-x，判断函数g（x）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g（x），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16.【答案】7【解析】解：根据题意，数列{a n}满足S n=3a n-2，①当n≥2时，有S n-1=3a n-1-2，②，①-②可得：a n=3a n-3a n-1，变形可得2a n=3a n-1，当n=1时，有S1=a1=3a1-2，解可得a1=1，则数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，则a n=（）n-1，数列{na n}的前n项和为T n，则T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，③则有T n =+2×（）2+3×（）3+……+n×（）n，④③-④可得：-T n=1+（）+（）2+……×（）n-1-n×（）n=-2（1-）-n×（）n，变形可得：T n=4+（2n-4）×（）n，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，分析可得：n≥7，故满足T n＞100的最小的n值为7；故答案为：7．根据题意，将S n=3a n-2变形可得S n-1=3a n-1-2，两式相减变形可得2a n=3a n-1，令n=1求出a1的值，即可得数列{a n}是以a1=1为首项，公比为的等比数列，即可得数列{a n}的通项公式，进而可得T n =1+2×+3×（）2+……+n×（）n-1，由错位相减法分析求出T n的值，若T n＞100，即4+（2n-4）×（）n＞100，验证分析可得n的最小值，即可得答案．本题考查数列的递推公式，关键是分析数列{a n}的通项公式，属于基础题．17.【答案】解：（Ⅰ）∵S=bc sin A=bc cos A，∴sin A=2cos A，可得：tan A=2，∵△ABC中，A为锐角，又∵sin2A+cos2A=1，∴可得：sin A=，cos A=，又∵C=，∴cos B=-cos（A+C）=-cos A cos C+sin A sin C=．（Ⅱ）在△ABC中，sin B==，由正弦定理，可得：b==3，∴S=bc cos A=3．【解析】（Ⅰ）由已知利用三角形面积公式可得tanA=2，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，cosA，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cosB的值．（Ⅱ）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，利用正弦定理可得b的值，即可得解S的值．本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】证明：（Ⅰ）∵AB∥CD，∠BCD=，PA=PD=CD=BC=1，∴BD=，∠ABC=，，∴，∵AB=2，∴AD=，∴AB2=AD2+BD2，∴AD⊥BD，∵PA⊥BD，PA∩AD=A，∴BD⊥平面PAD，∵BD⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，且PO=，由平面PAD⊥平面ABCD，知PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（，，0），B（，，0），C（-，，0），P（0，0，），=（-1，0，0），=（-，，），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取z=，得=（0，，），∵=（，，-），∴cos＜，＞==-，∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）推导出AD⊥BD，PA⊥BD，从而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅱ）取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，以O为坐标原点，以过点O且平行于BC的直线为x 轴，过点O且平行于AB的直线为y轴，直线PO为z轴，建立空间直角坐标系，利用职权向量法能求出直线PA与平面PBC所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．K2==≈6.061＞5.021．所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能判断“课外体育达标”与性别有关．（6分）（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，2人中女生的人数为X，则X的可能值为0，1，2．则P（（X=0）==，P（（X=1）==，P（（X=2）==，可得X的分布列为：可得数学期望E（X）=0×+1×+2×=．【解析】（I）列出列联表，利用独立性检验计算公式及其判定定理即可得出结论．（Ⅱ）（i）在“锻炼达标”的学生50中，男女生人数比为3：2，用分层抽样方法抽出10人，男生有6人，女生有4人．本题考查了独立性检验计算公式及其原理、超几何分布列的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）∵在=1（a＞b＞0）中，令x=c，可得y=±，∵过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆C相交所得的弦长为3，∴=3，∵直线y=-与椭圆C相切，∴b=，∴a=2∴a2=4，b2=3．故椭圆C的方程为+=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知c=1，则直线l的方程为y=k（x+1），联立，可得（4k2+3）x2+8k2x+4k2-12=0，则△=64k4-4（4k2+3）（4k2-12）=144（k2+1）＞0，∴x1+x2=-，x1x2=，∴y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=-，∵（）＜1，∴•＜1，∴（x2-1，y2）（x1-1，y1）=x1x2-（x1+x2）+1+y1y2＜1，即++1-＜1，整理可得k2＜4，解得-2＜k＜2，∴直线l存在，且k的取值范围为（-2，2）．【解析】（Ⅰ）由题意可得=3，以及直线y=-与椭圆C相切，可得b=，解之即得a，b，从而写出椭圆C的方程；（Ⅱ）联立方程组，根据韦达定理和向量的运算，即可求出k的取值范围．本题考查了直线方程，椭圆的简单性质、向量的运算等基础知识与基本技能方法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=0，得a=，令h（x）=，x∈（，2），h′（x）=，故h（x）在（，1）递减，在（1，2）递增，又h（）=2，h（2）=，h（1）=e，故h（2）＞h（），故a∈（e，2）；（Ⅱ）g（x）=f（x）-ax2=e x-ax-ax2，故g′（x）=e x-2ax-a，∵x1，x2是函数g（x）的两个不同的极值点（不妨设x1＜x2），易知a＞0（若a≤0，则函数f（x）没有或只有1个极值点，与已知矛盾），且g′（x1）=0，g′（x2）=0，故-2ax1-a=0，-2ax2-a=0，两式相减得2a=，于是要证明＜ln（2a），即证明＜，两边同除以，即证（x1-x2）＞-1，即证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t-e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，设k（t）=-（+1），则k′（t）=（-1），当t＜0时，k′（t）＜0，k（t）递减，故k（t）＞k（0）=0，即-（+1）＞0，故h′（t）＜0，故h（t）在t＜0时递减，h（t）在t=0处取最小值h（0）=0，故h（t）＞0得证，故＜．【解析】（Ⅰ）问题转化为a=，令h（x）=，x∈（，2），根据函数的单调性求出a的范围即可；（Ⅱ）求出2a=，问题转化为证（x1-x2）-+1＞0，令x1-x2=t（t＜0），即证不等式t -e t+1＞0，当t＜0时恒成立，设h（t）=t-e t+1，则h′（t）=-[-（+1）]，根据函数的单调性证明即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，换元思想，是一道综合题．22.【答案】解：（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得（x-3）2+（y-1）2=4，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），则PQ中点的轨迹方程为（2x-3）2+（y-1）2=4．（Ⅱ）∵直线的直角坐标方程为y-x=1，∴联立y-x=1与（2x-3）2+（y-1）2=4得x=，∴|MN|==．【解析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1消去α可得圆C1的普通方程，设PQ的中点坐标为（x，y），则P点坐标为（2x，y），将P的坐标代入C1的方程即可得；（Ⅱ）先把l的极坐标方程化为直角坐标方程，再代入C2的直角坐标方程可得M，N的横坐标，再根据弦长公式可得弦长|MN|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（Ⅰ）f（x）+f（2x+1）=|x-2|+|2x-1|=，＜，，＞当x＜时，由3-3x≥6，解得x≤-1；当≤x≤2时，x+1≥6不成立；当x＞2时，由3x-3≥6，解得x≥3．所以不等式f（x）≥6的解集为（-∞，-1][3，+∞）．（Ⅱ）∵a+b=1（a，b＞0），∴（a+b）（+）=5++≥5+2=9，∴对于∀x∈R，恒成立等价于：对∀x∈R，|x-2-m|-|-x-2|≤9，即[|x-2-m|-|-x-2|]max≤9∵|x-2-m|-|-x-2|≤|（x-2-m）-（x+2）|=|-4-m|∴-9≤m+4≤9，∴-13≤m≤5．【解析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法，利用分类讨论进行求解即可．（Ⅱ）利用1的代换，结合基本不等式先求出+的最小值是9，然后利用绝对值不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查绝对值不等式的解法，以及不等式恒成立问题，利用1的代换结合基本不等式，将不等式恒成立进行转化求解是解决本题的关键．。
2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高考第二次模拟测试数学(理)试题(解析版)
2019届黑龙江省哈尔滨市第三中学高考第二次模拟测试数学（理）试题一、单选题1．2-31ii =+（ ） A ．15-22i B ．15--22iC ．15+22i D ．15-+22i 【答案】B【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】()()()()231231515111222i i i i z i i i i -----====--++-． 故选B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 2．设集合{1,0,1}A =-，{|22}x B x =>，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1-C ．{1,0}-D ．{0,1}【答案】A【解析】可解出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】 B {}22xx =＝{x |x ＞1}；∴A ∩B ＝∅． 故选：A ． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，交集的运算，空集的定义，属于基础题．3．若x ，y 满足不等式组1010330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z 2x 3y =-的最小值为（ ）A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2【答案】A【解析】画出不等式组表示的平面区域，平移目标函数，找出最优解，求出z 的最小值．【详解】画出x ，y 满足不等式组10 10330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩表示的平面区域，如图所示平移目标函数z 2x 3y =-知，当目标函数过点A 时，z 取得最小值，由10330x y x y -+=⎧⎨--=⎩得23x y =⎧⎨=⎩，即A 点坐标为()2,3∴z 的最小值为22335⨯-⨯=-，故选A. 【点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为e ，抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为(1,0)，若e p =，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =B ．22y x =±C ．5y x =D ．2y x = 【答案】A【解析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的离心率，然后求解a ，b 关系，即可得到双曲线的渐近线方程． 【详解】抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点坐标为（1，0），则p ＝2，又e ＝p ，所以e ca==2，可得c 2＝4a 2＝a 2+b 2，可得：b 3=a ，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x ． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率以及双曲线渐近线方程的求法，涉及抛物线的简单性质的应用．5．随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，又有了新的用武之地．在计算机应用领域，图标成了具有明确指代含义的计算机图形．如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标，该图标共分为3部分．第一部分为外部的八个全等的矩形，每一个矩形的长为3、宽为1；第二部分为圆环部分，大圆半径为3，小圆半径为2；第三部分为圆环内部的白色区域．在整个“黑白太阳”图标中随机取一点，此点取自图标第三部分的概率为（ ）A ．24+9ππB ．424+9ππC ．18+9ππD ．418+9ππ【答案】B【解析】以面积为测度，根据几何概型的概率公式即可得到结论． 【详解】图标第一部分的面积为8×3×1＝24， 图标第二部分的面积和第三部分的面积为π×32＝9π， 图标第三部分的面积为π×22＝4π， 故此点取自图标第三部分的概率为4249ππ+，故选B ． 【点睛】本题考查几何概型的计算，关键是正确计算出阴影部分的面积，属于基础题． 6．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423S S =，715a =，则{}n a 的公差为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由条件得111463(2),615a d a d a d +=++=，由此可得d 的值，即可得答案．【详解】根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意得427315S S a =⎧⎨=⎩，即111463(2)615a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩．故选B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，关键是掌握等差数列的前n 项和公式的形式特点，属于基础题．7．运行如图程序，则输出的S 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2018D ．2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得 第一次：2017sin 2018,32S i π=+==，不满足条件；第二次：32018sin 201812017,52S i π=+=-==，不满足条件；第三次：52017sin 2018,72S i π=+==，不满足条件；第四次：72018sin 201812017,92S i π=+=-==，不满足条件；第五次：92017sin 2018,112S i π=+==，不满足条件；第六次：112018sin 201812017,132Si π=+=-==，满足条件，退出循环．