高中数学导数之变化率问题
高二数学变化率与导数知识点总结
高二数学变化率与导数知识点总结在高二数学学习中，变化率和导数是非常重要的概念。
它们是微积分的基础，也是我们理解函数变化规律和求解问题的重要工具。
下面是关于高二数学中变化率和导数的知识点总结。
1. 变化率的概念变化率是描述一个量相对于另一个量的变化程度的指标。
在数学中，我们通常用函数的导数来表示变化率。
对于函数y = f(x)，它的变化率可以用以下两种方式表示：- 平均变化率：平均变化率是函数在某个区间上的变化量与该区间长度的比值。
如果x的取值从a到b，对应的y的取值从f(a)到f(b)，则该区间上的平均变化率为：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)- 瞬时变化率：瞬时变化率是指在某一点上的瞬时变化速度。
如果函数在x点的导数存在，则该点的瞬时变化率为导数值，即：瞬时变化率 = f'(x)2. 导数的定义和性质导数是描述函数变化率的工具，它的定义如下：- 对于函数y = f(x)，如果函数在某一点x上的导数存在，那么导数表示函数在该点的瞬时变化率。
导数的定义如下： f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
导数具有以下几个重要的性质：- 导数存在的条件：函数在某一点x处的导数存在的充分必要条件是函数在该点的左导数和右导数存在且相等。
- 导数的几何意义：函数在某一点的导数等于函数曲线在该点切线的斜率。
切线的斜率可以用导数来表示。
- 导数与函数单调性的关系：如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该区间内单调递增；如果函数在某区间内的导数小于0，则函数在该区间内单调递减。
- 导数与函数极值的关系：如果函数在某一点的导数存在且为0，那么该点可能是函数的极值点。
3. 常见函数的导数- 幂函数导数：对于幂函数y = x^n，其中n为常数，它的导数为：dy/dx = n*x^(n-1)- 指数函数导数：对于指数函数y = a^x，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = a^x * ln(a)- 对数函数导数：对于对数函数y = log_a(x)，其中a为常数且大于0且不等于1，它的导数为：dy/dx = 1 / (x * ln(a))- 三角函数导数：对于三角函数sin(x)，cos(x)，tan(x)等，它们的导数可以通过基本导数公式来求解。
高中数学变化率问题 导数的概念(老师版)
1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为Δy.2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝limΔt →0ΔsΔt ＝lim Δt→s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx→0Δy＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0).思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx ＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝.答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴Δy Δx ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20. 题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →03Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3.即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →03(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0－(Δt )2－ΔtΔt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1.即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt→0Δs Δt ＝lim Δt →012g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋11＋Δx)＝2，从而y ′|x ＝1＝2. 反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx→0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2， ∴lim Δx→0ΔyΔx ＝－lim Δx →0Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h .错解 (1)lim Δx→f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝f ′(x 0).(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝12lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0).错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ). 正解 (1)lim Δx→0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－lim －Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝f ′(x 0).防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt→0ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B解析 v ＝Δs Δt ，而lim Δt →0ΔsΔt 则为t 时刻物体的瞬时速度.3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为. 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx→0Δy Δx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx→0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝A ，则f ′(x 0)＝.答案 13A解析 lim Δx→0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim 3Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A . 5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt →v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g .∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt . (3)求lim Δt →0ΔsΔt.3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx .(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9C.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B.3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx→f (1＋3Δx )－f (1)3Δx 等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx→f (1＋3Δx )－f (1)3Δx ＝f ′(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝.答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →011＋Δx －1Δx ＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是.答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为m/s.答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs ＝at 0＋12a Δt ，∴v ＝lim Δt →0Δs ＝at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s).三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1.13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大.解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin ΔxΔx.当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负.当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx .∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1，2sin(Δx －π4)＋1＜0，∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。
高中数学变化率问题导数的概念(老师版)(可编辑修改word版)
Δx1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率1. 平均变化率的概念f (x 2)－f (x 1)设函数 y ＝f (x )，x 1，x 2 是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子 x 2－x 1 表示，我们把这个式子称为函数 y ＝f (x )从 x 1 到 x 2 的平均变化率，习惯上用 Δx 表示 x 2－x 1，即 Δx ＝x 2－x 1，可把 Δx 看作是相对于 x 1 的一个“增 Δy 量”，可用 x 1＋Δx 代替 x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为 .Δx2. 求平均变化率求函数 y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下：(1) 求自变量的增量 Δx ＝x 2－x 1； (2) 求函数值的增量 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；Δy f (x 2)－f (x 1) f (x 1＋Δx )－f (x 1)(3) 求平均变化率Δx ＝ ＝ . x 2－x 1 Δx 思考 (1)如何正确理解 Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是 Δ 与 x 相乘，其值可取正值、负值，但 Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若 Δx ＝x 1－ x 2，则 Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是 Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，|Δy|越大，曲线 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然. 