法拉第、楞次定律的应用(一)教案

法拉第、楞次定律的应用（一）
一、【教学目标】
（1）用动力学和运动学的观点分析电磁感应现象．
（2）用能量转化和守恒的观点分析电磁感应现象．
（3）电磁感应现象中运用电学和力学知识综合分析问题．
二、【教学过程与典型例题】
1、导体棒在磁场中运动类问题
[例题1] 如图、光滑金属导轨竖直放置且足够长，电源电动势3V 、电源内阻与金属棒电阻相等。

当K 1闭合K 2打开时、棒恰好静止，当K 2闭合K 1
（1）棒在运动过程中的最大感应电动势是多大？（2）当棒的加速度为g/2时，
感应电动势是多大？
解析：断开K
1接通K 2时、棒在安培力和重力的作用下做加速度不断变小的
加速运动，设电源内阻与金属棒电阻均为R 。

当断开K 2接通K 1时棒静止、有： mg=BIL=B R
2ε
L 当断开K 1接通K 2达到稳定状态时、有： mg=BI ‘L=B
R 2ε'L 以上两式相比后得到ε‘=1/2ε=1.5V
在棒的加速度等于1/2g 时、金属棒的感应电动势为ε‘’，则有：mg-BI ’’L=ma 即mg-B R ε'
'L=ma
求出ε''=0.75V
[例题2]如图所示、磁场B 斜向上与水平光滑的轨道夹角为300、导棒质量为m 、有效长度为L 、电阻不计，外电阻为R 。

在水平方向的外力F 作用下
开始加速、当轨道对棒的支持力为0时、求导体棒的速度V=？
解析：本题主要是对导体棒受力分析、先根据右手定则判断感应电流的方
向、再由左手定则判断出安培力的方向。

在竖直方向上，当轨道对棒的支持力
为0时、导棒受到安培力在竖直向上的分量大小等于导棒受到的重力mg.。

即BILcos300=mg
又I=ε/R=BL Vsin300/R
求出V=mgR/(B 2L 2sin300cos300)
[例题3]两根相距为d 的平行放置的光滑导轨，倾角均为θ，轨道间接有电阻R ，处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为B 。

一质量为m 、电阻为R/4
的导体棒由静止开始沿轨道下滑，轨道足够长、轨道电阻不计，求棒所受到的重
力的最大功率？
解析：根据功率P=FVcos θ 当V 达到最大时、P 达到最大。

关键是求出导
体棒沿斜面下滑的最大速度。

对导体棒受力分析、当加速度为0时、速度达到最大。

BILcos θ=mgsin θ
I=ε/1.25R=BL Vcos θ/1.25R
由以上式子解出P MAX =5m 2g 2Rtan 2θ/(4B 2d 2)
点评：本题是考查导体棒在斜面轨道上的受力情况、关键是要能正确的受力分析。

2、两根导体棒在磁场中运动的问题
[例题4] 水平面上有两根足够长的光滑导轨，AB 、CD 两根导体棒有效长度均为L ，质量均为m 。

AB 棒原来静止，CD 棒以初速度V 0向右运动，求AB 棒的
最终速度？此过程系统产生的热量？
解析：CD 棒向右运动产生感应电流，AB 棒受到安培力由左手定则可知，AB
棒将向右加速运动，由于CD 棒受到安培力向左，CD 棒将做减速运动。

因为两棒中产生的感应电动势是反向的，随着两个棒速度差的减小，回路中产生的感应电流也减小，当两个棒的速度相等时，回路中感应电流为0，此后两个棒都将保持匀速运动。

根据题意解得：AB 棒的最终速度为V 0/2。

由能量守恒、系统损失的动能转化为热能。

所以此过程系统产生的热量为43m V 02 思考题：将上题中的导轨变成右图所示的形式，即在水平光滑导轨后面再增加一段宽度为1/2L 的导轨，此时CD 棒的质量改为1/2m ，其余条件不变，求这种情况下AB 、CD 两棒的最终速度分别为多少？此过程系统产生的热量？
[
[例题5] 如图，两金属棒AB 和CD 长均为L ，电阻均为R ，质量分别为M 和m ，且M>m 。

用两根质量和电阻均可以忽略的不可伸长的细导线将它们连接成闭合的电路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两金属棒都处于水平位置，整
个装置处在一个与回路平面相垂直的磁感应强度为B 的匀强磁场中，将AB 棒由静止释放后，求AB 棒的最终速度？
解析：AB 棒下降、CD 棒上升。