输出2017．选D ．8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ）A ．-2B ．-1C ．1D ．2【答案】B【解析】求出函数的导数，利用切线方程通过f ′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f ′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力． 9．在长方体1111-ABCD A B C D 中，1=1=BC CC ，16AB D π=∠，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 【答案】D【解析】由异面直线所成的角的定义，先作出这个异面直线所成的角的平面角，即连接DC 1，再证明∠BC 1D 就是异面直线AB 1与1BC 所成的角，最后在△BC 1D 中计算此角的余弦值即可． 【详解】如图连接C 1D ，则C 1D ∥AB 1，∴∠BC 1D 就是异面直线AB 1与BC 1所成的角．又11BC CC ==，16AB D π∠=，∴1AB ，∴1BC =，∴1DC ， 在△BC 1D 中，∴cos BC 1D 26==．∴异面直线AB 1与1BC 所成的角的余弦值为：6． 故选D ．【点睛】本题考查了异面直线所成的角的定义和求法，关键是先作再证后计算，将空间角转化为平面角的思想，属于基础题．10．已知函数()3sin f x x x =-在(0,)α上是单调函数，且()1f α≥-，则α的取值范围为（ ） A ．(0,]65π B ．(0,]32π C ．(0,]2πD ．(0,]3π【答案】C【解析】利用两角和的余弦公式化简函数的解析式，利用余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，可得 cos （α6π+）12≥-，则 α6π+∈（6π，23π]，由此可得α的取值范围． 【详解】函数f （x ）3=x ﹣sin x ＝2cos （x 6π+） 在（0，α）上是单调函数，∴6π+α≤π，∴0＜α56π≤． 又f （α）≥﹣1，即 cos （α6π+）12≥-，则 α6π+∈（6π，23π]，∴α∈（0，2π]， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和的余弦公式，余弦函数的单调性以及余弦函数的图象，属于基础题． 11．已知半圆C ：221x y +=（0y ≥），A 、B 分别为半圆C 与x 轴的左、右交点，直线m 过点B 且与x 轴垂直，点P 在直线m 上，纵坐标为t ，若在半圆C 上存在点Q 使3BPQ π=∠，则t 的取值范围是（ ）A ．23[3]⋃ B ．23[3,0)-⋃C ．33[,0)(0,]33-⋃ D ．2323[,0)(0,]33-U 【答案】A【解析】根据题意，设PQ 与x 轴交于点T ，分析可得在Rt △PBT 中，|BT |3=|PB |3=|t |，分p 在x 轴上方、下方和x 轴上三种情况讨论，分析|BT |的最值，即可得t 的范围，综合可得答案． 【详解】根据题意，设PQ 与x 轴交于点T ，则|PB |＝|t |， 由于BP 与x 轴垂直，且∠BPQ 3π=，则在Rt △PBT 中，|BT |33=|PB |33=|t |， 当P 在x 轴上方时，PT 与半圆有公共点Q ，PT 与半圆相切时，|BT |有最大值3，此时t 有最大值3，当P 在x 轴下方时，当Q 与A 重合时，|BT |有最大值2，|t |有最大值233，则t 取得最小值23-， t ＝0时，P 与B 重合，不符合题意， 则t 的取值范围为[23-，0）(03⋃，]； 故选A ．【点睛】本题考查直线与圆方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于中档题．12．在边长为2的菱形ABCD 中，23BD =，将菱形ABCD 沿对角线AC 对折，使二面角B AC D --的余弦值为13，则所得三棱锥A BCD -的内切球的表面积为（ ）A ．43π B ．π C ．23πD ．2π【答案】C【解析】作出图形，利用菱形对角线相互垂直的性质得出DN ⊥AC ，BN ⊥AC ，可得出二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角为∠BND ，再利用余弦定理求出BD ，可知三棱锥B ﹣ACD 为正四面体，可得出内切球的半径R ，再利用球体的表面积公式可得出答案． 【详解】 如下图所示，易知△ABC 和△ACD 都是等边三角形，取AC 的中点N ，则DN ⊥AC ，BN ⊥AC ． 所以，∠BND 是二面角B ﹣AC ﹣D 的平面角，过点B 作BO ⊥DN 交DN 于点O ，可得BO ⊥平面ACD ．因为在△BDN 中，3BN DN ==BD 2＝BN 2+DN 2﹣2BN •DN •cos ∠BND 1332343=+-⨯⨯=， 则BD ＝2．故三棱锥A ﹣BCD 为正四面体，则其内切球半径为正四面体高的14，又正四面体的高6，故662R == 因此，三棱锥A ﹣BCD 的内切球的表面积为226244(3R πππ=⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查几何体的内切球问题，解决本题的关键在于计算几何体的棱长确定几何体的形状，考查了二面角的定义与余弦定理，考查计算能力，属于中等题．二、填空题 13．已知cos 3α=-，则cos2=α______． 【答案】59-【解析】直接利用二倍角的余弦公式求得cos2a 的值． 【详解】∵cos2α=221cos a -=225199⨯-=-， 故答案为59-． 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 14．5(1)(2)x x ++的展开式中，3x 的系数为______． 【答案】120【解析】根据（2+x ）5的展开式的通项公式可得（1+x ）（2+x ）5的展开式中，x 3的系数． 【详解】∵（2+x ）5的展开式的通项公式为T r +15rC = 25-r •x r ，∴在（1+x ）（2+x ）5的展开式中，x 3的系数为32235522C C +=40+80＝120，故答案为：120． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．15．已知函数()f x 是奇函数，且120x x ≤<时，有1212()()1f x f x x x -<-，(2)1f -=，则不等式3()x f x x -≤≤的解集为____． 【答案】[0,2]【解析】根据条件构造函数g （x ）＝f （x ）﹣x ，判断函数g （x ）的奇偶性和单调性，结合函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可． 【详解】由x ﹣3≤f （x ）≤x 等价为﹣3≤f （x ）﹣x ≤0设g （x ）＝f （x ）﹣x ，又由函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有g （﹣x ）＝f （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣f （x ）+x ＝﹣[f （x ）﹣x ]＝﹣g （x ）， 即函数g （x ）为R 上的奇函数， 则有g （0）＝0；又由对任意0≤x 1＜x 2时，有()()1212f x f x x x ＜--1，则()()()()()()()12121212121212g x g x f x f x x x f x f x x x x x x x -----==----1，∵()()1212f x f x x x ＜--1，∴()()()()12121212g x g x f x f x x x x x --=---1＜0，即g （x ）在[0，+∞）上为减函数， ∵g （x ）是奇函数，∴g （x ）在（﹣∞，+∞）上为减函数，∵f （﹣2）＝1，∴g （﹣2）＝f （﹣2）﹣（﹣2）＝1+2＝3； g （2）＝﹣3，g （0）＝f （0）﹣0＝0，则﹣3≤f （x ）﹣x ≤0等价为g （2）≤g （x ）≤g （0）， ∵g （x ）是减函数， ∴0≤x ≤2，即不等式x ﹣3≤f （x ）≤x 的解集为[0，2]； 故答案为：[0，2]． 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是构造函数g （x ），利用特殊值转化分析不等式，利用函数奇偶性和单调性进行转化是解决本题的关键．16．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足，32n n S a =-.数列{}n na 的前n 项和为n T ，则满足100n T >的最小的n 值为______． 【答案】7【解析】根据题意，将S n ＝3a n ﹣2变形可得S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2，两式相减变形，并令n ＝1求出a 1的值，即可得数列{a n }是等比数列，求得数列{a n }的通项公式，再由错位相减法求出T n 的值，利用T n ＞100，验证分析可得n 的最小值，即可得答案． 【详解】根据题意，数列{a n }满足S n ＝3a n ﹣2，① 当n ≥2时，有S n ﹣1＝3a n ﹣1﹣2，②，①﹣②可得：a n ＝3a n ﹣3a n ﹣1，变形可得2a n ＝3a n ﹣1， 当n ＝1时，有S 1＝a 1＝3a 1﹣2，解可得a 1＝1，则数列{a n }是以a 1＝1为首项，公比为32的等比数列，则a n ＝（32）n ﹣1， 数列{na n }的前n 项和为T n ，则T n ＝1+232⨯+3×（32）2+……+n ×（32）n ﹣1，③则有32T n 32=+2×（32）2+3×（32）3+……+n ×（32）n ，④③﹣④可得：12-T n ＝1+（32）+（32）2+……×（32）n ﹣1﹣n ×（32）n ＝﹣2（132nn -）﹣n ×（32）n， 变形可得：T n ＝4+（2n ﹣4）×（32）n ， 若T n ＞100，即4+（2n ﹣4）×（32）n ＞100，分析可得：n ≥7，故满足T n ＞100的最小的n 值为7； 故答案为7． 【点睛】本题考查数列的递推公式及错位相减法求和，关键是分析数列{a n }的通项公式，属于中档题．三、解答题17．已知ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，ABC ∆的面积为S ，且cos S bc A =，4C π=.（1）求cos B 的值；（2）若c =，求S 的值.【答案】（1）cos B =（2）3S = 【解析】（1）由已知利用三角形面积公式可得tan A ＝2，利用同角三角函数基本关系式可求sin A ，cos A ，由三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式可求cos B 的值． （2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B ，利用正弦定理可得b 的值，即可得S 的值． 【详解】 （1）∵S 12=bc sin A ＝bc cos A ， ∴sin A ＝2cos A ，可得：tan A ＝2， ∵△ABC 中，A 为锐角， 又∵sin 2A +cos 2A ＝1， ∴可得：sin A 5=，cos A 5=， 又∵C 4π=，∴cos B ＝﹣cos （A +C ）＝﹣cos A cos C +sin A sin C 10=-， （2）在△ABC 中，sin B 23101cos B =-=， 由正弦定理，可得：b c sinBsinC⋅==3， ∴S ＝bc cos A ＝3． 【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，PA=PD=CD=BC=1.（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】（1）见证明；（2）22211【解析】（1）推导出AD ⊥BD ，P A ⊥BD ，从而BD ⊥平面P AD ，由此能证明平面P AD ⊥平面ABCD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，以O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法能求出直线P A 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】（1）∵AB ∥CD ，∠BCD 2π=，P A ＝PD ＝CD ＝BC ＝1，∴BD =∠ABC 2π=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵AB ＝2，∴AD =∴AB 2＝AD 2+BD 2，∴AD ⊥BD ，∵P A ⊥BD ，P A ∩AD ＝A ，∴BD ⊥平面P AD ， ∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面P AD ⊥平面ABCD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，且PO 2=， 由平面P AD ⊥平面ABCD ，知PO ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，以过点O 且平行于BC 的直线为x 轴，过点O 且平行于AB 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （1122-，，0），B （1322，，0），C （1322-，，0），P （0，0， BC =u u u r （﹣1，0，0），BP =u u u r （1322，--，2）， 设平面PBC 的法向量n =r（x ，y ，z ），则0130222n BC x n BP x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩u u u r r u u u r r ，取z =n =r（0，23）， ∵PA =u u u r（1122-，，2-）， ∴cos 11n PA n PA n PA ⋅==-⋅u u u r r u u u r ru u u r r ＜，＞ ∴直线P A 与平面PBC所成角的正弦值为11．【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查满足线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19．中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）平均每天锻炼的时间/分钟[)0,10[)10,20[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60总人数203644504010将学生日均体育锻炼时间在[)40,60的学生评价为“锻炼达标”.（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表；锻炼不达标锻炼达标合计男女20110合计并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流，（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人作重点发言，记这2人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.临界值表【答案】（1）见解析；（2）（i ）男生有6人，女生有4人. （ii ）见解析 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）（i ）由男女生所占的比例直接求解；（ii ）分别求得X 不同取值下的概率，列出分布列，根据期望公式计算结果即可. 【详解】 （1）由22⨯列联表中数据，计算得到2K 的观测值为()2200602030901505090110k ⨯-⨯=⨯⨯⨯2006.061 5.02433=≈>. 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能判断“锻炼达标”与性别有关.（2）（i ）“锻炼达标”的学生有50人，男、女生人数比为3:2，故用分层抽样方法从中抽出10人，男生有6人，女生有4人. （ii ）X 的可能取值为0，1，2；()26210103C P X C ===，()11642108115C C P X C ===，()242102215C P X C ===，∴X 的分布列为∴X 的数学期望()1824012315155E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了分层抽样及离散型随机变量的应用问题，是基础题．20．