平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数 y ＝f (x )图象上有两点 A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))， f (x 2)－f (x 1) 则 x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s ＝s (t )描述，设 Δt 为时间改变量，在 t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是 Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量 Δs 与时间改变量 Δt Δs 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δt＝ s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻 t 0 的速度，即 t 0 时刻的瞬时速度，用 v 表示，物体在 t 0 时 刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0) s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt Δs 在Δt →0 时的极限，即v ＝Δli t →m 0 Δt＝ Δli t →m 0 Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率.思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于 0 时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在 x 0 点处变化的快慢；② Δy联系：当 Δx 趋于 0 时，平均变化率 趋于一个常数，这个常数即为函数在 x 0 处的瞬时变化率，它是一个固定值.Δx知识点三 导数的概念函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处的导数一般地，函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处的瞬时变化率是Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx，我们称它为函数 y ＝f (x )在 x ＝x 0 处 的导数，记作 f ′(x 0)或 y ′| x = x ，即 f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx . 思考 (1)函数 f (x )在 x 0 处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数 f (x )在 x 0 处导数的步骤是什么？Δy Δy答案 (1)函数 f (x )在 x 0 处可导，是指 Δx →0 时， 有极限，如果 不存在极限，就说函数在点 x 0 处无导数.Δx Δx (2)求解函数 f (x )在 x 0 处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)②求平均变化率： ＝ ；Δx Δx Δyf (x 0＋Δx )－f (x 0) ③取极限，得导数：f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0Δx .题型一 求平均变化率1例 1 求函数 y ＝f (x )＝2x 2＋3 在 x 0 到 x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当 x 0＝2，Δx ＝ 时该函数的平均变化率.2 解 当自变量从 x 0 变化到 x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0) [2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 02＋3) 4x 0Δx ＋2(Δx )2＝ ＝ ＝ ＝4x 0＋2Δx . Δx Δx 1 Δx Δx1当 x 0＝2，Δx ＝ 时，平均变化率的值为 4×2＋2× ＝9.2 2反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均 Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)变化率问题，即求 ＝ 的值.Δx ΔxΔy跟踪训练 1 (1)已知函数 y ＝f (x )＝2x 2－1 的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则 ＝ .ΔxΔx 0 ΔxΔxx答案 2Δx ＋4Δy解析 因为 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率 ＝2Δx ＋4.Δx 1(2)求函数 y ＝f (x )＝ 2在 x 0 到 x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0). Δx (2x 0＋Δx ) － 1 1 Δx (2x 0＋Δx ) Δy (x 0＋Δx )2x 202x 0＋Δx 解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝ 0 － ＝－ 02 ，∴ ＝ ＝－ 20 02.(x ＋Δx )2 x 题型二 实际问题中的瞬时速度(x 0＋Δx )2x Δx Δx (x 0＋Δx )2x 例 2 一作直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2) 求此物体在 t ＝2 时的瞬时速度； (3) 求 t ＝0 到 t ＝2 时的平均速度.s (Δt )－s (0) 3Δt －(Δt )2 解 (1)初速度 v 0＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt＝Δli t →m 0即物体的初速度为 3 m/s.(3－Δt )＝3. s (2＋Δt )－s (2) 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3 × 2－4)－(Δt )2－Δt (2) v 瞬＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 Δt ＝Δli t →m 0 (－Δt －1)＝－1. 即此物体在 t ＝2 时的瞬时速度为 1 m/s ，方向与初速度方向相反.s (2)－s (0) 6－4－0(3) v ＝＝ 2－02 ＝1.即 t ＝0 到 t ＝2 时的平均速度为 1 m/s. 反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于 0，指时间间隔 Δt 越来越小，但不能为 0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于 0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.1跟踪训练 2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为 s ＝ gt 2，其中 g 为重力加速度，g ≈9.8 米/平方秒(s2 的单位：米).(1) 求 t 从 3 秒到 3.1 秒、3.01 秒、3.001 秒、3.000 1 秒各段内的平均速度；(2)求 t ＝3 秒时的瞬时速度.1 1 解 (1)当 t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝ g ·3.12－ g ·32≈2.989(米).2 2Δs 2.989 v 1＝Δt≈0.1 ＝29.89(米/秒). 同理，当 t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当 t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当 t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).1 1 Δs s 3＋Δt －s 3g (3＋Δt )2－ g ·32( (2) Δt＝Δs ) ( ) 2＝ Δt 1 2 1 ＝ g (6＋Δt )， Δt 2 Δli t →m 0Δt ＝Δli t →m 0 g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以 t ＝3 秒时的瞬时速度约为 29.4 米/秒. 2 题型三 函数在某点处的导数 1例 3 求函数 y ＝x －x在 x ＝1 处的导数.＋ ＋ 2 2 2x因对导数的概念理解不到位致误11 ΔxΔxΔy Δx ＋ ＋ 1 解 Δy ＝(1＋Δx )－ －(1－ )＝Δx ＋ ， ＝1 Δx 1 1 Δx Δx1 ΔxΔx ＝1＋1＋Δx ，∴Δl x i →m 0 Δy＝Δl x i →m 0 1 (1＋ ＋ )＝2，从而 y ′|x ＝1＝2.Δx 1Δx 反思与感悟 求函数在 x ＝x 0 处的导数的步骤：(1) 求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；Δy f (x 0＋Δx )－f (x 0)(2) 求平均变化率，Δx ＝ Δx；Δy(3) 取极限，f ′(x 0)＝Δl x i →m 0 Δ .4跟踪训练 3 求函数 y ＝ 在 x ＝2 处的导数；x4 4 4(Δx )2＋4Δx Δy Δx ＋4 解 ∵Δy ＝ － ＝ －1＝－ ，∴ ＝－ ，(Δx ＋2)2 22 (Δx ＋2)2 (Δx ＋2)2 Δx (Δx ＋2)2∴Δl x i →m 0 Δy ＝－Δl x i →m 0 Δx ＋4 ＝－1.Δx (Δx ＋2)2例 4 设函数 f (x )在 x 0 处可导，且 f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. f (x 0－Δx )－f (x 0)(1) Δl x i →m 0 Δx；(2) l h i →m 0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h .错解 (1)Δl x i →m 0f (x 0－Δx )－f (x 0) Δx＝f ′(x 0). f (x 0＋h )－f (x 0－h ) 1 f (x 0＋h )－f (x 0－h ) 1(2)l h i →m 0 2h ＝ l h i →m 0 ＝ f ′(x 0). 错因分析 在导数的定义中，增量 Δx 的形式是多种多样的，但不论 Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1) 中 Δx 的改变量为 Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中 Δx 的改变量为 2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ).f (x 0－Δx )－f (x 0) f (x 0－Δx )－f (x 0) f (x 0－Δx )－f (x 0)正解 (1)Δl x i →m 0 Δx＝－Δl x i →m 0 －Δx ＝－－l Δim x →0 －Δx ＝－f ′(x 0). f (x 0＋h )－f (x 0－h ) f (x 0＋h )－f (x 0－h )(2)l h i →m 0 2h ＝2l h i →m 0 2h ＝f ′(x 0). 防范措施 自变量的改变量 Δx 的值为变后量与变前量之差.1. 在求解平均变化率时，自变量的变化量 Δx 应满足( )A. Δx ＞0B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 Ch1＋Δx －1 1＋Δx ＋1Δx 0，∴ ＝ Δy解析 因平均变化率为 ，故 Δx ≠0.Δx2. 沿直线运动的物体从时间 t 到 t ＋Δt 时，物体的位移为 Δs ，那么Δli t →m 0A. 从时间 t 到 t ＋Δt 时物体的平均速度B. t 时刻物体的瞬时速度C. 当时间为 Δt 时物体的速度D. 从时间 t 到 t ＋Δt 时位移的平均变化率答案 BΔsΔt为( )Δs 解析 v ＝Δt ，而Δli t →m 0ΔsΔt则为 t 时刻物体的瞬时速度. 3. 函数 f (x )＝ 1 答案2x 在 x ＝1 处的导数为.解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝ 1＋Δx －1，Δy 1∴ ＝ ＝ ， Δx Δx Δy 1 1∴f ′(1)＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0＝ . 2f (x 0＋3Δx )－f (x 0)4. 设 f (x )在 x 0 处可导，若Δl x i →m 01 Δx＝A ，则 f ′(x 0)＝ . 答案 3Af (x 0＋3Δx )－f (x 0) f (x 0＋3Δx )－f (x 0) 1解析 Δl x i →m 0 Δx ＝33Δli x m →03Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故 f ′(x 0)＝ A . 