福建省2019年中考数学总复习限时训练06中考中级练一练习题20190109369

限时训练06 中考中级练(一)
限时：30分钟满分：26分
1．(4分)如图X6－1，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，点A在反比例函数y＝的图象上．若点B 在反比例函数y＝的图象上，则k的值为()
图X6－1
A．2 B．－2 C．4 D．－4
2．(4分)如图X6－2，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝a，点E，F分别是边AB，AD上的动点，且AE＋AF＝a，则线段EF长度的范围是．
图X6－2
3．(8分)如图X6－3，已知菱形ABCD，E是对角线BD上一点，用尺规在BD上确定一点F，使得∠CFD＝∠AEB，并说明理由．(保留作图痕迹，不写作法)
图X6－3
4．(10分)在数学活动中，我们已经学习了如果一个三角形两条边不相等，那么它们所对的角也不相等，大边所对的角较大，小边所对的角较小，简称“大边对大角，小边对小角”;反之，“大角对大边，小角对小边”也成立．如图X6－4，四边形ABCD内接于☉O，BD是☉O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE．
(1)求证：AE是☉O的切线;
(2)试利用“大角对大边，小角对小边”的结论，比较AE与DE的大小关系．
图X6－4
参考答案
1．D[解析] 过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为C，D，设点A的坐标是(m，n)，则AC＝n，OC＝m，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOC＋∠BOD＝90°．
又∵∠DBO＋∠BOD＝90°，
∴∠DBO＝∠AOC．
∵∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴△BDO∽△OCA，∴，
∵OB＝2OA，∴BD＝2m，OD＝2n，
∵点A在反比例函数y＝的图象上，∴mn＝1．
∵点B在反比例函数y＝的图象上，点B的坐标是(－2n，2m)，
∴k＝－2n·2m＝－4mn＝－4．故选D．
2．a≤EF≤a [解析] 连接AC，CE，CF，如图所示．
∵四边形ABCD是边长为a的菱形，∠B＝60°，
∴△ABC，△CAD都是边长为a的正三角形，
∴AB＝BC＝CD＝AC＝AD，∠CAE＝∠ACB＝∠ACD＝∠CDF＝60°．
∵AE＋AF＝a，
∴AE＝a－AF＝AD－AF＝DF．
在△ACE和△DCF中，
∴△ACE≌△DCF(SAS)，
∴CE＝CF，∠ACE＝∠DCF，
∴∠ACE＋∠ACF＝∠DCF＋∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△CEF是正三角形，∴EF＝CE＝CF．
又当动点E运动到点B或点A时，CE取得最大值，为a;
当CE⊥AB，即E为BA的中点时，CE取得最小值，为a．
∴a≤EF≤a．
3．解：作图如图所示．
理由：由作图得BE＝DF，
∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠CDF＝∠ABE．在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF，
∴∠CFD＝∠AEB．
4．解：(1)证明：连接AO，
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADB＝∠ADE．
∵OA＝OD，
∴∠ADB＝∠OAD，
∴∠ADE＝∠OAD．
∴OA∥ED．
又∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．
∴AE是☉O的切线．
(2)∵四边形ABCD内接于☉O，
∴∠ABC＋∠ADC＝180°．
又∠ADE＋∠ADC＝180°，
∴∠ADE＝∠ABC．
∵BD是直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ABD＋∠ADB＝90°，∠EAD＋∠ADE＝90°，∴∠ABD＝∠EAD．
∵∠ABC＞∠ABD，
∴∠ADE＞∠EAD．
∴AE＞DE．。