已知O 为坐标原点，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，过焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长为3，直线y =椭圆C 相切．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l ：()y k x c +＝与椭圆C 相交于E ，D 两点，使得22()1F E DE F E -⋅<u u u u v u u u v u u u u v？若存在，求k 的取值范围；若不存在，请说明理由！【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意列出关于a,b 的关系式，解得a ，b 即可.（2）将直线与椭圆联立，将向量数量积的运算用坐标形式表示，利用根与系数之间的关系确定k 的取值范围． 【详解】（1）在22221(0)x y a b a b +=>>中，令x c =，得22221c y a b +=，解得2by a=±. 由垂径长（即过焦点且垂直于实轴的直线与椭圆C 相交所得的弦长）为3，得223b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 所以223b a=.①因为直线l：y =1C相切，则b ==② 将②代入①，得2a =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）设点()11,E x y ，()22,D x y .由（1）知1c =，则直线l 的方程为()1y k x =+.联立()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()22224384120k x k x k +++-=，则()()()2222284434121441440k k k k ∆=-+-=+>恒成立.所以2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+， ()()2121211y y k x x =++ ()212121k x x x x =+++= 2222222412891434343k k k k k k k ⎛⎫---+= ⎪+++⎝⎭. 因为()221F E DE F E -⋅<u u u u v u u u v u u u u v，所以()221F E ED F E +⋅<u u u u v u u u v u u u u v .即221F D F E ⋅<u u u u v u u u u v . 即()()22111,1,x y x y -⋅-= ()12121211x x x x y y -+++<，得2222224128911434343k k k k k k ----++<+++，得2279143k k -<+， 即227943k k -<+， 解得22k -<<；∴直线l 存在，且k 的取值范围是()2,2-. 【点睛】本题综合考查椭圆的性质及其应用、直线与椭圆的位置关系，考查了向量数量积的坐标运算，同时考查了基本运算能力、逻辑推理能力，难度较大． 21．已知函数()x f x e ax =-.（1）若函数()f x 在1(,2)2x ∈上有2个零点，求实数a 的取值范围.（注319e >） （2）设2()()g x f x ax =-，若函数()g x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：12ln(2)2x x a +<. 【答案】（1）(,a e ∈（2）见证明【解析】（1）将a 分离，构造函数()x e h x x=，利用导数研究()h x 的图像，得到a 的范围.（2）由已知()g x ，求其导函数，由x 1，x 2是g （x ）的两个不同极值点，可得a ＞0，结合g ′（x 1）＝0，g ′（x 2）＝0得到1120x e ax a --=，2220xe ax a --=进一步得到12122x x e e a x x -=-，把问题转化为证明1212212x x x x e e e x x +--＜，将其变形后整体换元构造函数()t ϕ．再利用导数证明()t ϕ＞0得答案．【详解】（1）1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，由()0f x =得xea x=，令()()()21x xe x e h x h x x x='-=⇒ ∴112x ≤<时，()0h x '<， 12x <≤时，()0h x '>，∴()h x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，在()1,2上是增函数.又12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()222e h =，()1h e =()344161640444e e e e e e ---==>， ∴()122h h ⎛⎫>⎪⎝⎭，∴h （x ）的大致图像：利用()y h x =与y a =的图像知(,2a e e ∈.（2）由已知()2xg x e ax ax =--，∴()2xg x e ax a =--'，因为1x ，2x 是函数()g x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），易知0a >（若0a ≤，则函数()f x 没有或只有一个极值点，与已知矛盾），且()10g x '=，()20g x '=.所以1120x e ax a --=，2220xe ax a --=.两式相减得12122x x e e a x x -=-，于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明1212212x xx x e e e x x +-<-，两边同除以2x e ，即证12122121x x x x e ex x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()121221210x x x x x x ee ----+>，令12x x t -=，0t <.即证不等式210tt te e -+>，当0t <时恒成立. 设()21t t t te e ϕ=-+，则()2212t t tt te t e e ϕ=+⋅⋅-'= 22211]22t t tt t t e e e e ⎡⎫⎛⎫+-=--+⎪⎢ ⎪⎝⎭⎣⎭. 设()212tt h t e =--，则()221111222t th t e e ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭'，当0t <时，()0h t '<，()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2102t t e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，所以()0t ϕ'<，所以()t ϕ在0t <时是减函数.故()t ϕ在0t =处取得最小值()00ϕ=. 所以()0t ϕ>得证.所以()12ln 22x x a +<. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查了导数在解决不等式证明问题中的应用，考查了数学转化思想方法和函数构造法，属于难题． 22．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程为32cos ,12sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数），P 是曲线1C 上的任一点，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，线段PQ 的中点的轨迹为2C .（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l ：1sin cos θθρ-=交曲线2C 于M ，N 两点，求||MN .【答案】（1）见解析（2）||5MN =【解析】（1）曲线C 的参数方程消去参数α求出曲线C 的普通方程，再设P ，Q 中点坐标，表示出P 坐标代入曲线1C 方程，得到2C 的直角坐标方程．（2）联立直线与曲线2C 的方程，求得交点横坐标，利用弦长公式求出弦长|MN |． 【详解】（1）消去参数α得曲线1C 的普通方程为()()22314x y -+-=，设PQ 的中点坐标为(),x y ，则P 点坐标为()2,x y ，则PQ 中点的轨迹方程为()()222314x y -+-=.（2）∵直线的直角坐标方程为1y x -=；∴联立1y x -=，()()222314x y -+-=得x =∴125MN x =-=. 【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查了轨迹问题及弦长公式，考查运算求解能力，是中档题．23．选修4-5：不等式选讲已知函数()2f x x =-（Ⅰ）解不等式()()216f x f x ++≥；（Ⅱ）对()1,0a b a b +=>及x R ∀∈，不等式()()41f x m f x a b---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）(][),13,-∞-+∞U .（Ⅱ）135m -≤≤.【解析】【详解】 详解：（Ⅰ）()()133,,21212211,2,233, 2.x x f x f x x x x x x x ⎧-<⎪⎪⎪++=-+-=+≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩当12x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当122x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥.所以不等式()6f x ≥的解集为(][),13,-∞-+∞U .（Ⅱ）因为()1,0a b a b +=>， 所以()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭. 由题意知对x R ∀∈，229x m x -----≤， 即()max 229x m x -----≤， 因为()()22224x m x x m x m -----≤---+=--，所以949m -≤+≤，解得135m -≤≤.【点睛】⑴ 绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定义法；②平方法；③零点区域法．⑵ 不等式的恒成立可用分离变量法．若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围．这种方法本质也是求最值．一般有：① ()()(f x g a a <为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔>②()()(f x g a a >为参数）恒成立max ()()g a f x ⇔< ．。
2019哈三中二模理科数学题及问题详解
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B =I A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D ．646．已知函数()sin()3cos()(0,||)2f x x x πωφωφωφ=+-+><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为A ．12 B ．3 C ．174D ．1748．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =u u u r u u u r，36BA BC ⋅=u u u r u u u r，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．223y x =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12 B ．316C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =u u u r u u u r ，2CF FB =u u ur u u u r ，连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+u u u u r u u u r u u u r，则实数λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．(1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届黑龙江省哈尔滨市六中高三第二次模拟考试数学(理)试卷及解析
2019届哈尔滨市六中高三第二次模拟考试数学（理）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，若的虚部为，则复数在复平面内对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】,虚部为,即,故对应点在第一象限.2.已知全集，集合，，则下图阴影部分表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，由文氏图可得，图中阴影部分的面积表示集合：且的元素，即阴影部分表示的集合是 .本题选择C选项.3.已知命题；命题若，则，则下列为真命题的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因，所以命题为真；命题为假，所以为真，选B.4.已知向量，，若，则实数（）A. 2B. -2C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出向量的坐标，进而可得向量与、的模，分析可得，解可得m的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量（m，2），（1，1），则（m+1，3），则||，||，||，若||＝||+||，则有，两式平方得到再平方得到解可得：m＝2；故答案为：A．5.设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于( )A. 9B. 8C. 7D. 6【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为d，a=−11,a4+a6=−6，可得−11+3d−11+5d=−6，解得d=2，1。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市高三第二次模拟考试数学(理)模拟试题word版有答案