315. 以初速度为 v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为 s (t )＝v 0t － gt 2，求物体在 t 0 时刻的瞬时加速度.2解 ∵Δs ＝v (t ＋Δt ) 1 g (t ＋Δt )2－v t1gt 20＝(v －gt )Δt1 g (Δt )2Δs v －gt1 g Δt .0 0 － 0 2 Δs0 0＋ 2 0 0 － 2 ，∴ ＝ 0 0－ Δt 2当 Δt →0 时，Δt→v 0－gt 0.∴物体在 t 0 时刻的瞬时速度为 v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v －gt Δv Δt Δvv 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g . ∴当 Δt →0 时， Δt →－g .故物体在 t 0 时刻的瞬时加速度为－g .Δy1. 求平均变化率的步骤：(1)求 Δy ，Δx .(2)求 .Δx Δs 2. 求瞬时速度的一般步骤：(1)求 Δs 及 Δt .(2)求Δt . (3)求Δli t →m 0ΔsΔt .Δy3. 利用定义求函数 f (x )在 x ＝ x 0 处的导数： (1)求函数的改变量 Δy ＝ f (x 0＋ Δx )－ f (x 0).(2)求Δx.(3)y ′| x = x 0 ＝ Δl x i →m 0 1＋Δx ＋1f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s＝t2＋3，则在时间[3,3＋Δt]中，相应的平均速度等于( )9A.6＋ΔtB.6＋Δt＋ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 As(3＋Δt)－s(3)6Δt＋(Δt)2解析因为v＝＝Δt Δt＝6＋Δt.故选A.2.设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b 为常数)，则( )A.f′(x)＝aB.f′(x0)＝aC.f′(x)＝bD.f′(x0)＝b答案 Bf(x0＋Δx)－f(x0)aΔx＋b(Δx)2解析由导数定义得f′(x0)＝Δl x i→m0Δx ＝Δl x i→m0 Δx ＝a.故选B.3 如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 BΔy f(3)－f(1) 1－3解析＝Δx 3－1 ＝2＝－1.4.如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2) (s 的单位为m，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( )A.－4.8 m/sB.－0.88 m/sC.0.88 m/sD.4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2 处的导数，利用导数的定义即可求得.f(1＋3Δx)－f(1)5.设函数f(x)可导，则Δl x i→m01 3Δx等于( )A.f′(1)B.3f′(1)C. f′(1)D.f′(3)3答案 Af(1＋3Δx)－f(1)解析Δl x i→m03Δx ＝f′(1).x 1＋ΔxΔx －1 ＋3－ ＋3 ＝ －1＝ . 16. 一个质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s ＝ t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是()3 A.1 秒末 B.1 秒末和 2 秒末 C.4 秒末 D.2 秒末和 4 秒末答案 D解析 据导数的定义，得 s ′＝t 2－6t ＋8，令 s ′＝0，即 t 2－6t ＋8＝0. 解得 t ＝2 或 t ＝4，故速度为零的时刻为 2 秒末和 4 秒末. 二、填空题2 7. 已知函数 y ＝x＋3，当 x 由 2 变到 1.5 时，函数的增量 Δy ＝.1 答案3 (2 ) (2 )4 1 1.5 12 3 38.已知函数 f (x )＝ ，则 f ′(1)＝ .1答案 － 21 f (1＋Δx )－f (1)－1 1 解析 f ′(1)＝Δl x i →m 0Δx＝Δl x i →m 0 ＝Δl x i →m 0＝－ . 1＋Δx (1＋ 1＋Δx )29. 如图所示，函数 y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是.答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数 y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1) ，x 2－x 1f (x 3)－f (x 2) f (x 4)－f (x 3)， x 3－x 2x 4－x 3 ，结合图象可以发现函数 y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10. 子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是 a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为 1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s.答案 8001解析 运动方程为 s ＝ at 2. 2 ∵Δs ＝1a (t ＋Δt )2－1at 02＝at Δt ＋1a (Δt )2，∴Δs ＝at ＋1a Δt ，∴v ＝ lim Δs ＝at .2 0 2 0 2 Δt0 2 Δt →0 Δt 0 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s). 三、解答题11. 求函数 y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在 x ＝3 处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝Δy 2(Δx)2＋16Δx Δy∴＝＝2Δx＋16.∴y′|x＝3＝Δl x i→m0＝Δl x i→m0(2Δx＋16)＝16.Δx Δx Δx12.若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a 的值.解∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.f(1＋Δx)－f(1)a(Δx)2＋2aΔx∴f′(1)＝Δl x i→m0Δx ＝Δl x i→m0 Δx ＝Δl x i→m0π(aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，∴a＝1.13.试比较正弦函数y＝sin x 在x＝0 和x＝2附近的平均变化率哪一个大.sin Δx－sin 0 sin Δx解当自变量从0 变到Δx 时，函数的平均变化率为k1＝Δx ＝Δx.ππππsin(2＋Δx)－sin2cos Δx－1当自变量从2变到Δx＋2时，函数的平均变化率为k2＝Δx＝Δx.π由于是在x＝0 和x＝2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负. 当Δx＞0 时，k1＞0，k2＜0，此时有k1＞k2.sin Δx cos Δx－1 sin Δx－cos Δx＋1πsin(Δx－4)＋1当Δx＜0 时，k1－k2＝Δx－ππ＝Δx Δxπ2＝Δx.π∵Δx＜0，∴Δx－4＜－4，∴sin(Δx－4)＜－2，从而有2sin(Δx－4)＜－1，2sin(Δx π1＜0，∴k －k ＞0，即k ＞k .4) 1 2 1 2π综上可知，正弦函数y＝sin x 在x＝0 附近的平均变化率大于在x＝2附近的平均变化率.－＋2。
高中数学第三章导数及其应用3.1.1变化率问题3.1.2导数的概念新人教A版选修
探究2：根据函数的瞬时变化率与在某点处导数的定 义，回答下列问题：
(1)瞬时变化率与平均变化率的关系是什么？它们的 物理意义分别是什么？
提示 瞬时变化率是平均变化率在Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的值；瞬时变化率的物理意义是指物体运 动的瞬时速度，平均变化率的物理意义是指物体运动的平 均速度．
(2)瞬时变化率与函数在某点处导数的关系是什么？ 提示 函数在某点处的瞬时变化率就是函数在此点 处的导数．
课堂探究案·核心素养提升
题型一 求函数的平均变化率
例1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的
平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的 值．
【自主解答】 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0
【答案】
1 (1)2
(2)见自主解答
●规律总结
1.求函数y=f(x)在点x0处的导数的三个步骤
2．瞬时变化率的几种变形形式
f（x0＋Δx）－f（x0） Δx
2×12＝5.
题型二 求函数在某点处的导数
例2 (1)函数 y＝ x在 x＝1 处的导数为________．
(2)如果一个质点由定点 A 开始运动，在时间 t 的位 移函数为 y＝f(t)＝t3＋3，
①当 t1＝4，Δt＝0.01 时，求Δy 和比值ΔΔyt； ②求 t1＝4 时的导数．
【自主解答】 (1)Δy＝ 1＋Δx－1， ΔΔxy＝ 1＋ΔΔxx－1＝ 1＋Δ1 x＋1，
＋
Δ
x]
上
的
平
均
变
化
率
为
f（x0＋Δx）－f（x0） （x0＋Δx）－x0
＝
[3（x0＋Δx）2＋2]－（3x20＋2） Δx
版高考数学一轮总复习导数应用于函数的平均变化率与微分问题
版高考数学一轮总复习导数应用于函数的平均变化率与微分问题导数是数学中一个重要的概念，在函数研究和应用中有着广泛的应用。
在高考数学中，导数的应用题也是考察的重点之一。
本文将探讨导数应用于函数的平均变化率与微分问题，并为读者提供清晰有效的解题思路。
一、导数与函数的平均变化率对于一个函数f(x)，在某一区间[a,b]上的平均变化率可以用函数值的差值除以自变量的差值来表示。
即：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)然而，当区间[a,b]趋于0时，平均变化率的准确性变得有限。
这时，我们可以引入导数的概念，用导数来刻画函数的变化率。
导数的定义如下：导数= lim (x→a) [(f(x) - f(a)) / (x - a)]导数表示了函数在某一点处的瞬时变化率，也可以理解为切线的斜率。
通过求导数，我们可以计算函数在任意一点的变化率。
二、导数应用于函数的平均变化率问题在实际问题中，有时需要计算函数在某一区间内的平均变化率。
这时，我们可以利用导数的性质来求解。
首先，我们需要通过求导得到函数的导函数。
然后，利用导函数来计算函数在区间内的平均变化率。
举个例子来说明。
假设有一辆汽车以函数f(t)的速度行驶，其中t为时间，f(t)为汽车的速度。
我们需要计算汽车在区间[t1, t2]内的平均速度。
解决这个问题的步骤如下：1. 求函数f(t)的导函数f'(t)，表示汽车的加速度。
2. 计算区间[t1, t2]内的平均加速度，即 (f(t2) - f(t1)) / (t2 - t1)。
这个值就是汽车在该区间内的平均速度。
通过这一方法，我们可以应用导数来解决涉及平均变化率的实际问题。
三、导数与微分问题除了应用于平均变化率的计算，导数在微积分中还有许多其他的应用，尤其在极值问题中发挥着重要作用。
下面以求解函数的极值为例，介绍导数在微分问题中的应用。
假设我们需要求解函数f(x)在区间[a, b]上的极大值或极小值。
高中数学变化率问题、导数精选题目(附答案)