两棒中产生的感应电动势是相互加强的。

通过AB 棒的电流由A 向B ，安培力阻碍AB 棒下降；通过CD 棒的电流由D 向C ，安培力阻碍CD
棒上升，两棒速度大小相等。

随着两棒速度的增加，感应电流增大，安培力增加，AB 棒下降的加速度减小，CD 棒上升的加速度也减小。

当加速度等于0时，AB 棒将匀速下降。

据此，有：对AB 棒：2F 绳+F 安=Mg 对CD 棒：2F 绳=F 安+mg 又V AB =V CD ε =AB ε+
CD ε
所以F 安=BIL=B R BLV BLV CD AB 2+L= R V L B AB 22 综合以上各式，V AB =2
22)(L B gR m M - 3、线框穿越磁场类问题
[
例题6] 如图、由均匀电阻丝组成的正方形线圈从磁场
中拉出时，四种情况下速度都相等。

比较其中一条边ab 边两
端的电压何时最大？
解析：比较三种情况下均只有一条边切割磁力线、由ε
=BL V 可知，三种情况下线圈中产生的感应电动势均相等。

设线圈每一条边的电阻均为R 、则U ab 为路端电压。

在第一个图中、U ab =
41ε；在第二个图中、U ab =41ε；在第三个图中、U ab =4
3ε。

显然在第三种情况下、ab 边两端的电压最大。

[例题7]磁悬浮列车原理如图、正方形金属框的边长与两轨道的间距均为L=0.4m ，磁场B 1=B 2=1T ，磁场间距也为L=0.4m 。

磁场运动的速度为V=5m/s
向右。

金属框的电阻为R=2Ω。

求：
① 若金属框不受到阻力、金属框将向什么方向运动？
②若金属框受到阻力f=1N 、求其运动的最大速度？
解析：①根据相对运动的知识、结合右手定则先判断出金属框中的感应电流方向图示位置为逆时针方向。

再由左手定则可知、金属框受到的安培力方向向右。

所以金属框将向右加速。

由于金属框不受到阻力、金属框的最大速度达到V=5m/s 、与磁场最终相对静止。

② 当加速度为0时、即安培力等于阻力时、速度达到最大。

f=F=2BIL=4B 2L 2ΔV/R 、其中ΔV 为线框与轨
道的速度差。

求出此时最大V=1.875m/s.
[例题8] 在倾角为θ的光滑斜面上，有两个等大反向的匀强磁场均垂直于斜面，
磁场宽度均为L 。

当一个质量为m 、边长也为L 的正方形线圈以初速度V 0刚刚进入磁
场时恰好做匀速。

求：
（1）线圈的下面一条边边刚刚越过两磁场的中间边界时，线圈的加速度大小？方
向？
（2）线圈的下边刚刚到达下面的磁场的中点时，线圈刚好匀速，则从线圈刚进入磁场到下边刚刚到达下面的磁场的中点时一共产生的热量Q=？
解析：（1）由正方形线圈以初速度V 0刚刚进入磁场时恰好做匀速、结合受力分析。

可知、此时加速度为0。

即mgsin θ=F 安=BIL= R V L B 22 当线圈的下面一条边边刚刚越过两磁场的中间边界时，线圈的速度仍为 V 0、此时、由F=ma 所以有 a=m F 合=m mg BIL θsin 2-=m
mg R BLV B θsin 220-=3gsin θ向上。

(2)由受力分析可知、后来线框受到的合力为0，先求出匀速运动时的速度大小、显然速度小于V 0、
此过程由能量转化、线框减少的重力势能和动能变成系统增加的热量。

容易求出Q=3/2mgLsin θ+15/32mv 02.
同步练习：法拉第、楞次定律的应用（一）
1． 粗细均匀的电阻丝制成的长方形线框abcd 处于向里的磁场B 中，导体棒有电阻、从左端向右端匀速移动过程中：（ ）A 、棒中的电流先减小后增
大。

B 、棒两端的电压先增大后减小。

C 、作用在棒上的拉力的功率先
减小后增大。

D 、线框中消耗的电功率大小不变。

2． 如图、光滑的水平轨道间距为d 、左端接电阻R 、垂直纸面向里的磁场为B
导体棒的电阻为r 、与轨道成α角。

当棒沿垂直于棒的方向以V 求（1）电路中的电流I=？（2）电阻R 的热功率？（3）外力的功率？
3． 如图、光滑的水平轨道轨道间距为d=0.2m 、左端接电阻R=0.5Ω向里的磁场为B=0.5T 。

一质量m=0.1kg 的棒在外力作用下沿垂直于棒的方向以初速度V 0=2m/s 进入磁场、做匀变速运动，加速度大小为2m/s 2、方向
与初速度相反。

求：（1）电路中的电流I=0时、棒前进的位移？（2）电流
为最大值一半时、外力的大小和方向？（3）保持其他条件不变而V 0取不
同的数值，求开始时外力F 的方向与V 0的关系？
4． 光滑轨道倾角为θ、间距为L 、磁场为B 、外电阻为R 。