哈尔滨市第六中学高三第二次模拟考试理科数学试卷考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,字迹清楚；（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 满足3(1)()2i z i i --= (i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )A ．1i -B ．12i +C ．1i -D ．12i -2．已知集合A ={x |2()lg(6)f x x x =-+}，B ={x |()g x ，若A B ≠∅I ，则实数m 的取值范围是( )A ．(−∞，3)B ．(−2，3)C ．(−∞，−2)D ．(3，+∞)3．已知双曲线22221x y a b -= (a >0，b >0)的右顶点与抛物线2y =8x 的焦点重合，且其离心率e =32，则该双曲线的方程为( )A ．22145y x -= B ．22154x y -= C ．22145x y -= D ．22154y x -= 4．已知在各项均为正数的等比数列{n a }中，13a a =16，3a +4a =24，则5a =( )A ．128B ．108C ．64D ．32 5．已知α是第四象限角，且1sin cos 5αα+=，则tan 2α=( )A ．13 B ．13- C ．12D ．12-6．已知命题p ：存在n R ∈，使得()f x =22n nnx+是幂函数，且在(0,)+∞上单调递增； 命题q ：“2,23x R x x ∃∈+>”的否定是“2,23x R x x ∀∈+<”．则下列命题为真命题的是( ) A ．p q ∧ B ．p q ⌝∧ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝7．函数()f x =2ln ||2x x +的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．8．如图所示的程序框图的思路源于数学史上一个著名数列“斐波那契数列”， 执行该程序，若输入6n =，则输出C =( ) A ．5 B ．8 C ．13 D ．219．从,,,,A B C D E 五名歌手中任选三人出席某义演活动，当三名歌手中有A 和B 时，A 需排在B 的前面出场(不一定相邻)，则不同的出场方法有( )A ．51种B ．45种C ．42种D ．36种10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的体积为( )A ．14π B ．3πC ．12π D ．3π11．正方形ABCD 的四个顶点都在椭圆22221x y a b+=上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A ．51(0,)2- B ．51(,1)2- C ．31(,1)2- D ． 31(0,)2- 12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，且()f x =212x −(0)f x +(1)f '1x e -， ()g x = ()f x −212x x +，若方程2()x g x a -−x =0在(0，+∞)上有且仅有一个根，则实数a 的取值范围是（ ）A ． (0，1]B ．(−∞，−1]C ． (−∞，0)∪{1}D ．[1，+∞)第II 卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题,每题5分.）13．一个煤气站有5个阀门控制对外输送煤气，使用这些阀门必须遵守以下操作规则：(i)如果开启1号阀门，那么必须同时开启2号阀门并且关闭5号阀门；(ii)如果开启2号阀门或者5号阀门，那么要关闭4号阀门；(iii)不能同时关闭3号阀门和4号阀门．现在要开启1号阀门，则同时开启的2个阀门是 ．14．若实数x ，y 满足约束条件42y x y x y k ≤⎧⎪≤-+⎨⎪≥⎩，且22x y μ=++的最小值为4-，则k = ．15．若9290129(1)(1)(1)x a a x a x a x =+-+-++-L ，则7a 的值为 ． 16．已知首项为13的数列{n a }的前n 项和为n S ，定义在[1，+∞)上恒不为零的函数()f x ，对任意 的x ，y ∈R ，都有()f x ·()f y =()f x y +．若点(n ，n a )(n ∈N *)在函数()f x 的图象上，且不 等式2m +23m<n S 对任意的n ∈N *恒成立，则实数m 的取值范围为______________三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本小题满分12分)在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足(2)cos cos c b A a B -=． （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 上一点，且满足2,23BD DC AD ==u u u r u u u r，3,b =求a ．18．(本小题满分12分)如图1，已知在梯形ABCD 中，//AB CD ，,E F 分别为底,AB CD 上的点，且EF AB ⊥，112,22EF EB FC EA FD ====，沿EF 将平面AEFD 折起至平面AEFD ⊥平面EBCF ，如图2所示．（1）求证：平面ABD ⊥平面BDF ；（2）若二面角B −AD −F 的大小为60°，求EA 的长度．图图1 图219．(本小题满分12分)小张经营一个抽奖游戏。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟数学(理)试卷(含答案)
- 1 -2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量(2,),(1,3)==-a t b ，若b a,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32B ．t>32C ．t<32且t ≠6- D ．t<6- 4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A ．552 B ．54C ．52D ．554 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A ．3560B ．200C ．3580D ．2407. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的函数是 A ．2sin(2)3=+y x πB ．2sin(2)6=-y x π公众号：初高中数学交流群 QQ群：948270506- 2 - C ．2sin()23=+x y πD ．2sin(2)3=-y x π8． 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=<B ．ii ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．P 为圆C 1：229x y +=上任意一点，Q 为圆C 2：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．2513B ．53C ．π2512 D ．π5311．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在 抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1 , ③11FB A ∠=2π,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ． 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立， 则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e -∞ D ．]2,(e-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为 . 公众号：初高中数学交流群 QQ群：948270506- 3 -14．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13， SB=29，则异面直线SC 与AB所成角的余弦值为__________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，B（0，0），C （0，1，0），D，1，则该四面体的外接球的体积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1) 求证{}3n a -是等比数列，并求n a ;(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T .18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟数学(理)试卷(含答案)
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量(2,),(1,3)==-a t b ，若b a,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32B ．t>32C ．t<32且t ≠6- D ．t<6- 4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A ．552 B ．54C ．52D ．554 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A ．3560B ．200C ．3580D ．2407. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的函数是 A ．2sin(2)3=+y x πB ．2sin(2)6=-y x πC ．2sin()23=+x y πD ．2sin(2)3=-y x π8． 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=<B ．ii ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．P 为圆C 1：229x y +=上任意一点，Q 为圆C 2：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．2513B ．53C ．π2512 D ．π5311．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在 抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1 , ③11FB A ∠=2π,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ． 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立， 则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e -∞ D ．]2,(e-∞ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为 .14．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13， SB=29，则异面直线SC 与AB所成角的余弦值为__________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，B（0，0），C （0，1，0），D，1，则该四面体的外接球的体积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1) 求证{}3n a -是等比数列，并求n a ;(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T .18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。
2019哈三中二模理科数学题及问题详解
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理科数学本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共24题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；2．选择题必须使用2B 铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，字迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1． 集合{||1|2}A x x =-<，1{|39}3x B x =<<，则A B = A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,3)D ．(1,3)-2．设S n 是公差为(0)d d ≠的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则“d < 0”是“数列{}n S 有最大项”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．ΔABC 中，(cos ,sin )m A A =，(cos ,sin )n B B =-，若12m n ⋅=，则角C 为 A ．3π B ．23π C ．6π D ．56π 4．已知11ea dx x =⎰，则61()x ax-展开式中的常数项为 A ．20B ．-20C ．-15D ．155．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为A ．12B ．14C ．23D6．已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π，且在(0,)2π上为单调递减函数7．一个几何体的三视图及尺寸如右图所示，则该几何体的 外接球半径为A ．12 BC ．174D ．48．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，直线l 与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的摄影为C ，若AF FB =，36BA BC ⋅=，则抛物线的方程为A ．26y x =B ．23y x =C ．212y x =D ．2y =9．阅读右面的程序框图，输出结果s 的值为A ．12B ．16C ．116D ．1810．在平行四边形ABCD 中，AE EB =，2CF FB =， 连接CE 、DF 相交于点M ，若AM AB AD λμ=+，则实数 λ与μ的乘积为A ．14B ．38C ．34D ．4311．已知函数32()132x mx m n x y +++=+的两个极值点分别为x 1，x 2，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，记分别以m ，n 为横、纵坐标的点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图象上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围为A ．(1,3]B ．(1,3)C ． (3,)+∞D ．[3,)+∞12．设点P 在曲线xy e =上，点Q 在曲线11(0)y x x=->上，则||PQ 的最小值为 A．1)2e - B1)e -C．2D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题理(含解析)
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三数学第二次模拟试题 理（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（ ） A. 1 B. -1C. 3D. -3【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 【详解】()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-， 由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题.2.若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （ ） A. {0,1,2} B. {0,1,2,3} C. {0,1,2,4} D. {1,2,4}【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合B ，再求并集即可.【详解】由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4aB x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C.【点睛】本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3.向量(2,)a t =r ，(1,3)b =-r ，若a r ，b r的夹角为钝角，则t 的范围是（ ）A. 23t <B. 32>t C. 23t <且6t ≠- D. 6t <-【答案】C 【解析】 【分析】若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.【详解】若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C.【点睛】本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4.双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于（ ）A.5B.45C.25D.5【答案】A 【解析】 【分析】分别写出双曲线的顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】双曲线2214xy-=的顶点为()2,0±.渐近线方程为：12 yx=±.双曲线2214xy-=的顶点到渐近线的距离等于25114=+.故选A.【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题.5. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C【解析】试题分析：因,故应选C．考点：排列数组合数公式及运用．6.