高中数学变化率问题、导数精选题目（附答案）(1)函数的平均变化率对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子f(x2)－f(x1)x2－x1称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝x2－x1，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝f(x2)－f(x1)．于是，平均变化率可表示为Δy Δx.(2)瞬时速度①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．②若物体运动的路程与时间的关系式是S＝f(t)，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率f(t0＋Δt)－f(t0)Δt趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度．(3)导数的定义一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是：lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(4)导数的几何意义函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)＝limΔx→0 f(x0＋Δx)－f(x0)Δx.(5)导函数从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′.即f′(x)＝y′＝lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x)Δx.1．已知函数f (x )＝3x 2＋5，求f (x )： (1)从0.1到0.2的平均变化率； (2)在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率．2．已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．3．若一物体的运动方程为S ＝⎩⎨⎧29＋3(t －3)2，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3，(路程单位：m ，时间单位：S )．求：(1)物体在t ＝3 S 到t ＝5 S 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 S 时的瞬时速度．求瞬时速度的步骤(1)求物体运动路程与时间的关系S ＝S (t )；(2)求时间改变量Δt ，位移改变量ΔS ＝S (t 0＋Δt )－S (t 0)； (3)求平均速度Δs Δt； (4)求瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt. 4．一质点按规律S (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：S )，若该质点在t ＝2 S 时的瞬时速度为8 m/S ，求常数a 的值．[思考] 任何一个函数在定义域中的某点处均有导数吗？函数f (x )＝|x |在x ＝0处是否存在导数？解：不一定，f (x )＝|x |在x ＝0处不存在导数．因为Δy Δx ＝f (0＋Δx )－f (0)Δx ＝|Δx |Δx ＝⎩⎨⎧1，Δx >0，－1，Δx <0，所以当Δx →0时，Δy Δx 的极限不存在，从而在x ＝0处的导数不存在．5．利用导数的定义求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数．求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．6．利用导数的定义求函数f(x)＝－x2＋3x在x＝2处的导数．7．已知曲线y＝x2，(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程．利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程．8．已知曲线y＝2x2－7，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程．9．若曲线y＝x3－3x2＋1在点P处的切线平行于直线y＝9x－1，求P点坐标及切线方程．10．已知抛物线y＝2x2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x－y－2＝0?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x＋8y－3＝0?11．(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的()(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()12．如图，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的()参考答案：1.解：(1)因为f(x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f(x0＋Δx)－f(x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为6x0Δx＋3(Δx)2Δx＝6x0＋3Δx.(1)求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1.(2)求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．2.解：自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为f(2)－f(1) 2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为f(5)－f(3)5－3＝5＋15－⎝⎛⎭⎪⎫3＋132＝14 15.因为12<14 15，所以函数f(x)＝x＋1x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快．3.[尝试解答](1)因为ΔS＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以物体在t＝3 S到t＝5 S这段时间内的平均速度为ΔsΔt＝482＝24(m/S)．(2)因为ΔS＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－12Δt，所以Δs Δt＝3(Δt)2－12ΔtΔt＝3Δt－12，则物体在t＝1 S时的瞬时速度为S′(1)＝limΔx→0ΔsΔt＝limΔx→0(3Δt－12)＝－12(m/S)．4.解：因为ΔS＝S(2＋Δt)－S(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故在t ＝2S 时，瞬时速度为S ′(2)＝lim Δx →0 Δs Δt＝4a (m/S )． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.5.解： Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1)＝3(Δx )2＋4Δx ， ∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4ΔxΔx ＝3Δx ＋4，∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δt →0(3Δx ＋4)＝4. 6.解：由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx ＝li m Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 7.解： (1)设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝lim Δx →0 x 20＋2x 0·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx＝2x 0， ∴y ′|x ＝1＝2.∴曲线在点P (1,1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即y ＝2x －1.(2)点P (3,5)不在曲线y ＝x 2上，设切点为(x 0，y 0)， 由(1)知，y ′|x ＝x 0＝2x 0， ∴切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，由P (3,5)在所求直线上得5－y 0＝2x 0(3－x 0)，① 再由A (x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上得y 0＝x 20，② 联立①，②得x 0＝1或x 0＝5.从而切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2， 此时切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1， 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10， 此时切线方程为y －25＝10(x －5)，即y ＝10x －25.综上所述，过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y ＝2x －1或y ＝10x－25.8.解：y′＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0[2(x＋Δx)2－7]－(2x2－7)Δx＝limΔx→0(4x＋2Δx)＝4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x0＝4，x0＝1，y0＝－5，∴切点坐标为(1，－5)．(2)由于点P(3,9)不在曲线上．设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k＝4x0，故所求的切线方程为y－y0＝4x0(x－x0)．将P(3,9)及y0＝2x20－7代入上式，得9－(2x20－7)＝4x0(3－x0)．解得x0＝2或x0＝4，所以切点为(2,1)或(4,25)．从而所求切线方程为8x－y－15＝0或16x－y－39＝0.9.解：设P点坐标为(x0，y0)，Δy Δx＝f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝(x0＋Δx)3－3(x0＋Δx)2＋1－x30＋3x20－1Δx＝(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0.所以f′(x0)＝limΔx→0[(Δx)2＋3x0Δx－3Δx＋3x20－6x0]＝3x20－6x0，于是3x20－6x0＝9，解得x0＝3或x0＝－1，因此，点P的坐标为(3,1)或(－1，－3)．又切线斜率为9，所以曲线在点P处的切线方程为y＝9(x－3)＋1或y＝9(x ＋1)－3，即y＝9x－26或y＝9x＋6.10.解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋Δx)2＋1－2x20－1＝4x0·Δx＋2(Δx)2.∴ΔyΔx＝4x0＋2Δx.当Δx无限趋近于零时，ΔyΔx无限趋近于4x0.即f′(x0)＝4x0.(1)∵抛物线的切线平行于直线4x－y－2＝0，∴斜率为4，即f′(x0)＝4x0＝4，得x0＝1，该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x＋8y－3＝0垂直，∴斜率为8，即f′(x0)＝4x0＝8，得x0＝2，该点为(2,9).11.解：(1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线斜率随x增大而变大，因此应选A.(2)从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.12.解析：选D函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．。
高中数学导数应用于函数的图像和变化率分析
高中数学导数应用于函数的图像和变化率分析导数是高中数学中的重要概念，它不仅可以帮助我们研究函数的图像，还可以用来分析函数的变化率。
在本文中，我将通过具体的题目举例，说明导数在函数图像和变化率分析中的应用，并给出一些解题技巧和使用指导。
首先，我们来看一个典型的题目：已知函数$f(x)=x^2$，求$f(x)$在$x=2$处的导数。
解析：要求函数$f(x)$在$x=2$处的导数，我们可以直接使用导数的定义进行计算。
根据导数的定义，导数等于函数在该点的斜率，即$f'(x)=\lim_{\Delta x \to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$。
将函数$f(x)=x^2$代入上式，得到$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}$。
化简后可得$f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+(\Deltax)^2}{\Delta x}$，再进一步化简得$f'(x)=2x$。