棒m 不计电阻从距
离底端S 处静止释放。

滑到底端前先加速再匀速，今用沿斜面向上的恒力F
将棒由底端静止开始推至距离底端S 处撤去外力F 。

求棒从底端出发又回到
底端的整个过程中、有多少电能通过电阻R 转化为热能Q ？
5． 如图、光滑金属导轨竖直放置且足够长，上端接一个电容C 。

导体棒长L ，
质量为m ，磁场B 与导轨平面垂直，棒由静止下滑。

求：（1）导体中的电流
强度？（2）导体棒下降的加速度？
6． 竖直的轨道宽L= 0.4m 。

只考虑R=1Ω、B=1T ，金属棒m=0.2kg ，以V 0=4m/s 向上抛出，棒始终保持水平状态运动、能上升的最大高度为h=0.5m 、求：（1）
此过程通过电阻的电量？（2）此过程经历的时间？
7． 如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一个水平面上，磁感应强度为B=0.5T 的匀强磁场与导轨所在平面垂直，设导轨的电阻很小，可忽略不计。

已知导轨
间的距离为L=0.20 米，两根质量均为m=0.10千克的平行金属杆甲、乙可在导
轨上无摩擦的滑动，每根金属杆的电阻均为R=0.50Ω。

在0时刻，两杆都处于静止状态。

现有一与导轨平行的大小为 0.20牛的恒力F 作用于甲，经过5秒，甲的加速度为1.37米/秒2，此时两金属杆的速度各为多少？
8． 如图，竖直放置的两个光滑金属导轨处于垂直向里的匀强磁场中，两根相同的金属棒AB 和CD 与导轨接触良好。

先释放CD 棒，隔一段时间后再释放AB 棒，若竖
直导轨足够长，则棒AB 和CD 的运动状态是：（ ）A 都是先加速运动、再匀速运
动。

B 都是先变加速运动、再匀加速运动。

C 都是先匀变速运动、再匀速运动。

D 都
是一直做匀加速运动。

9． 两棒的质量均为m ，左边的轨道宽度是右边的两倍，先固定左边的棒、给右边的棒初速度V 0、此过程系统产生的热量为Q ；若左边的棒不固定、给右边的棒初速度V 0、则此过程系统产生的热量为？
10． 线圈m 、电阻为R ，从距离地面H 高处下落。

途中穿过一个宽为L 的匀强磁场区域、磁场的下边界距离地面高h ，落地时速度为V 。

则：（ ）A 、若L 不变h
增加，且h+L<H,则V 一定增大。

B 、若h 不变L 增加，且h+L<H,则V 一定增
大。

C 、若同时将L 增加h 增加，且h+L<H,则V 一定减小。

D 、若同时将L 和
h 都减小，且h+L<H,则V 一定减小。

11． （05南通二模）水平光滑轨道相距L=1m 。

虚线范围内磁场B=0.2T 、磁场宽度S>L 。

边长为L 的正方形线圈m=0.2kg 、r=0.1Ω。

以初速度V 0向右
进入磁场。

求：（1）若线圈最终只能有一半面积离开磁场区域、求V 0=？ （2
若线圈的右边刚要离开磁场时、磁场以K=0.1T/S 的变化率均匀减小、为了保证线圈匀速离开磁场、应加一个水平外力。

求线圈有一半面积离开磁场区域时外力F=？
答案：
1． ABC
2． 略
3． （1）1m （2）防止漏解和错解。

0.18N 0.22N （3）V 0以10m/s 为临界。

答案略
4． 答案：FS-m 3g 2R 2sin 2θ/(2B 4L 4) 提示：全过程动能定理。

5． （1）略（2）mg/(m+B 2L 2C)
6． 答案：（1）q=n ΔΦ/R=0.2c. （2） 0.36秒。

7． 8.15 米/秒 1.85米/秒
8． B 分析：先释放CD 棒，回路中产生感应电流，根据左手定则，CD 棒受到的安培力方向与重力方向
相反，所以CD 棒下降的加速度小于g 。

释放AB 棒后，由于AB 棒受到的安培力与重力方向相同，所以AB 棒下降的加速度大于g ，即AB 棒下降的加速度大于CD 棒，也就是说AB 棒的速度比CD 棒的速度增加得快，随着两个棒速度差的减小，回路中产生的感应电流也减小（因为两棒中产生的感应电动势是反向的），导致AB 棒下降的加速度减小，CD 棒下降的加速度增加，当两个棒的速度相等时，回路中感应电流为0，此后两个棒下降的加速度都等于g 。

9． 答案：4/5Q
10． A 。

[提示：可以用极端分析法]
11． （1） 3m/s 。

（2）：0.3N 。