已知某个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是（）A.5603B. 200C.5803D. 240【答案】B【解析】【分析】还原几何体得四棱柱，利用三视图求底面积和高可得解.【详解】由三视图可知，该几何体是以侧视图的四边形为底面的四棱柱，高为10，底面面积为()284202+⨯=，故体积为：2010200⨯=.故选B.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体及柱体的体积的求解，属于基础题.7.下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（ ）A. )32sin(2π+=x y B. )62sin(2π-=x y C. 2sin()23x y π=+D. 2sin(2)3y x π=-【答案】B 【解析】试题分析：首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为4，故排除C ；将3x π=分别代入A ，B ，D ，得函数值分别为0,，而函数()sin y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值，故选B ． 考点：三角函数的周期性、对称性．8.我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（ ）A. 20i <，1S S i=-，i i 2= B. 20i ≤，1S S i=-，i i 2=C. 20i <，2SS =，1i i =+ D. 20i ≤，2SS =，1i i =+ 【答案】D 【解析】 【分析】先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 【详解】根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i=-，故排除AB ， 由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤. 故选D.【点睛】本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9.已知α是第二象限角，且53)sin(-=+απ，则tan 2α的值为（ ） A.45B. 237-C. 724-D. 249-【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.【详解】由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-.34sin tan cos ααα==-.232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C.【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10.P 为圆1C ：229x y +=上任意一点，Q 为圆2C ：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在2C 内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为（ ） A.2513 B.35C.1225πD.35π【答案】B 【解析】 【分析】先求得M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，根据几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【详解】设()00,Q x y ,中点M(x, y),则()002,2P x x y y --代入229x y +=，得()()2200229x x y y -+-=，化简得：22009224x y x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又220025x y +=表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 轨迹是在以00,22x y ⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，以23为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有222(14)x y r r +=剟， 那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为1615325255πππ-==，故选B.【点睛】本题主要考查了几何概型的求解，涉及轨迹问题，是解题的关键，属于中档题.11.已知抛物线24x y =焦点为F ，经过F 的直线交抛物线于),(11y x A ，),(22y x B ，点A ，B 在抛物线准线上的射影分别为1A ，1B ，以下四个结论：①124x x =-，②121AB y y =++，③112A FB π∠=，④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2.其中正确的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】设直线AB 为1y kx =+与抛物线联立，由韦达定理可判断①，由抛物线定义可判断②，由0FA FB ⋅=u u u r u u u r可判断③，由梯形的中位线定理及韦达定理可判断④.【详解】物线24x y =焦点为(0,1)F ，易知直线AB 的斜率存在， 设直线AB 为1y kx =+.由214y kx x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx --=.则4,42121-==+x x k x x ，①正确；1212||||||112AB AF BF y y y y =+=+++=++，②不正确；1212(,2),(,2),40,FA x FB x FA FB x x FA FB =-=-∴⋅=+=∴⊥u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，112A FB π∠=，③正确；AB 的中点到抛物线的准线的距离21112121111(||||)(2)(112)(44)22222d AA BB y y kx kx k =+=++=++++=+≥ .当0k =时取得最小值2. ④正确. 故选C.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了设而不求的思想，转化与化归的能力，属于中档题.12.已知函数()xe f x ax x=-，(0,)x ∈+∞，当21x x >时，不等式1221()()f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (,]e -∞ B. (,)e -∞C.(,)2e-∞ D.(,]2e -∞ 【答案】D 【解析】 【分析】将原问题转化为函数单调性的问题，然后求解实数a 的取值范围即可. 【详解】不等式()()12210f x f x x x -<即()()1122120x f x x f x x x -<，结合210x x >>可得()()11220x f x x f x -<恒成立，即()()2211x f x x f x >恒成立， 构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，由题意可知函数()g x 在定义域内单调递增，故()'20xg x e ax =-≥恒成立，即2xe a x≤恒成立，令()()02xe h x x x =>，则()()21'2x e x h x x -=，当01x <<时，()()'0,h x h x <单调递减；当1x >时，()()'0,h x h x >单调递增；则()h x 的最小值为()11212e eh ==⨯，据此可得实数a 的取值范围为,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查导函数研究函数的性质，导函数处理恒成立问题，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 2sin c A =，c =ABC ∆的面积为2，a b +的值为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】由正弦定理边化角可得3π=C ，由面积公式和余弦定理列方程可得a b +.【详解】由2sin c A=，结合正弦定理可得2sin sin ,sin 0,sin A C A A C =≠∴=Q . 在锐角三角形ABC 中，可得3π=C .所以ABC ∆的面积1sin 2S ab C ===6ab =. 由余弦定理可得222222cos ()3()187c a b ab C a b ab a b =+-=+-=+-=， 解得5a b +=. 故答案为5.【点睛】本题主要考查了正余弦定理及三角形面积公式的应用，重点考查了计算能力，属于基础题.14.在三棱锥S ABC -中，90SAB SAC ACB ∠=∠=∠=︒，2=AC ，13=BC ，29SB =，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________．【答案】17 【解析】【详解】如图,取A 为原点、AB 和AS 所在直线分别为y 轴和z 轴建立空间直角坐标系.则点()(1317,0,0,0,23,2,1717B S C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,故132,231717SC ⎛=- ⎝u u u v ,()17,0AB =u u uv .于是,所求夹角的余弦值为17SC AB SC AB⋅=u u u v u u u v u u u v u u u v . 1715.如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n 个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为(n)f ，则()f n =__________．【答案】7,2n-1; 【解析】解：设h （n ）是把n 个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数 n=1时，h （1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h （2）=3=22-1；n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h （2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h （2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]， h （3）=h （2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1， h （4）=h （3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1， …以此类推，h （n ）=h （n-1）×h（n-1）+1=2n-1， 故答案为：7；2n -1．16.一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是5)A ，3,0,0)B ，(0,1,0)C ，3,1,5)D ，则该四面体的外接球的体积为__________．【答案】29π【解析】 【分析】3,1,5. 【详解】采用补体法，由空间点坐标可知，该四面体的四个顶点在一个长方体上，该长方体3,1,53153++=，所以球半径为23，体积为34932r ππ=.【点睛】本题主要考查了四面体外接球的常用求法：补体法，通过补体得到长方体的外接球从而得解，属于基础题.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：（共60分） 17.设数列{}n a 满足1123n n a a +=+，14a =. （1）求证{3}n a -是等比数列，并求n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和n T .【答案】（1）113()3n n a -=+（2）313123nn T n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据条件可得()11333n n a a +-=-，从而证得等比关系，再利用等比数列的通项公式求解即可；（2）利用分组求和即可. 【详解】（1）∵1123n n a a +=+，14a =， ∴()11333n n a a +-=-，故{}3n a -是首项为1，公比为13的等比数列， ∴1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）1133n n a -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故0111113...333n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1131333112313nnn n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+=+- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. 【点睛】本题主要考查了构造新等比数列，考查了数列的递推关系及分组求和，属于基础题.18.为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；（精确到个位） （2）研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布2(,)N μσ（0u u =，σ约为19.3），按以往的统计数据，理科数学成绩能达到自主招生分数要求的同学约占40%； （i ）估计本次检测成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位） （ii ）从该市高三理科学生中随机抽取4人，记理科数学成绩能达到自主招生分数要求的人数为Y ，求Y 的分布列及数学期望()E Y .（说明11()1()x uP X x φσ->=-表示1X x >的概率.参考数据：(0.7257)0.6ϕ=，(0.6554)0.4ϕ=） 【答案】（1）103；（2）（i ）117;(ii) 58. 【解析】 【分析】（1）直方图中，每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和，即可得到该市此次检测理科数学的平均成绩；（2）（ⅰ）令11030.725719.3x -=计算1x 的值；（ⅱ）根据二项分布的概率公式得出Y 的分布列，利用二项分布的期望公式可得数学期望. 【详解】（1）该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =⨯+⨯+⨯+⨯1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈（2）（ⅰ）记本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为1x ， 根据题意，111103()110.419.3x u x P x x φφσ--⎛⎫⎛⎫>=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即11030.619.3x φ-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 由()0.72570.6φ=得，111030.7257117.011719.3x x -=⇒=≈，所以，本次考试成绩达到自主招生分数要求的理科数学成绩约为117分.（ⅱ）因为24,5Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，()442355i ii P Y i C -⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3,4i =. 所以Y 的分布列为 Y 01234P 816252166252166259662516625所以()28455E Y =⨯=. 【点睛】本题主要考查直方图的应用、正态分别的应用以及二项分布的数学期望，属于中档题. 求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤：①“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率加法公式、独立事件的概率公式以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；③“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；④“求期望”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望．