四川省中江县龙台中学高三数学上学期期中试题 理

四川省中江县龙台中学2017届高三数学上学期期中试题 理
（考试时间：120分钟，总分150）
一、
选择题（每小题5分，共60分）
1、已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{x |(x －1)(x ＋2)＜0}，则A ∩B ＝( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－1,0,1}
D ．{0,1,2}
2、设复数z 满足1＋z
1－z ＝i ，则|z |＝( )
A ．1 B. 2 C. 3
D ．2
3、若tan α＝2，则sin α－cos α
sin α＋cos α的值为( )
A ．－13
B ．－53
C ．13
D ．53
4、要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π
12个单位
B ．向右平移π
12个单位
C ．向左平移π
3
个单位
D ．向右平移π
3
个单位
5、在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2b cos C ，则此三角形一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
6、若|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3
D ．5π6
7、已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝99
2，则a 12的值是( )
A ．15 B.30 C.31 D ．64
8、各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且3S n ＝a n a n ＋1，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝( )
A.
n n ＋5
2
B.
n 5n ＋1
2
C.
3n n ＋1
2
D ．
n ＋3
n ＋5
2
9、函数()sin()(0,0)f x A x A ωθω=+>>的部分图象如 图所示，则()f x =（ ） A ．2sin(2)6x π
-
B ．2sin(2)3
x π
- C ． 2sin(4)3x π
+ D ．2sin(4)6
x π
+
10、 函数22)(2
3-++=cx bx x x f 的图象在与x 轴交点处的切线方程是105-=x y ，则b 、c 的值分别是( )
A 、 1,1==c b
B 、 1,1=-=c b
C 、0,1=-=c b
D 、0,1==c b
11、已知命题,01,:2
00≤+∈∃mx R x p 命题01,:2
>++∈∀mx x R x q ，若q p ∨为假命题，则实
数m 的取值范围是（ ）
22.≤≤-m A 22.≥-≤m m B 或 2.-≤m C 2.≥m D
12、已知函数()f x 的导函数为/()f x ，且满足/
()2()f x f x <，则（ ） A 2(2)(1)f e f > B ． 2
(0)(1)e f f > C ．9(ln 2)4(ln3)f f < D ． 2
(ln 2)4(1)e f f < 二、填空题（每小题4分，共16分）
13、)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝----------
14、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2
＋2n ＋1(n ∈N *
)，则a n ＝__________.
15、已知错误!未找到引用源。

是R 上的奇函数，错误!未找到引用源。

=2，且对任意错误!未找到引用源。

都有错误!未找到引用源。

成立，则错误!未找到引用源。

16、已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且
()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，
(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列()
{}()
f n
g n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为___________________
5π12
-
π3
2
O
y x
三、解答题（共74分）.17、(12分)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2
x
2.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值．
18、（12分）已知△ABC 的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．
(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；
(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π
3，求△ABC 的面积．
19、（12分）已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *
)，
b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1
n
b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)．
(1)求a n 与b n ；
(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .
20（12分）已知函数f (x )＝a ·b ＋1
2
，其中a ＝(3sin x －cos x,1)，b ＝(cos x,-1)．
(1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；
(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若sin(A ＋C )＝2sin A ，求a 、b 的值．
21、（13分）.设函数f (x )＝13x 3－a 2
x 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1.
(1)求实数b ，c 的值；
(2)若a >0，求函数f (x )的单调区间；
(3)设函数g (x )＝f (x )＋2x ，且g (x )在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a 的取值范围．
22. （13分）已知a >0，函数f (x )＝a 2x 3－ax 2
＋23
，g (x )＝－ax ＋1，x ∈R .
(1)当a ＝1时，求函数f (x )在点(1，f (1))的切线方程． (2)求函数f (x )在[－1,1]的极值．
(3)若在区间⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12上至少存在一个实数x 0，使f (x 0)>g (x 0)求正实数a 的取值范围． 、
第三月考参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
A
A
C
B
C
B
A
C
B
B
D
B
二、填空题
13、1
2 14、a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
4，n ＝12n ＋1，n ≥2
15、－2 16、 6
17解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x －3＝2sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3，
所以f (x )的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x ≤2π3，所以π3≤x ＋π
3≤π.
当x ＋π3＝π，即x ＝2π
3
时，f (x )取得最小值．
所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2π3＝－ 3.
18、(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，
即a ·a 2R ＝b ·b
2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，
∴a ＝b .
∴△ABC 为等腰三角形．
(2)解：由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .
由余弦定理可知，4＝a 2
＋b 2
－ab ＝(a ＋b )2
－3ab ， 即(ab )2
－3ab －4＝0， ∴ab ＝4(舍去ab ＝－1)，
∴S ＝12ab sin C ＝12×4×sin π
3
＝ 3.
19、解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *
)． 由题意知：
当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.
当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n
n .
所以b n ＝n (n ∈N *
)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n
，
因此T n ＝2＋2·22
＋3·23
＋…＋n ·2n
，
2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2
n ＋1
.
所以T n －2T n ＝2＋22
＋23
＋ (2)
－n ·2n ＋1
.
故T n ＝(n －1)2
n ＋1
＋2(n ∈N *
)．
20、解：(1)f (x )＝a ·b ＋12＝3sin x cos x －cos 2
x －1＋12
＝
32sin 2x －12(1＋cos 2x )－12＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x －π6－1
f (x )的最大值为0；最小正周期为π.
(2)f (C )＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2C －π6－1＝0，又－π6<2C －π6<11π6，解得C ＝π3
又∵sin(A ＋C )＝sin B ＝2sin A ，由正弦定理 a b ＝1
2
①
由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即a 2＋b 2
－ab ＝9②
由①②解得：a ＝3，b ＝2 3. 21、解：(1)f ′(x )＝x 2
－ax ＋b ，
由题意得⎩
⎪⎨
⎪⎧
f 0＝1，
f ′0＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
c ＝1，
b ＝0，
(2)由(1)，得f ′(x )＝x 2
－ax ＝x (x －a )(a >0)， 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0； 当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.
所以函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0]，[a ，＋∞)，单调递减区间为[0，a ]． (3)g ′(x )＝x 2
－ax ＋2，
依题意，存在x ∈(－2，－1)，使不等式g ′(x )＝x 2
－ax ＋2<0成立．
当x ∈(－2，－1)时，a <x ＋2
x
≤－22，
所以实数a 的取值范围是(－∞，－22)． 22、解：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－1，f (1)＝0， 所以f (x )在点(1，f (1))的切线方程是y ＝－x ＋1. (2)令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2
a
.
①当0<2
a
<1即a >2时
x (－1,0) 0
⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，2a 2
a
⎝ ⎛⎭
⎪⎫2a ，1
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )
极大值
极小值
故f (x )的极大值是23；极小值是2a －4
3a
；
②当2
a
≥1即0<a ≤2时f (x )在(－1,0)上递增，在(0,1)上递减，
所以f (x )的极大值为f (0)＝2
3
，无极小值．
(3)设F (x )＝f (x )－g (x )＝13a 2x 3－ax 2
＋ax －13，x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12.
对F (x )求导，得F ′(x )＝a 2x 2－2ax ＋a ＝a 2x 2
＋a (1－2x )，因为x ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，12，a >0，所以F ′(x )
＝a 2x 2
＋a (1－2x )>0，
F (x )在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上为增函数，则F (x )max ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12. 依题意，只需F (x )ma x >0，即13a 2×18－a ×14＋a ×12－1
3>0，
即a 2
＋6a －8>0，解得a >－3＋17或a <－3－17(舍去)． 所以正实数a 的取值范围是(－3＋17，＋∞)．。