所以，函数$f(x)=x^2$在$x=2$处的导数为$f'(2)=2\times2=4$。
通过这道题目，我们可以看到导数的计算过程，以及导数与函数图像之间的关系。
导数表示了函数在某一点的变化率，对于函数$f(x)=x^2$来说，它的导数$f'(x)=2x$表示了函数在任意一点的斜率。
在$x=2$处，导数$f'(2)=4$表示了函数在该点的切线斜率为4，也就是说函数图像在$x=2$处的切线斜率为4。
接下来，我们来看一个应用题：已知函数$f(x)=x^3$，求$f(x)$在$x=1$处的导数和函数图像在该点的切线方程。
解析：要求函数$f(x)$在$x=1$处的导数，我们可以直接使用导数的定义进行计算，得到$f'(x)=3x^2$。
二次函数的导数与变化率解析
二次函数的导数与变化率解析二次函数是高中数学中的重要内容，在数学建模和实际问题求解中具有广泛应用。
其中，二次函数的导数与变化率是解析二次函数性质的关键。
一、二次函数的定义与基本性质二次函数的定义表达式为：\[f(x)=ax^2+bx+c\]其中a、b、c分别为实数，且\(a\neq0\)。
下面对二次函数的基本性质进行讨论：1. 首先，二次函数的图像为抛物线，开口方向由二次项系数a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 其次，二次函数的顶点坐标可通过求导数求得。
函数的导数为：\[f'(x)=2ax+b\]二次函数的顶点横坐标为\(-\frac{b}{2a}\)，纵坐标为\(f\left(-\frac{b}{2a}\right)\)。
3. 最后，二次函数的图像关于顶点对称，即对于顶点坐标为\(\left(-\frac{b}{2a},f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\)，若点\((x_0,y_0)\)在图像上，则对称点\(\left(2\left(-\frac{b}{2a}\right)-x_0,2f\left(-\frac{b}{2a}\right)-y_0\right)\)也在图像上。
二、二次函数的导数与变化率解析根据二次函数的导数表达式\(f'(x)=2ax+b\)，我们可以得出以下结论：1. 当a>0时，导数为正，说明函数递增；当a<0时，导数为负，说明函数递减。
导数为0时，函数取得极值。
2. 导数的零点即为函数的驻点，对应了函数图像的顶点。
根据驻点的横坐标的正负，可以判断函数的凹凸性。
3. 导数的绝对值表示了函数的变化速率。
在二次函数中，可以根据导数的正负来判断函数的增减性。
若导数恒大于0，则函数是递增的；若导数恒小于0，则函数是递减的。
4. 对于二次函数，导数的二次项系数2a的绝对值表示了函数的曲率。
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
(完整版)高中数学变化率问题导数的概念(老师版)
1.1.1 变化率问题1.1.2 导数的概念[学习目标] 1.理解函数平均变化率、瞬时变化率的概念.2.掌握函数平均变化率的求法.3.掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数.知识点一 函数的平均变化率 1.平均变化率的概念设函数y ＝f (x )，x 1，x 2是其定义域内不同的两个点，那么函数的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1).于是，平均变化率可以表示为ΔyΔx .2.求平均变化率求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]上平均变化率的步骤如下： (1)求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； (2)求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)；(3)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx .思考 (1)如何正确理解Δx ，Δy? (2)平均变化率的几何意义是什么？答案 (1)Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘，其值可取正值、负值，但Δx ≠0；Δy 也是一个整体符号，若Δx ＝x 1－x 2，则Δy ＝f (x 1)－f (x 2)，而不是Δy ＝f (x 2)－f (x 1)，Δy 可为正数、负数，亦可取零. (2)如图所示：y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率是曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”，⎪⎪⎪⎪Δy Δx 越大，曲线y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]上越“陡峭”，反之亦然.平均变化率的几何意义是函数曲线上过两点的割线的斜率，若函数y ＝f (x )图象上有两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，则f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝k AB .知识点二 瞬时速度与瞬时变化率把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数s ＝s (t )描述，设Δt 为时间改变量，在t 0＋Δt 这段时间内，物体的位移(即位置)改变量是Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)，那么位移改变量Δs 与时间改变量Δt 的比就是这段时间内物体的平均速度v ，即v ＝Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt.物理学里，我们学习过非匀速直线运动的物体在某一时刻t 0的速度，即t 0时刻的瞬时速度，用v 表示，物体在t 0时刻的瞬时速度v 就是运动物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均变化率s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 在Δt →0时的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0 s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .瞬时速度就是位移函数对时间的瞬时变化率. 思考 (1)瞬时变化率的实质是什么？ (2)平均速度与瞬时速度的区别与联系是什么？答案 (1)其实质是当平均变化率中自变量的改变量趋于0时的值，它是刻画函数值在某处变化的快慢.(2)①区别：平均变化率刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在x 0点处变化的快慢；②联系：当Δx 趋于0时，平均变化率ΔyΔx 趋于一个常数，这个常数即为函数在x 0处的瞬时变化率，它是一个固定值.知识点三 导数的概念 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x =，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. 思考 (1)函数f (x )在x 0处的导数满足什么条件时存在？ (2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤是什么？答案 (1)函数f (x )在x 0处可导，是指Δx →0时，Δy Δx 有极限，如果ΔyΔx 不存在极限，就说函数在点x 0处无导数.(2)求解函数f (x )在x 0处导数的步骤如下： ①求函数值的增量：Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； ②求平均变化率：Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；③取极限，得导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.题型一 求平均变化率例1 求函数y ＝f (x )＝2x 2＋3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝12时该函数的平均变化率.解 当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[2(x 0＋Δx )2＋3]－(2x 20＋3)Δx ＝4x 0Δx ＋2(Δx )2Δx＝4x 0＋2Δx . 当x 0＝2，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×2＋2×12＝9.反思与感悟 平均变化率是函数值的增量与相应自变量的增量的比值，所以求函数在给定区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率问题，即求Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的值.跟踪训练1 (1)已知函数y ＝f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝ .答案 2Δx ＋4解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以平均变化率ΔyΔx ＝2Δx ＋4.(2)求函数y ＝f (x )＝1x2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率(x 0≠0).解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝1(x 0＋Δx )2－1x 20＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20，∴ΔyΔx ＝－Δx (2x 0＋Δx )(x 0＋Δx )2x 20Δx ＝－2x 0＋Δx (x 0＋Δx )2x 20.题型二 实际问题中的瞬时速度例2 一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移单位：m ，时间单位：s). (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度.解 (1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt ＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3. 即物体的初速度为3 m/s.(2)v 瞬＝lim Δt →0 s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt ＝lim Δt →0 －(Δt )2－Δt Δt ＝lim Δt →0 (－Δt －1)＝－1. 即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度方向相反. (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1.即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.反思与感悟 作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，Δt 趋近于0，指时间间隔Δt 越来越小，但不能为0，Δt ，Δs 在变化中都趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数.跟踪训练2 已知一物体作自由落体运动，下落的高度的表达式为s ＝12gt 2，其中g 为重力加速度，g ≈9.8米/平方秒(s 的单位：米).(1)求t 从3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.000 1秒各段内的平均速度； (2)求t ＝3秒时的瞬时速度.解 (1)当t 在区间[3,3.1]上时，Δt ＝3.1－3＝0.1(秒)，Δs ＝s (3.1)－s (3)＝12g ·3.12－12g ·32≈2.989(米).v 1＝Δs Δt ≈2.9890.1＝29.89(米/秒). 同理，当t 在区间[3,3.01]上时，v 2≈29.449(米/秒)，当t 在区间[3,3.001]上时，v 3≈29.404 9(米/秒)，当t 在区间[3,3.000 1]上时，v 4≈29.400 49(米/秒).