对于某些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布(),X B n p ～），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(()E X np =)求得．因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度．19.如图，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，PA AD =，M 、N 分别是AB 、PC 的中点.（1）求证：平面ANB ⊥平面PCD ；（2）若直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，求二面角N MD C --的正弦值. 【答案】（1）见解析（2）36【解析】 【分析】（1）通过证明MN ⊥面PCD ，可证得面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，设2AB t =，由向量的夹角公式先求解线面角得t ，再利用面的法向量求解二面角即可.【详解】如图，取PD 中点E ，连接EN ，AE . （1）证明：∵M ，N ，E 为中点， ∴//EN AM ，12EN AM AB ==， ∴AMNE 是平行四边形，//MN AE ， 又∵CD AD ⊥，CD PA ⊥，∴CD ⊥面PAD ，∴面⊥PCD 面PAD .∵PA AD =，E 为中点，,AE PD ⊥AE ⊥面PCD ， ∴MN ⊥面PCD ，∵MN ⊂面ANB ， ∴平面ANB ⊥平面PCD . （2）建立如图所示坐标系，()0,0,0A ，()2,0,0B t ，()2,2,0C t ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，(),0,0M t ，(),1,1N t .由（1）知MN ⊥面PCD ，∴()2,0,2PB t u u u v =-，()0,1,1MN =u u u u v.∵直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为1010，∴由PB MN PB MN⋅=u u u v u u u u v u u u v u u u u v 得2t =.设(),,m x y z =v为面NMD 的法向量，则()2,2,0DM =-u u u u v ，()0,1,1MN =u u u u v . 由00DM m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u u v vu u u u v v 得()1,1,1m v =-，m =v， ∵AP ⊥面CMD ，()0,0,2AP =u u u v，设二面角N MD C --为θ，θ为锐角，则cos AP m AP mθ⋅==u u u v v u u u v v ，∴sin 3θ=. 【点睛】本题主要考查了线面和面面垂直的判断及性质，利用空间直线坐标系，通过空间向量求解线面角及二面角，属于中档题.20.动点(,)M x y6=. （1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DBλ=u u u r u u u r且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】 【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解.【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=.（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=u u u v u u u v得12y y λ=-……① 由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得x =2219x y +=整理()222190k yk ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12y y +=……③ 212219k y y k=-+……④由①③得()()12119k y k λ=-+，()()22119y k λ=--+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.21.已知函数()ln()xf x e x m =-+，其中1m ≥.（1）设0x =是函数()f x 的极值点，讨论函数()f x 的单调性； （2）若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<， （i ）求参数m 的取值范围； （ii ）求证：2121ln(1)1x x ex x e ---+>-【答案】（1）见解析；（2）（i ）e m >，（ii ）见解析. 【解析】 【分析】（1）求函数导数，由()'0011f m=-=可得解，进而得单调区间； （2）（i ）分析函数导数可得函数单调性，结合,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，可得解；（ii ）先证当m e =时，若()ln()0xf x ex e =-+=，得存在3()(0)0f x f ==，进而证31x <-，再证e m >时，11x <-，可得211t x x =->，构造函数()ln(1)th t e t =-+，利用函数单调性即可证得.【详解】（1）()1'xf x e x m=-+， 若0x =是函数()f x 的极值点，则()'0011f m=-=，得1m =，经检验满足题意， 此时()1'1xf x e x =-+，()'f x 为增函数， 所以当(1,0),'()0x f x ∈-<，()f x 单调递减； 当(0,),'()0x f x ∈+∞>，()f x 单调递增 （2）（i ）1m ≥， ()1'xf x e x m=-+， 记()()'h x f x =，则()()21'0xh x e x m =+>+，知()'f x 在区间(),m -+∞内单调递增. 又∵()1'010f m=->， ()1'101m f e m -=+-<-， ∴()'f x 在区间()1,0m -内存在唯一的零点0x ，即()0001'0xf x e x m =-=+，于是001x e x m=+， ()00ln x x m =-+.当0m x x -<<时， ()()'0,f x f x <单调递减； 当0x x >时， ()()'0,f x f x >单调递增.若()y f x =有两个不同的零点1x 和2x ，且120x x <<，易知,(),,()x m f x x f x →-→+∞→+∞→+∞，所以(0)1ln 0f m =-<，解得e m >. （ii ）当me =时有()ln()xf x ex e =-+，令()ln()0x f x e x e =-+=.由（i ）中的单调性知，存在3()(0)0f x f ==，当3(,0),()0x x f x ∈<. 111(1)ln(1)ln(1)ln1.7022f e e e -=--<--<-=<，所以31x <-.下证当e m >时，11x <-.由()ln()ln()x xf x e x m e x e =-+<-+，所以33333()ln()ln()0x xf x e x m e x e =-+<-+=，由（i ）知，当12(,),()0x x x f x ∈<，得131x x <<-.. 所以211x x ->，令211t x x =-> 要证2121ln(1)1x x ex x e ---+>-，即证ln(1)1t e t e -+>-.令1()ln(1),'()1tth t e t h t e t =-+=-+单调递增，且1'(1)02h e =->， 所以'()0,()h t h t >单调递增，所以()(1)ln 21h t h e e >=->-.得证.【点睛】本题主要研究了函数的极值和函数的单调性，考查了构造函数的思想及放缩法证明不等式，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程.以直角坐标系原点O 为极点，x 轴正方向为极轴，已知曲线1C 的方程为()2211x y -+=，2C 的方程为3x y +=，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求1C 与2C 的极坐标方程；（2）若1C 与3C 的一个公共点A （异于点O ），2C 与3C 的一个公共点为B ，求3OA OB-的取值范围.【答案】（1）1C 的极坐标方程为θρcos 2=，2C 的极坐标力程为3cos sin ρθθ=+（2）3(1,1)OA OB-∈- 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标互化公式求解即可； （2）设3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，分别与1C 和2C 的极坐标方程联立，可得2cos OA α=和3cos sin OB αα=+，进而看化简求值.【详解】解：（1）曲线1C 的方程为()2211x y -+=，1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 2C 的方程为3x y +=，其极坐标力程为3cos sin ρθθ=+.（2）3C 是一条过原点且斜率为正值的直线，3C 的极坐标方程为θα=，0,,2R παρ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，联立1C 与3C 的极坐标方程2cos ρθθα=⎧⎨=⎩，得2cos ρα=，即2cos OA α=，联立1C 与2C 的极坐标方程3cos sin ρθθθα⎧=⎪+⎨⎪=⎩，得3cos sin ραα=+，即3cos sin OB αα=+，所以32cos cos sin OA OB ααα-=-- 4πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 又0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()31,1OA OB -∈-. 【点睛】本题主要考查了直角坐标与极坐标互化及极坐标应用解长度问题，属于基础题.23.选修4-5：不等式选讲（1）已知+∈R c b a ,,，且1a b c ++=，证明9111≥++cb a ；- 21 - （2）已知+∈R c b a ,,，且1abc =111a b c ≤++. 【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）由111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++展开利用基本不等式证明即可； （2）由11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭，结合条件即可得解.【详解】证明：（1）因为111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a b a a b b c c=++++++++ 39b a b c a c a b c b c a=++++++≥， 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立. （2）因为11111111112a b c a b a c b c ⎛⎫++=+++++ ⎪⎝⎭12⎛⎫≥⨯ ⎪ ⎪⎝⎭， 又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，∴()111a b c ++≥. 当()()03323222=-+++x x x x 时等号成立，即原不等式成立.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，需要进行配凑，具有一定的技巧性，属于中档题.。
黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学(理)试题(
【题文】动点(,)M x y6=.（1）求M 点的轨迹并给出标准方程；（2）已知D ，直线l：y kx =-交M 点的轨迹于A ，B 两点，设AD DB λ=且12λ<<，求k 的取值范围.【答案】（1）2219x y +=（2）k >k <【解析】【分析】（1）由方程知轨迹为椭圆，进而得,a c 从而可得解；（2）由AD DB λ=得12y y λ=-，由直线与椭圆联立，可结合韦达定理整理得2321912k λλ+=+-，设()12f λλλ=+-，求其范围即可得解. 【详解】（1）解：M点的轨迹是以()，()-为焦点，长轴长为6的椭圆，其标准方程为2219x y +=. （2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由AD DB λ=得12y y λ=-……①由12λ<<得0k ≠，由y kx =-得y x k+=代入2219x y +=整理()222190k y k ++-=……②显然②的判别式∆>0恒成立，由根与系数的关系得12219y y k+=-+……③ 212219k y y k=-+……④由①③得1119y k λ=-+2119y k λ=-+代入④整理得()22323219112k λλλλ+==-+-. 设()12f λλλ=+-，则由对勾函数性质知()f λ在()1,2上为增函数，故得()102f λ<<. 所以21964k +>，即k的取值范围是k >k <【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及直线与椭圆的位置关系，考查了“设而不求”的思想，着重考查了学生的计算能力，属于中档题.【标题】黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学（理）试题【结束】。
黑龙江省哈尔滨市2019届高考二模数学试题(理科)
黑龙江省哈尔滨市2019届高考二模数学试题（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2＞1}，N={﹣2，﹣1，0，1，2}，则M∩N=（）A．{0}B．{2}C．{﹣2，﹣1，1，2}D．{﹣2，2}2．复数﹣的实部与虚部的和为（）A．﹣B．1C．D．3．已知命题：p“∃x0∈R，x02+2ax0+a≤0”为假命题，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．[0，1]C．（1，2）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）4．某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如下表，s1，s2分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则（）甲811141522乙6712324A．s1＞s2B．s1＜s2C．s1=s2D．s1，s2大小不能确定5．一个球与一个正三棱柱（底面是正三角形，侧棱垂直于底面的三棱柱）的三个侧面和两个底面都相切．已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是（）A．81B．C．D．6．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C 的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a=（）A．﹣B．5C．D．48．对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f （x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”．给定下列函数：∪f（x）=；∪f（x）=e x；∪f（x）=cos（x+1）；∪f（x）=tanx．其中的“准奇函数”的有（）A．∪∪B．∪∪C．∪∪D．∪∪9．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，已知•=•，若|+|=2，且B∈[，]，则•的取值范围为（）A．[﹣2，]B．[﹣1，]C．[0，]D．[1，]11．抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则=（）A．B．C．D．12．若定义在R上的函数f（x）满足f′（x）﹣2f（x）﹣4＞0，f（0）=﹣1，则不等式f（x）＞e2x﹣2（其中e是自然对数的底数）的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（﹣1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学(理)试题(解析版)