(2)Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝12g (3＋Δt )2－12g ·32Δt ＝12g (6＋Δt )， lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0 12g (6＋Δt )＝3g ≈29.4(米/秒).所以t ＝3秒时的瞬时速度约为29.4米/秒. 题型三 函数在某点处的导数例3 求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数.解 Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －(1－11)＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx ，∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 (1＋11＋Δx)＝2，从而y ′|x ＝1＝2. 反思与感悟 求函数在x ＝x 0处的导数的步骤： (1)求函数值的增量，Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率，Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练3 求函数y ＝4x2在x ＝2处的导数；解 ∵Δy ＝4(Δx ＋2)2－422＝4(Δx ＋2)2－1＝－(Δx )2＋4Δx (Δx ＋2)2，∴ΔyΔx ＝－Δx ＋4(Δx ＋2)2，∴lim Δx →0 ΔyΔx＝－lim Δx →0 Δx ＋4(Δx ＋2)2＝－1.因对导数的概念理解不到位致误例4 设函数f (x )在x 0处可导，且f ′(x 0)已知，求下列各式的极限值. (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ；(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h.错解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f ′(x 0).(2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝12lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )h ＝12f ′(x 0).错因分析 在导数的定义中，增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式.如(1)中Δx 的改变量为Δx ＝x 0－(x 0－Δx )，(2)中Δx 的改变量为2h ＝(x 0＋h )－(x 0－h ). 正解 (1)lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝－lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－lim －Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx＝－f ′(x 0). (2)lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h ＝lim 2h →0 f (x 0＋h )－f (x 0－h )2h＝f ′(x 0). 防范措施 自变量的改变量Δx 的值为变后量与变前量之差.1.在求解平均变化率时，自变量的变化量Δx 应满足( ) A.Δx ＞0 B.Δx ＜0C.Δx ≠0D.Δx 可为任意实数答案 C解析 因平均变化率为ΔyΔx，故Δx ≠0.2.沿直线运动的物体从时间t 到t ＋Δt 时，物体的位移为Δs ，那么lim Δt →0 ΔsΔt为( ) A.从时间t 到t ＋Δt 时物体的平均速度 B.t 时刻物体的瞬时速度 C.当时间为Δt 时物体的速度D.从时间t 到t ＋Δt 时位移的平均变化率 答案 B解析 v ＝Δs Δt ，而lim Δt →0 Δs Δt 则为t 时刻物体的瞬时速度. 3.函数f (x )＝x 在x ＝1处的导数为 . 答案 12解析 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝1＋Δx －1， ∴Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， ∴f ′(1)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →011＋Δx ＋1＝12.4.设f (x )在x 0处可导，若lim Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx＝A ，则f ′(x 0)＝ .答案 13A解析 lim Δx →0f (x 0＋3Δx )－f (x 0)Δx ＝3lim 3Δx →0 f (x 0＋3Δx )－f (x 0)3Δx ＝3f ′(x 0)＝A .故f ′(x 0)＝13A . 5.以初速度为v 0(v 0＞0)作竖直上抛运动的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在t 0时刻的瞬时加速度.解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－v 0t 0＋12gt 20＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt . 当Δt →0时，ΔsΔt →v 0－gt 0.∴物体在t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.由此，类似地可得到物体运动的速度函数为 v (t )＝v 0－gt ，∴Δv Δt ＝v 0－g (t 0＋Δt )－(v 0－gt 0)Δt ＝－g .∴当Δt →0时，ΔvΔt→－g .故物体在t 0时刻的瞬时加速度为－g .1.求平均变化率的步骤：(1)求Δy ，Δx .(2)求ΔyΔx.2.求瞬时速度的一般步骤：(1)求Δs 及Δt .(2)求Δs Δt. (3)求lim Δt →0 ΔsΔt .3.利用定义求函数f (x )在x ＝x 0处的导数：(1)求函数的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0).(2)求ΔyΔx.(3)y ′|0x x =＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.一、选择题1.质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A.6＋Δt B.6＋Δt ＋9ΔtC.3＋ΔtD.9＋Δt答案 A解析 因为v ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt ＝6Δt ＋(Δt )2Δt＝6＋Δt .故选A.2.设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( ) A.f ′(x )＝a B.f ′(x 0)＝a C.f ′(x )＝b D.f ′(x 0)＝b 答案 B解析 由导数定义得f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 a Δx ＋b (Δx )2Δx ＝a .故选B. 3如图，函数y ＝f (x )在A ，B 两点间的平均变化率是( )A.1B.－1C.2D.－2答案 B 解析Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1. 4.如果某物体的运动方程为s ＝2(1－t 2) (s 的单位为m ，t 的单位为s)，那么其在1.2 s 末的瞬时速度为( ) A.－4.8 m/s B.－0.88 m/s C.0.88 m/s D.4.8 m/s答案 A解析 物体运动在1.2 s 末的瞬时速度即为s 在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得. 5.设函数f (x )可导，则lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx等于( )A.f ′(1)B.3f ′(1)C.13f ′(1) D.f ′(3)答案 A解析 lim Δx →0f (1＋3Δx )－f (1)3Δx＝f ′(1).6.一个质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－3t 2＋8t ，那么速度为零的时刻是( )A.1秒末B.1秒末和2秒末C.4秒末D.2秒末和4秒末答案 D解析 据导数的定义，得s ′＝t 2－6t ＋8，令s ′＝0，即t 2－6t ＋8＝0. 解得t ＝2或t ＝4，故速度为零的时刻为2秒末和4秒末. 二、填空题7.已知函数y ＝2x ＋3，当x 由2变到1.5时，函数的增量Δy ＝ .答案 13解析 Δy ＝f (1.5)－f (2)＝⎝⎛⎭⎫21.5＋3－⎝⎛⎭⎫22＋3＝43－1＝13. 8.已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝ . 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0 －11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.9.如图所示，函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是 .答案 [x 3，x 4]解析 由平均变化率的定义可知，函数y ＝f (x )在区间[x 1，x 2]，[x 2，x 3]，[x 3，x 4]上的平均变化率分别为：f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，f (x 3)－f (x 2)x 3－x 2，f (x 4)－f (x 3)x 4－x 3，结合图象可以发现函数y ＝f (x )的平均变化率最大的一个区间是[x 3，x 4].10.子弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动.如果它的加速度是a ＝5×105 m/s 2，子弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3 s ，则子弹射出枪口时的瞬时速度为 m/s. 答案 800解析 运动方程为s ＝12at 2.∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴v ＝lim Δt →0 Δs Δt ＝at 0. 又∵a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3 s ，∴v ＝at 0＝8×102＝800(m/s). 三、解答题11.求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数.解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ， ∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16.∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 (2Δx ＋16)＝16. 12.若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值. 解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c ＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx ＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，即2a ＝2，∴a ＝1. 13.试比较正弦函数y ＝sin x 在x ＝0和x ＝π2附近的平均变化率哪一个大.解 当自变量从0变到Δx 时，函数的平均变化率为k 1＝sin Δx －sin 0Δx ＝sin ΔxΔx.当自变量从π2变到Δx ＋π2时，函数的平均变化率为k 2＝sin (π2＋Δx )－sin π2Δx ＝cos Δx －1Δx .由于是在x ＝0和x ＝π2的附近的平均变化率，可知Δx 较小，但Δx 既可化为正，又可化为负.当Δx ＞0时，k 1＞0，k 2＜0，此时有k 1＞k 2.当Δx ＜0时，k 1－k 2＝sin Δx Δx －cos Δx －1Δx ＝sin Δx －cos Δx ＋1Δx ＝2sin (Δx －π4)＋1Δx .∵Δx ＜0，∴Δx －π4＜－π4，∴sin(Δx －π4)＜－22，从而有2sin(Δx －π4)＜－1，2sin(Δx －π4)＋1＜0，∴k 1－k 2＞0，即k 1＞k 2.综上可知，正弦函数y ＝sin x 在x ＝0附近的平均变化率大于在x ＝π2附近的平均变化率.。