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三上学期第二次调研考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，则复数的虚部是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，复数的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础的计算题．2.已知角的终边经过点，则的值为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：角的终边经过点，，，，则，故选：B．由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若，则A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，则，故选：C．直接利用二倍角的余弦公式的变形，求得的值．本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．4.已知命题p：函数的图象与函数的图象关于直线对称，命题q：函数的图象与函数的图象关于直线对称，则下列命题中为真命题的是A. B. ￢￢ C. ￢ D. ￢【答案】A【解析】解：由函数与函数互为反函数，则函数的图象与函数的图象关于直线对称，即命题p为真，函数与函数互为反函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，即命题q为真，故为真，故选：A．由原函数与其反函数的图象关于直线对称，又本题考查了反函数及反函数图象的对称性，属简单题5.函数的最大值为A. 2B.C.D.【答案】A【解析】解：由于：，所以：．函数，，，当时，．故选：A．首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最大值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，二次函数的性质的应用，余弦型函数的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．6.若函数在上是增函数，则m的最大值是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数，，令：，解得：，在上是增函数，所以：，故：当时，．故选：D．首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.将函数图象所有的点向右移动个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：，，再将所得各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，所得图象的函数解析式为：，故选：C．利用三角函数的图象变换规律易知，再将其图象上各点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，即可得到答案．本题考查函数的图象变换，掌握三角函数的图象变换规律是关键，属于中档题．8.函数满足对任意的实数x都有，且，，则的值为A. 1B.C. 2D.【答案】D【解析】解：函数满足对任意的实数x都有，，，，，，．故选：D．推导出，由，，得，，由此能求出的值．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9.如图所示的程序框图输出的结果是A. 2018B.C. 1009D.【答案】C【解析】解：执行如图所示的程序框图知，该程序运行后是计算并输出，当时，终止循环，此时输出．故选：C．模拟执行题目中的程序框图，得出该程序运行后输出的S值．本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．10.函数的图象可能是A.B.C.D.【答案】A【解析】解：当时，，故排除D；易知在R上连续，故排除B；且，故排除C，故选：A．分析四个图象的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解．本题考查了函数的性质的判断与数形结合的思想方法应用．11.已知定义在R上的偶函数在是单调递增的，若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：根据题意，为偶函数且在单调递增，则，若不等式对任意恒成立，则在区间上恒成立，又由，则，则，即在区间上恒成立，分析可得：，解可得：，即a的取值范围为；故选：A．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得，进而可得在区间上恒成立，结合x的范围可得，据此可得，即在区间上恒成立，分析可得a的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及绝对值不等式的解法，关键是得到关于x的绝对值的不等式，属于综合题．12.若存在使得不等式成立，则实数a的取值范围为A. B. C. D.【答案】B【解析】解：令，则题目中问题等价于“当时，有成立即可，当时，，在上单调递减，，由，解得，当时，在区间上单调递增，其值域为，当时，即时，在区间上恒成立，在上单调递增，，由，解得，与矛盾，时，即时，由的单调性以及值域可知，存在唯一的，使，且满足当，，为减函数，且满足当，，为增函数，，其中，，这与矛盾，综上a的取值范围为故选：B．本题属于求存在性问题，不是恒成立问题，考查函数的求导和函数的单调性的关系．令，则题目中的问题等价于当时，即可．本题考查了导数和函数的单调性和函数最值的关系，以及分类讨论的思想，考查了运算能力和化归能力属于难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的单调增区间为______．【答案】【解析】解：令，则，根据复合函数的同增异减的原则可得，的单调增区间，即函数时的减区间．由可得或故函数的定义域为．而由函数t的图象可得函数时的减区间为，时的增区间为．故答案为．本题即求函数时的减区间，再由函数t的图象可得结果．本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，二次函数的性质的应用，复合函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．14.已知幂函数在上单调递减，则函数的解析式为______．【答案】【解析】解：幂函数在上单调递减，，解得，函数的解析式为．故答案为：．利用幂函数的性质直接求解．本题考查函数解析式的求法，考查幂函数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知函数的最小正周期为，为图象的对称轴，则函数在区间上零点的个数为______．【答案】2【解析】解：由题意，的最小正周期为；则；是函数图象的一条对称轴，则，；；；那么，其图象如图：可知函数在区间上零点的个数为2；故答案为：2．根据函数的最小正周期为，为图象的对称轴，可得解析式，结合余弦函数的图象可得在区间上零点的个数；本题主要考查余弦函数的图象及性质的应用属于基础题．16.已知，且对任意的恒成立，则的最小值为______．【答案】3【解析】解：设，则，当时，，即函数在为减函数，当时，，在不恒成立，即不成立．当时，设，得：，设，得：，即在区间上递减，在区间上递增，即，则，，，设则，易得，当时，则，当时，则，即在区间上递减，在区间上递增，即，故的最小值为3．故答案为：3．先，然后讨论和两种情况，求得，然后构造函数设求其最小值即可．本题考查了函数恒成立问题，通常采用分离变量最值法，逐步构造函数求函数的最值，本题属综合性较强的题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知，．求的值；求的值．【答案】解：，．，所以：，，，，，．，．则：，，所以：，所以：．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换求出三角函数的值．利用的变换利用角的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．18.已知函数．求函数的单调递减区间；设图象与图象关于直线对称，求时，的值域．【答案】解：函数．，令：，解得：，所以函数的单调递减区间为：．设图象与图象关于直线对称，则：，当时，则：，故：，故：，【解析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的单调区间．利用函数的对称性，首先求出函数的关系式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．19.已知，．当时，解不等式；若时，恒成立，求实数a的取值范围．【答案】解：时，可化为：，当时，不等式化为，解得，当时，不等式化为，解得不成立；当时，不等式化为，解得综上所述：不等式的解集为或当时，，即恒成立，，解得；当时，，即恒成立，，当时，，即恒成立，，解得，综上所述：实数a的取值范围是：．【解析】代入后，对x3种情况讨论去绝对值解不等式，再相并；对x分3种情况去绝对值得不等式恒成立，求出a的范围，再相交．本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．20.平面直角坐标系xOy中，曲线过点，其参数方程为为参数，以原点O为极点，X轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线极坐标方程为．求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；已知曲线和曲线交于A，B两点，求的值．【答案】解：曲线过点，其参数方程为为参数，曲线的普通方程为，曲线极坐标方程为，，曲线的直角坐标方程为．联立，得或，设，，，，，．【解析】由曲线过点及其参数方程，能求出曲线的普通方程，从而能求出曲线极坐标方程．联立，得，，由此能求出的值．本题考查曲线普通方程和直角坐标方程的求不地，考查两线段的倒数和的求法，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．21.已知椭圆C：过点，为C内一点，过点P的直线l交椭圆C于A、B两点，，为坐标原点，当时，．求椭圆C的方程；求实数的取值范围．【答案】解：由于，则A、P、B三点共线，当时，，所以，点和点在椭圆上，因为椭圆C过点，则，将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，因此，椭圆C的方程为；设直线l的方程为，设点、，将直线l的方程代入椭圆C的方程并化简得，由韦达定理可得，，，，，所以，，则，由于，所以，．所以，，则，由，上述两式相除得，由于，化简得，解得，所以，，因此，实数的取值范围是．【解析】先由椭圆C过点得出值，再由已知条件得出点在椭圆上，代入椭圆方程可得出b的值，于是可得出椭圆C的方程；设直线l的方程为，并设点、，将直线l的方程与椭圆C的方程联立，并列出韦达定理，由可得，由已知条件得，将关系式代入韦达定理并消去，于是可得出的不等式，即可求出的取值范围．本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，属于难题．22.设函数．当时，求函数的单调区间；，恒成立，求最大的正整数a的值；，且，证明：．【答案】解：时，函数．．可知：函数在R上单调递增．而，时，；时，．函数的单调递减区间为，单调递增为．，恒成立，，化为：．．可知：时，函数取得极小值即最小值，．，的最大正整数值为8．证明：，且，要证明：．，．．令，则时，必需；时，必需．当时，．．可知：函数在内单调递增，而，．在时单调递减．．在内单调递增，成立．同理可得：时，必需．综上可得：，且，．【解析】时，函数可知：函数在R上单调递增，而，即可得出单调区间．，恒成立，，化为：利用导数研究函数的单调性即可得出．，且，要证明：，化为令，可知时，必需；时，必需利用导数研究其单调性即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2019届高三第二次模拟数学(理)试题含答案
2019年哈尔滨市第三中学第二次高考模拟考试理 科 数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如果复数iai+-21(R a ∈,i 为虚数单位)的实部与虚部相等，则a 的值为 A ．1B ．-1C ．3D ．-32．若{}{}0,1,2,|2,a A B x x a A ===∈，则A B =A ．{0,1,2}B. {0,1,23}，C. {0,1,24}，D. {1,24}，3. 向量(2,),(1,3)==-a t b ，若b a,的夹角为钝角，则t 的范围是A ．t<32B ．t>32C ．t<32且t ≠6- D ．t<6- 4．双曲线1422=-y x 的顶点到渐近线的距离等于 A ．552 B ．54C ．52D ．554 5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6．已知某个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是 A ．3560B ．200C ．3580D ．2407. 下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x =3π对称的函数是 A ．2sin(2)3=+y x πB ．2sin(2)6=-y x πC ．2sin()23=+xy πD ．2sin(2)3=-y x π8． 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ．i i ,i S S ,i 2120=-=≤C ．1220+==<i i ,SS ,iD ．1220+==≤i i ,SS ,i 9．已知α是第二象限角，且sin(53)-=+απ，则tan2α的值为 A ．54B ．723-C ．724-D ．924-10．P 为圆C 1：229x y +=上任意一点，Q 为圆C 2：2225x y +=上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为 A ．2513B ．53C ．π2512 D ．π5311．已知抛物线x 2=4y 焦点为F,经过F 的直线交抛物线于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),点A,B 在 抛物线准线上的射影分别为A 1,B 1,以下四个结论：①x 1x 2=4-, ②AB =y 1+y 2+1 , ③11FB A ∠=2π,④AB 的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2 其中正确的个数为A ． 1 B. 2 C. 3 D. 412．已知函数ax xe xf x -=)(，),0(∞+∈x ，当12x x >时，不等式1221)()(x x f x x f <恒成立， 则实数a 的取值范围为A ．],(e -∞B ．),(e -∞C ．)2,(e-∞ D ．]2,(e -∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在锐角三角形ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 所对的边，且A c a sin 23=c=7，且ΔABC 的面积为233，b a +的值为 . 14．在三棱锥S —ABC 中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=13， SB=29，则异面直线SC 与AB 所成角的余弦值为__________.15．如图所示，有三根针和套在一根针上的n 个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上． (1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在 较小的金属片上面．将n 个金属片从1号针移到3号针 最少需要移动的次数记为f(n)，则f(n)＝________.16．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是A （0，0，B 0，0），C （0，1，0），D 1，则该四面体的外接球的体积为______.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)设数列{}n a 满足2311+=+n n a a ，41=a (1) 求证{}3n a -是等比数列，并求n a ;(2) 求数列{}n a 的前n 项和n T .18．(12分)为了解某市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图。
黑龙江省哈尔滨三中2019届高三上学期第二次调研考试数学(理)试卷(含答案)
哈三中2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学（理）试卷考试说明：（1）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分， 满分150分．考试时间为120分钟；（2）第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡．第I 卷 （选择题， 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知i 为虚数单位，则复数i i z -+=243的虚部是 A. 115i B. 113i C. 115 D. 1132. 已知角α的终边经过点(3,4)P -，则cos α=A ．45- B ．35- C ．35 D ．45 3. 若33sin =α，则=α2cos A ．32 B ．31 C ．31- D ．32- 4. 已知命题p ：函数x y 2=的图象与函数x y 2log =的图象关于直线x y =对称，命题q ：函数3x y =的图象与函数31x y =的图象关于直线x y =对称，则下列命题中为真命题的是A ．q p ∧B ．)()(q p ⌝∨⌝C ．q p ∧⌝)(D ．)(q p ⌝∧5. 函数21()cos 4f x x x =+（[0,]2x π∈）的最大值为A ．2B 14C 34D ．54 6. 若函数()sin cos f x x x =+在[,]m m -上是增函数，则m 的最大值是A ．πB ．34π C ．2π D ．4π 7. 将函数()sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原 来的21，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为 A ．)3221sin(π-=x y B ．)321sin(π-=x y C ．)322sin(π-=x y D ．)32sin(π-=x y 8. 函数()f x 满足：对任意的实数x 都有(2)()f x f x +=-，且(1)1f =-,(2)2f =-， 则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++L 的值为A ．1B ．1-C ．2D ．2-9. 如下图所示的程序框图输出的结果是A ．2018B ．1010-C ．1009D ．1009-10. 函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图象大致是A ．B ．C ．D ．11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞是单调递增的，若不等式(4)(5)f ax f x -≤+对任意输出s 开始 S=0,i=1 2018i ≤ 是 i 是奇数 是 i s s -= 1+=i i i s s +=否 否 结束[]1,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为A ．311,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．11,102⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 12. 若存在],[2e e x ∈，使得关于x 的不等式a x x +≤41ln 1成立，则实数a 的取值范围是 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21212e B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,41212e C ．11,2e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ D ．11,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)13. 函数)65(log )(221+-=x x x f 的单调递增区间为 ．14. 已知幂函数()()2242+1mm f x m x --=在()0,+∞上单调递减，则函数()f x 的解析式为 ． 15. 已知函数)cos()(ϕω+=x x f （2||,0πϕω≤>）的最小正周期为π，125π=x 为)(x f y = 图象的对称轴，则函数)(x f 在区间],0[π上零点的个数为 ．16. 已知0,0,k b >>且()ln 4kx b x +≥+对任意的4x >-恒成立，则b k 的最小值为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本题10分） 已知4sin 65x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，,36x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭． （1）求sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值；（2）求tan 12x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．18.（本题12分）已知函数21()cos cos 2222x x x f x =-+． （1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）设()y g x =图象与()y f x =图象关于直线4x π=对称，求[,0]2x π∈-时，()y g x =的值域．19. （本题12分）已知()12f x x x =-+-，()g x ax =()a R ∈．（1）当1a =时，解不等式()()f x g x >；（2）若()0,x ∀∈+∞时()()f x g x >恒成立，求实数a 的取值范围．20. （本题12分） 平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(1,1)P，其参数方程为1212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 极坐标方程为2cos 4cos 0ρθθρ+-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）已知曲线1C 和曲线2C 交于,A B 两点，求11||||PA PB +的值．21. （本题12分） 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,0，()1,0P 为C 内一点，过点P 的直线l 交椭圆C于A 、B 两点，AP PB λ=u u u r u u u r ，AP PB ≥u u u r u u u r ．O 为坐标原点，当0AB OP ⋅=u u u r u u u r 时，AB ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求实数λ的取值范围．22. （本题12分）设函数()2()33x f x e x ax a R =+-+∈． （1）当1a =时,求函数()f x 的单调区间；（2）(0,)x ∀∈+∞,()0f x ≥恒成立,求最大的正整数a 的值；（3）,(0,2)x y ∀∈且2x y +=，证明: 22(1)(1)(3)(1)(3)(1)0x y e x e y x x x y y y -+-+--+--≥．哈三中2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试数学（理）试卷答案第I 卷 （选择题， 共60分）一．选择题CCBAA,DDDCA,AB第Ⅱ卷 （非选择题， 共90分）二．填空题13.()∞-，2 14. 2()f x x -= 15. 2 16.3 三．解答题17. （1）725-； （2）17- 18. （1）每一个25[2,2],()33k k k Z ππππ++∈； （2）1[,1]219. （1）1x <或3x >； （2）12a <20. （1）1:20C x y +-=，22:4C y x =； （2 21. （1）2214x y +=； （2）[]1,3 22. （1）(,0)-∞单调递减，(0,)+∞单调递增；（2）易求6a e ≤+，所以a 的最大正整数值为8；（3）证明略.。
哈尔滨2019届高三上调研考试数学(理科)试卷含答案(2套).doc
5. C.- D. B. (-1/?)v(-.(?)函数/(x) = cos 2 x + V3sinx + ^- ( xe rr0尹的最大值为 D. A. 2 B. ^3 + — 4D. 若函数/（x ） = sinx + cosA ：在［-加，加］上是增函数，则加的最大值是3A. 71B. 是符合题目要求的）3 + 4z1已知'为虚数单位’则复数"步的虚部是2.已知角&的终边经过点P （3,-4）,则cosa =3.若 sin a =——,贝'J cos 2a =3已知命题〃：函数y = 2”的图象与函数y = log 2 x 的图象关于直线y = x 对称，命题「 1函数y =疋的图象与函数y =兀3的图象关于直线y = x 对称，则下列命题中为真命题的是 2018—2019学年度上学期高三学年第二次调研考试叙摩（理丿试卷考试说明： （1） 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分. 考试时1、可为120分钟；（2） 第I 卷，第II 卷试题答案均答在答题卡上，交卷时只交答题卡.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题: （本大题共12小题，每小题5分，共60分.C. D. 11 T4 A.——5 3 B.—— 5 C. D.2 A.-3 1 B- 一 3 C. D.4. 在每小题给出的四个选项中，只有一项7T7.将函数/(x) = sinx 的图象向右平移仝个单位长度，再把所得曲线上各点的横坐标缩短为原来的$纵坐标不变，所得图象的函数解析式为8.函数/(x)满足：对任意的实数兀都有/(% + 2) = -/(%),且/(1) = 一1,/(2) = -2, 则/(1) + /(2) + /⑶++/(20⑼的值为 9.如下图所示的程序框图输出的结果是A. C- "sin 』—竺 • 2 3 y - sin(2x--^-)B- y = sin(-x-—) 2 3■ 71 D. y - sin(2x ------- ) A. 1C. 2D- -2A. 2018B. -1010C. 1009D. -1009 | S=O,i=l10•函数/(x) = ln(x 2 + 2)-^-'的图象大致是11.已知定义在R 上的偶函数于(兀)在［0,+oo)是单调递增的，若不等式/(ox-4)</(x + 5)对任意“［1,2］恒成立，则实数a 的取值范围为 yO\ X 1 L • \ yX 1B. A. 3 11 3込 (ir 11 “ B. —00,—C. — JO < 2j 2 3D. -co,—— 29 1 1】2•若存在g 詔］,使得关于龙的不等式応卞+。
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2019届黑龙江省哈尔滨市高三二模考试数学（理）试
卷【含答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 已知复数，则（）
A. 的模为2
B. 的虚部为-1
C. 的实部为1
D. 的共轭复
数为
2. 已知集合，，则集合的子集个数为（）
A. 8
B. 7
C. 6
D. 4
3. 已知随机变量服从正态分布，，则
（）
A. 0.16
B. 0.32
C. 0.68
D. 0.84
4. 在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆
相交”发生的概率为（）
A. B. C. D.
5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．右图是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a、b 分别为5、2，则输出的 n 等于
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A. 10
B. 20
C. 40
D. 60
7. 已知，则（）
A. B. C. D.
8. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
称为狄利克雷函数，则关于函数有以下四个命题：
① ；
② 函数是偶函数；
③ 任意一个非零有理数，对任意恒成立；
④ 存在三个点，，，使得为等边三角形．
其中真命题的个数是（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
9. 对于常数，“关于的方程有两个正根” 是“方程
的曲线是椭圆” 的（）
A. 充分不必要条件________
B. 必要不充分条件
C. 充要条件________
D. 即不充分也不必要条件
10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为
，抛物线的准线交双曲线左支于两点，且，其中为原点，则双曲线的离心率为（）
A. 2
B.
C.
D.
11. 已知函数，与函数，若与的图象上分别存在点，使得关于直线对称，则实数的取值范围是（）． A. B. C. D.
二、填空题
12. 已知满足，若目标函数的最大值为，则
展开式的常数项为 __________ ．
13. 在中，分别是角的对边，已知，若
，则的取值范围是 __________ ．
14. 已知，则 __________ ．
15. 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对所有实数均成立，则称函数为“期望函数”，给出下列函数：
① ；② ；③ ；④ ；
其中为“期望函数”的是 __________ ．（写出所有正确的序号）
三、解答题
16. 设是数列的前项和，已知，，
.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和 .
17. 近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数
（，简称）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照大小分为六级，为优；为良；为轻度污染；
为中度污染；为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的的茎叶图如下：
（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（）的天数；（按这个月总共
30天计算）
（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；
（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为，求
的概率分布列和数学期望.
18. 如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，
，点为线段上任意一点（不含端点），点在线段上，且 .
（1）求证：直线平面；
（2）若为线段中点，求直线与平面所成的角的余弦值.
19. 已知圆与轴交于两点，点为圆上异于
的任意一点，圆在点处的切线与圆在点处的切线分别交于，直线和交于点，设点的轨迹为曲线 .
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点为，则曲线是否存在直角顶点为的内接等腰直角三角形，若存在，求出所有满足条件的的两条直角边所在直线的方程，若不存在，请说明理由.
20. 定义：设为上的可导函数，若为增函数，则称为
上的凸函数.
（1）判断函数与是否为凸函数；
（2）设为上的凸函数，求证：若，
，则恒有
成立；
（3）设，，，求证：
.
21. 圆锥曲线的极坐标方程为： .
（1）以极点为原点，极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程，并求曲线在直角坐标系下的焦点坐标以及在极坐标系下的焦点坐标；
（2）直线的极坐标方程为，若曲线上的点到直线的距
离最大，求点的坐标（直角坐标和极坐标均可）.
22. （1）已知对于任意非零实数和，不等式
恒成立，试求实数的取值范围；
（2）已知不等式的解集为，若，试比较与
的大小.（并说明理由）
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。