利用函数的导数解决变化率问题
利用函数的导数解决变化率问题函数的导数在解决变化率问题中发挥着重要的作用。
在数学和应用领域中，我们经常需要计算事物随时间、空间或其他变量的变化速率。
这些问题可以通过函数的导数来求解，下面将介绍一些常见的变化率问题以及如何利用函数的导数来解决它们。
一、平均变化率平均变化率是描述函数在某个区间内的平均变化速率。
假设有一个函数f(x)，我们想要求解它在区间[a, b]上的平均变化率。
这可以通过计算函数值的差异除以自变量的变化量得到：平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)二、瞬时变化率瞬时变化率是指函数在某一点上的变化速率。
函数的导数可以用来计算瞬时变化率。
给定一个函数f(x)，我们可以通过求解其导函数f'(x)来得到瞬时变化率。
瞬时变化率 = f'(x)三、最大和最小变化率函数的导数还可以帮助我们找到函数在某个区间内的最大和最小变化率。
通过找到函数的导数的最大和最小值，我们可以确定在哪些点上函数的变化率达到最大或最小。
最大和最小变化率 = f'(x) = 0四、应用实例以物理学中的运动问题为例，假设一个物体的位移随时间的变化关系可以用函数f(t)表示。
我们想要求解该物体在某一时刻的瞬时速度。
可以通过计算函数f(t)的导函数f'(t)来得到瞬时速度。
瞬时速度 = f'(t)五、其他变化率问题除了上述提到的问题，函数的导数还可以应用于其他各种变化率问题，比如计算人口增长率、温度变化率、经济增长率等。
只要有一个与时间或其他变量相关的函数，就可以利用函数的导数来解决相应的变化率问题。
总结：通过函数的导数，我们可以解决各种变化率问题，包括平均变化率、瞬时变化率、最大和最小变化率等。
函数的导数可以帮助我们更好地理解和分析事物的变化过程，并且应用广泛。
无论是在数学领域还是其他应用领域，函数的导数都是一个强大的工具，能够提供准确的变化率信息，帮助我们更好地理解和解决问题。
高中数学变化率与导数
变化率与导数【学习目标】（1）理解平均变化率的概念；（2）了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（3）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； （4）会求函数在某点的导数或瞬时变化率； 【要点梳理】要点一、平均变化率问题 1.变化率事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。
如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； 2.平均变化率一般地，函数f(x)在区间[]21,x x 上的平均变化率为：2121()()f x f x x x --要点诠释：① 本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为y ∆,21()()y f x f x ∆=-,则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ② 函数的平均变化率可正可负，平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势.即递增或递减幅度的大小。
对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。
如位移运动中，位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率即为t 1秒到t 2秒这段时间的平均速度。
高台跳水运动中平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，要想更精确地刻画物体运动，就要研究某个时刻的速度即瞬时速度。
3.如何求函数的平均变化率求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出21()()y f x f x ∆=-和21x x x ∆=- ②作商：对所求得的差作商，即2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
要点诠释：1. x ∆是1x 的一个“增量”，可用1x x +∆代替2x ，同样21()()y f x f x ∆=-。
2. x 是一个整体符号，而不是与x 相乘。
3. 求函数平均变化率时注意,x y ，两者都可正、可负，但x 的值不能为零，y 的值可以为零。
若函数()y f x =为常函数，则y =0. 要点二、导数的概念定义：函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000lim lim，我们称它为函数()x f y =在0x x =处的导数,记作() 或0x f '即 0x x y ='()()()xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆'→∆→∆00000lim lim＝要点诠释：① 增量x ∆可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0。
高中数学教案应用微积分解决变化率问题
高中数学教案应用微积分解决变化率问题微积分是研究数量规律、变化规律的数学分支，具有广泛的应用。
在高中数学教学中，通过应用微积分，可以解决许多与变化率相关的问题。
本文将探讨如何使用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
一、导数与变化率导数是微积分的基本概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。
在高中数学教学中，导数可以用来解决函数图像的斜率、曲线的切线问题等。
在教学中，可以通过以下步骤应用微积分解决变化率问题：1.确定所求变化率的函数：首先，确定问题中所涉及的变量，并建立与之相关的函数关系。
例如，如果要求解一个线性函数在某一点的变化率，可以建立一个关于自变量的函数。
2.求导：根据所求变化率的函数，求取其导数。
导数表示函数在某一点的变化率，因此通过求导，可以得到所求变化率的表达式。
3.代入数值：将所求的自变量值代入导数表达式中，得到具体的变化率数值。
这样就可以得到问题中所要求解的变化率。
通过以上步骤，可以应用微积分解决高中数学教学中的变化率问题。
下面通过一个例子来加深理解。
例题：已知函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1，求函数在点 x = 2 处的变化率。
解：首先，确定所求变化率的函数为 f(x)，即 f(x) = 2x^2 + 3x + 1。
其次，对 f(x) 求导，得到 f'(x) = 4x + 3。
根据导数的定义，f'(x) 表示函数在某一点的变化率。
最后，将 x = 2 代入导数表达式 f'(x) = 4x + 3，计算可得 f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
所以，函数在点 x = 2 处的变化率为 11。
二、利用导数解决实际问题微积分的一个重要应用领域是解决实际问题。
在高中数学教学中，通过应用微积分解决与变化率相关的实际问题，可以帮助学生更好地理解数学知识，并将其应用于实际生活中。
1.速度和加速度问题：在物理学中，速度和加速度是与变化率密切相关的概念。
函数与导数的变化率问题
函数与导数的变化率问题函数与导数的变化率问题是微积分中一个重要的概念。
在实际应用中，我们经常需要了解函数随着自变量的变化而产生的变化情况，而导数则提供了函数变化的工具。
本文将探讨函数与导数之间的关系，以及如何通过导数来描述函数的变化率。
一、函数的导数函数的导数是描述函数变化率的重要工具。
对于给定的函数$f(x)$，它在某一点$x=a$处的导数，记作$f'(a)$或$\frac{df}{dx}(a)$，表示函数在该点处的变化速率。
导数的几何意义是函数某一点上切线的斜率。
导数的存在意味着函数在这一点上具有变化率。
简单来说，导数正值表示函数上升，导数负值表示函数下降。
导数的绝对值越大，函数变化的速率越快。
导数还可以为零，这意味着函数在这一点上达到了极值。
二、导数的计算导数的计算有多种方法，常用的方法包括基本的求导法则、链式法则和求极限法。
具体的计算方法取决于函数的形式和性质。
基本的求导法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘法法则和除法法则。
这些法则可以帮助我们根据函数的表达式来计算其导数。
对于更复杂的函数，可以利用链式法则将其分解为基本函数的组合。
同时，求导也需要运用极限的概念，通过逐渐逼近来确定导数的值。
三、导函数的性质导函数具有一些重要的性质，这些性质有助于我们理解函数的变化规律。
1. 可导函数的导函数连续。
如果一个函数在某点可导，那么它在该点的导函数存在且连续。
2. 导函数为0的点可能是函数的极值点。
如果一个函数在某点处导函数为0，那么该点可能是函数的极值点。
但需要注意的是，导函数为0并不意味着一定是极值点。
3. 函数递增的充要条件是导函数大于0。
如果一个函数在某一区间上的导函数始终大于0，那么该函数在该区间上递增。
4. 函数递减的充要条件是导函数小于0。
如果一个函数在某一区间上的导函数始终小于0，那么该函数在该区间上递减。
四、应用举例导数的应用广泛存在于数学和物理等领域。
以下是一些导数在实际问题中的应用举例：1. 曲线的切线和法线：导数可以用来计算曲线在某一点处的切线和法线方程。
5.1 导数的概念及其意义(变化率问题、导数的概念)课件高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册
=
( 2 )-( 1 )
.
2 - 1
【变式训练 2】 分别求函数 y=sin x 从 0
比较它们的大小.
π
π
π
到6 和从 3 到 2 的平均变化率,并
解:自变量 x 从 0
自变量 x
π
π
从3 变到 2 ,函数
3
∵2-√3<1,∴
π
>
∴自变量 x 从 0
自变量 x
π
变到 ,函数
6
)
A.Δx-3
C.-3
B.(Δx)2-3Δx
(0+x)2 -3(0+x)-02 +3×0
解析:f'(0)= lim
x
Δ→0
故选C.
答案:C
D.0
=
(Δ)2 -3Δ
Δ
x→0
= lim (Δx-3)=-3.
Δ→0
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里画“√”,错误的画“×”.
Δ
∴
Δ
=
3(Δ)2 +(6+)Δ
=3Δx+6+a,
Δ
y
∴ lim
Δ→0 x
= (3Δx+6+a)=6+a.
∴f'(1)=6+a.
x→0
【易错辨析】
对导数的概念理解不清而致错
【典例】 已知
A.4
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
f'(x0)=4,则 lim
的值为(
x
Δ→0
B.2
C.8
f(x 0 +2x)-f(x 0 )
人教版数学选修22第一章变化率问题与导数概念
跟踪训练
2.设函数y＝f(x)＝x2－1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为A.2.1 B.1.1 C.2 D.0
√
跟踪训练
跟踪训练
4.一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值.
微积分
为了描述现实世界中运动、变化着的现象，在数学中引入了函数。随着对函数的研究的不断深化，产生了微积分，它是数学发展史上继欧氏几何后的又一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑微积分的创立与处理四类科学问题直接相关已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；反之，已知加速度作为时间的函数，求速度与路程求曲线的切线求函数的最大值与最小值求长度、面积、体积和重心等17世纪中叶，牛顿和莱布尼兹各自独立地创立了微积分
（2）试求物体的初速度.
（2） 求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度.
∴函数s(t)在t＝0时的瞬时变化率为1，即物体的初速度为1 m/s.
跟踪训练
跟踪训练
结束语
谢谢观看，祝大家学习愉快！
同学们加油！
1.了解导数概念的实际背景.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.
学习目标
如右图所示，向高为10cm的容器等速注水，10秒钟注满，若水深h是关于注水时间t 的函数，则下面两个图象哪一个可以表示上述函数？
斜率公式
变化率
变化率问题
随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越快还是越来越慢？
函数值
自变量
斜率
函数的平均变化率
函数的平均变化率
平均速度与瞬时速度
利用导数求函数的变化率和极值
利用导数求函数的变化率和极值在微积分中，导数是非常重要的概念之一。
利用导数可以求解函数在某一点的变化率以及找到函数的极值点。
本文将介绍如何利用导数求函数的变化率和极值，并逐步展示具体的计算方法。
一、函数的变化率函数的变化率描述的是函数在某一点上的变化趋势。
具体来说，若函数f(x)在某一点x=a处可导，则f(x)在x=a处的变化率可以由导数f'(a)来表示。
导数f'(a)表示函数f(x)在x=a处的瞬时变化率。
示例：考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求该函数在x=2处的变化率。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 4x + 3然后，计算函数f(x)在x=2处的导数值：f'(2) = 4(2) + 3 = 11因此，函数f(x)在x=2处的变化率为11。
二、函数的极值函数的极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。
利用导数，我们可以很方便地找到函数的极值点。
具体步骤如下：1. 求解函数的导数f'(x)。
2. 找到导数f'(x)的根，即f'(x)=0的解。
3. 利用二阶导数或者图像等进一步判断每个根对应的点是极大值点还是极小值点。
示例：考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2，求该函数的极值点。
解：首先，计算函数f(x)的导数f'(x)：f'(x) = 3x^2 - 6x然后，求解方程f'(x)=0，得到导数f'(x)的根：3x^2 - 6x = 0化简得，x(x - 2) = 0解得x=0和x=2。
接下来，需要判断x=0和x=2所对应的点是极大值点还是极小值点。
为此，求解函数f(x)的二阶导数f''(x)：f''(x) = 6x - 6计算f''(0)和f''(2)：f''(0) = 6(0) - 6 = -6f''(2) = 6(2) - 6 = 6根据二阶导数的正负性可以得知：当f''(x) > 0时，函数在对应的x值处取得极小值；当f''(x) < 0时，函数在对应的x值处取得极大值。
导数及其应用变化率问题
边际分析
边际成本
导数可以用来计算边际成本，即成本函数的 一阶导数表示产量变化对成本变化的敏感程 度。
边际收益
导数同样可以用来计算边际收益，即收益函数的一 阶导数表示产量变化对收益变化的敏感程度。
边际效用
在经济学中，导数还可以用来计算边际效用 ，即效用函数的一阶导数表示效用变化对消 费变化的敏感程度。
工程中的最优设计问题
最优设计概念
在工程中，最优设计问题通常涉及到在满足各种约束条件下，寻 找一个或多个设计参数的最优解。
使用导数求解
导数的计算可以用来求解最优设计问题，例如通过梯度下降法或 牛顿法等优化算法，利用导数的计算来逐步逼近最优解。
设计优化
导数的计算还可以用来优化产品的设计，例如通过改变产品的形 状、尺寸或材料等参数，以提高产品的性能、降低成本等。
在经济学中，导数的符号可以用来判断经济增长还是衰 退。如果一阶导数为正，则表示函数在所取区间内单调 递增，经济处于增长状态；反之，如果一阶导数为负， 则表示函数在所取区间内单调递减，经济处于衰退状态 。
要点二
高阶导数
高阶导数的符号可以用来判断经济是否处于超调状态。 如果二阶导数为正，则表示函数在所取区间内存在拐点 ，经济处于超调状态；反之，如果二阶导数为负，则表 示函数在所取区间内单调且无拐点，经济处于稳定状态 。
描绘函数图像的步骤
首先求出函数的导数，然后根据导数的符号判 断函数的单调区间和极值点，最后用这些信息 画出函数的图像。
描绘函数图像的意义
通过描绘函数图像，可以直观地理解函数的性 质和变化趋势，为解决实际问题提供帮助。
03
导数与变化率
变化率的定义
变化率是函数在某一点的 变化率
变化率是描述函数在某一点附近变化的快慢 程度的物理量，通常用函数在某一点处的导 数来表示。
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课题：§1.1.1变化率及导数的概念三维目标： 1、 知识与技能⑴理解平均变化率的概念；⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。
2、过程与方法⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3、情态与价值观⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。
教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。
教学过程：一、引入课题：为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。
导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。
二、讲解新课：【探究1】气球膨胀率同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3V r r π=，如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么()r V 。
【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)0.62(/)10r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(2)(1)0.16(/)21r r dm L -≈-。
可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了。
【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121()()r V r V V V --【探究2】高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 【思考1】00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度v 【分析】在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)4.05(/)0.50h h v m s -==-；在12t ≤≤这段时间里，(2)(1)8.2(/)21h h v m s -==--◆ 平均变化率概念: 函数()y f x =在区间[]12,x x 上的平均变化率为2121()()f x f x x x --①本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为21,()()y y f x f x ∆∆=-, 则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆- ②几何意义：两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率（割线的斜率）；③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度。
若设2121,()()x x x y f x f x ∆=-∆=-(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x x +∆代替2x ,同样21()()y f x f x ∆=-；则平均变化率为2111()()()()f x f x f x x f x y y x x x x x -+∆-∆∆===∆∆-∆。
【理解】⑴平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-表示两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率，是曲线陡峭程度的数量化，此时12x x <或21x x <均可；⑵为求0x 附近的变化率，上述表达式常写为00()()f x x f x x+∆-∆的形式，需要注意的是，这里的x ∆可正可负，但不能为0，而y ∆是相应的函数值的改变量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，特别是函数为常数函数时，0y ∆=；⑶平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，注意分子和分母求差的一致性。
【思考3】观察函数()f x 的图象，平均变化率2121x x x =∆-表示什么?◆求函数()f x 在[]12,x x 上平均变化率的步骤：⑴求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-； ⑵求自变量的增量21x x x ∆=-；⑶计算平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-。
◆直线的斜率与平均变化率的联系：⑴若直线l 经过1122(,),(,)A x y B x y 两点，则直线l 的斜率为121212()y y k x x x x -=≠-；函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-； ⑵直线的斜率与函数的平均变化率是两个不同的概念，前者表示直线的倾斜程度，后者表示曲线的陡峭程度。
它们的联系在于函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121()()f x f x y x x x -∆=∆-也就是过点1122(,()),(,())P x f x Q x f x 的直线的斜率，因此当平均变化率2121()()f x f x y x x x -∆=∆-的绝对值变大时，即直线PQ 的斜率的绝对值变大时，函数的图像变得陡峭；反之，函数的图像变得平缓时，直线PQ 的斜率的绝对值变小时，函数的图像变得平缓，即平均变化率（斜率）近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势。
【思考2】计算运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内是静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？【分析】如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65()(0)49h h =，所以65()(0)490(/)65049h h v s m -==-，虽然运动员在65049t ≤≤这段时间里的平均速度为0(/)s m ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。
【探究3】直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是21V t =-，求0t t =时的瞬时速度。
【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？【思想方法】局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。
【解析】000()()2v t t v t V t t t t +∆-∆==+∆∆∆。
上述函数()V t 中，当t ∆无限趋近于0时，Vt∆∆都无限趋近于一个常数。
【定义】函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x yx x∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。
◆求导数的步骤：①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆； ③取极限，得导数：00000()()()lim limx x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。
上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。
◆曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x时，割线nPP的变化趋势是什么？我们发现,当点nP沿着曲线无限接近点P即0x∆→时,割线nPP趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。
问题：⑴割线nPP的斜率nk与切线PT的斜率k有什么关系？⑵切线PT的斜率k为多少？容易知道，割线nPP的斜率是0()()nnnf x f xkx x-=-,当点nP沿着曲线无限接近点P时，nk无限趋近于切线PT的斜率k，即00()()lim()xf x x f xk f xx∆→+∆-'==∆。
【说明】⑴设切线的倾斜角为α,那么当0x∆→时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率；这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在x x=处的导数。
⑵曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关;②要根据割线是否有极限位置来判断与求解。
如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个。
◆导数的几何意义：函数()y f x=在x x=处的导数等于在该点00(,())x f x处的切线的斜率，即00()()()limxf x x f xf x kx∆→+∆-'==∆，也就是说，曲线()y f x=在点00(,)p x y处的切线斜率是()f x'，切线的方程为()()y y f x x x'-=-。
【总结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:①求出P点的坐标;②求出函数在点x处的变化率00()()()limxf x x f xf x kx∆→+∆-'==∆，得到曲线在点00(,())x f x的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程。
由函数()f x在x x=处求导数的过程可以看到,当时,()f x'是一个确定的数，那么,当x变化时,便是x的一个函数,我们叫它为()f x的导函数，记作：()f x'或y'，即()()()limxf x x f xf x yx∆→+∆-''==∆。